Сосулин Ю.Г. Теоретические основы радиолокации и радионавигации (1992) (1151790), страница 31
Текст из файла (страница 31)
ношения правдоподобия. Отметим также, что если бы параметр 0 был дискретным, принимаюшим т возможных значений, схема на рис. 4.2 была бы оптимальной в смысле максимума функции правдоподобия. При непрерывном параметре эта схема является квазиоптимальной Однако при увеличении числа каналов она неограниченно приближается к оптимальной, поскольку точность аппроксимации условного отношения правдоподобия Л(д!0) совокупностью (Л(д(~0,), 1=1, ..., и) при увеличении т растет и в пределе при ит-ь-оо получаем функцию непрерывного параметра. Число каналов пт многоканального измерителя можно определить, задавшись допустимым снижением точности измерения по сравнению с потенциальной точностью.
В радиолокационных измерителях число каналов обычно выбирают с учетом разрешающей способности РЛС Лв по измеряемому параметру 0: пт= =(О .х — 0 )гЛв. Это число каналов является, вообще говоря, минимальным; на практике его обычно увеличивают, чтобы обеспечить необходимое перекрытие каналов. Рассмотрим другой путь реализации измерителя (см. рис. 4.1). Для этого разложим 1пЛ(д10) в ряд Тейлора в окрестности некоторой опорной точки О,„, лежашей вблизи истинного значения параметра О. Если разность О„г — О достаточно мала, то можно ограничиться первыми тремя членами ряда: !п Л ( д! 0) = 1п Л (д ! О, ) + (Π— 0 и) — 1п Л (д ! 0) ! е=е + дд оп 1 а д + — (Π— 0,„)' — !пЛ(д(О)!е е„. Подставив это выражение в (25), получим уравнение максимального правдоподобия д — !и Л(д!О) = — 1п Л(д!0)(е=е„+ д 450 +(Π— О,.) —,1пЛ(у(8)1 =,„=О, д из которого находим оценку г д 1г гуг ! — ! 6„0 — ~ — 1пЛ(У16Не=е 1~ —,1пЛ(У(6)(е=е ~ .
(4,26) Согласно (26) синтезированный измеритель представляет собой по существу оптимальный дискриминатор (рис. 4,3,а), формирующий ошибку рассогласования Лр —— 8, — О„называемую также сигналом ошибки. Для его работы необходимо иметь опорное значение параметра ~0оп, близкое к истинному значению параметра О. Это опорное значение можно найти в результате параллельного поиска, который реализуется многоканальной схемой, либо последовательным во времени поиском по всей области возможных значений параметра Оенгб.
В последнем случае должна быть предусмотрена перестраиваемая в области 6) схема поиска, включающая в себя обнаружитель сигнала. На выходе этого устройства формируется опорное значение Всп, лежащее в окрестности истинного значения параметра О. Последовательный поиск проигрывает во времени параллельному, однако проще в технической реализации, так как не требует многоканальных устройств. Когда флуктуации Ля (рис.
4.3,а) не слишком велики, схему оптимального дискриминатора можно упростить, заменив случайную величину ее математическим ожиданием: дв ав Ле =— — 1пЛ(у!6)1е=е ж М вЂ”,1пЛ(у(8)1е=е (4.27) При этом значение Лв вычисляется заранее и вводится в схему дискриминатора !(рис. 4.3,б) в виде постоянного весового коэффициента*. Если сигнал ошибки Лр-— 8сп — 0„ подать на цепи сглаживания и управления и замкнуть обратную связь, подав управляющее воздействие в виде опорного значения параметра О,п на дискриминатор, то получим следящий измеритель (рис. 4.4). Напомним, что при отыскании оценки максимального правдоподгубня Ои предполагалось, что параметр 8 не меняется на интервале наблюдения (О, Т1 Однако если это не так и оцениваемый параметр изменяется во времени, то измеритель, представленный на рис.
4.4, будет следить за изменением параметра, уменьшая ошибку рассогласования Лр. При этом соответственно изменяется опорное значение Осп(!), которое и может служить оценкой величины 8(г). е СущЕСтВуЕт Ситупцня (ОцЕНКа аМПЛИтудЫ, $4 2), КОГда ПрИЕЛИМЕННОЕ равенство (27) переходит в точное !5! д) а) Рнс, 4.3.
Структурные схемы днскрнмннаторов Рнс. 4.4. Структурная схеыз следящего измерителя В рассматриваемом следящем измерителе синтезирован пока что дискриминатор (см. рис. 4.3). Что же касается синтеза цепей сглаживания (фильтрации), то он может быть проведен отдельно от синтеза дискриминатора путем минимизации среднего квадрата ошибки М[0(() — Ооп(())т. бледящую систему измерения можно синтезировать и более строгим методом, не привлекая эвристически введенную процедуру раздельной оптимизации операций дискриминирования (выделения сигнала ошибки) и сглаживания, а оптимизируя всю систему в целом.
Для этого уже на начальном этапе синтеза необходимо задать математическую модель переменного параметра (в виде некоторого случайного процесса О(()) и затем воспользоваться теорией оценивания случайных процессов (см. 5 4.3). Сценнванне векторного параметра. На практнке нередко возникает веобходнмость оценивать несколько параметров радиосигнала. Так, в раднолокацнн часто требуется измерять дальность до объекта н одновременно скорость его движения.
В связи с этим рассмотрим кратко статистическую задачу оцеянвання векторного параметра н прнведен результаты, непосредственно обобщающне нзложенную теорию оненнвання. Пусть плотность распределения вероятностей в(у(0) наблюдений р (смесь сигнала н шума) зависит от векторного параметра 0=(Оь Оа, ..., Обш8. Необходныо по результатам наблюдения у оценнть каждую компоненту вектора О. На языке теории статнстнческнх решений это означает, что нужно с нспользованием векторной решающей функции 6=(6ь .,,, 6~) вынести векторное решение б=(г(ь „„4): б=б(у), т.
е 6,=6,(у), ..., 4=6~(у), которое н будет оценкой вектора О. В байесовской постановке задачи оценнвання вектор 0 является случайным, априорная плотность вероятностей которого ша(0] известна наблюдате- 162 лю. Введем скалярную функцию потерь с(6, Ь), характеризующую плату за вынесение оценки д векторного параметра 6. Аналогично (2.0) запишем средИнй риск (в, Ь) = Мс [О. Ь(у)) = [[с [О, б(у)) в(у)0) в,(8)г(у«(8. е !' Путем минимизации среднего риска или же апостериорного риска гв(у, б) = М(с[0, Ь(у))[у) = )с [О.
Ь(у)) в(6(у) 16, е где в(6(у) — апостериорная плотность вероятностей параметра О, найдем байесовское решение б*=ь*(у): г(ве, бе) =ш1пг(ве, Ь). е Вектор б*=(г(л«, ..., «(*«) — оптимальная оценка параметра О. Рассмотрим квадратичную функцию потерь 1 с(е, б) = ~(01 — у«)а, 1=1 являющуюся суммой квадратов ошибок оцениваиия. Апостериорный риск г.(у, Ь) = М ~ ~[01 — Ь; (у))а(у~ = ~МцŠ— Ь«(у)[з(у).
! 1=! 1=1 Минимизация этого выражения осуществляется аналогично предыдущему. В результате получаем «(; = Ьг (у) = О; = М (0«)у) = ) 0«в (0)у)г(8, 1 = 1,..., 1. (4. 28) Таким образом, оптимальная векторная оценка О параметра 0 есть апостериорпое математическое ожидание: О=М(01у). Каждая из компонент 0; вектора 0=(еь ..., О«) является оптимальной оценкой соответствующего скалярного параметра О«. Эти кол«поненты вычисляются по формуле (28), которую после интегрирования по всем параметрам, кроме еь можно записать в виде 6, = [ Е,в(81(у)бе«, е, где О« — область определения 0„ а в(8«(у) — апостериорная плотность ве- роятностей скалярного параметра 8«.
Качество векторной оценки 8 характеризуется минимальным средним рис- ком 1 .(в„ь*)= ~м(0; — ег)з, 1=! !53 который, как видим, равен сумме средних квадратов ошибок оценивания компонент ег (1=1, ..., !). Рассмотрим теперь оценку максимального правдоподобия О,= (01„..., 0~ „) векторного неслучайного параметра 0= (Еь ..., 0~) щ8. Эта оценка находится из условия максимума функции правдоподобия !.(О) =ю~(у)0), т, е. !. (О, ) = гпах б (О) . еже Как и при скалярном параметре, для отыскания оценки максимального правдоподобия можно максимизировать логарифм функции правдоподобия. Если максимум достигается внутри множества 0 и функция правдоподобия дифференцируема по всем параметрам 0, , еь то векторная оценка (ень ..., 0~„) находится путем решения системы уравнений максилгального правдоподобия: д 1п (.(Е)уаЕ, = О, = 1,..., !.
(4.29) Потенциальные точности измерения можно определить с помощью системы неравенств, дающих нижние границы для дисперсий любых несмещенных оце- нок а;=б,(р) неслучайных параметров ес М (бг (у) — егр = (У бг (р) > озы, ! = 1,..., !. (4. 30) Здесь паы (1=1, ..., !) — диагональные элементы матрицы ! ', обратной информационной матрице Фишера 1, элементы которой ~ а д 1 ! да угу=м~ — 1п (р)е) — 1 (р(е)~=.
— м~ )пю(р(е)1. (4.3П 1 дег ае! ! ( ае ае! Система неравенств (30) обобщает неравенство Крамера — Рао (15) на век. торный параметр. Для наиболее эффективных оценок неравенства (30) переходят в равенства. При этом если существуют такие оценки, то они являются оценками максимального правдоподобия 0,=(ень ..., 0~„). Кроме того, при довольно общих условиях оценки (еоь ..., 0~ ) асимптотически (при увеличении объема л выборки у=уь ..., рч) наиболее эффективны.
Это позволяет определить потенциальные точности измерения пе компонент векторного параметра 0 формулой тl а пв =та' и, дающей наименьшие значения среднеквадратических ошибок. (4.32) 4.2. ОЦЕНИВАНИЕ ПАРАМЕТРОВ СИГНА- ЛА НА ФОНЕ БЕЛОГО ШУМА 'Применим изложенные методы к задаче оцениеания неслучайного параметра 0 сигнала з(!0, !) (з — детерминированная функция), наблюдаемого в течение времени Т на фоне белого га- 154 (4.36) !55 уооовского шума $(4) со спектральной плотностью Ма/2.
Наблюдаемый процесс у(()=з(8, ()+$((), 0-=.((Т. (4.33) В дальнейшем будут рассмотрены также задачи, когда сигнал зависит от случайных неинформативных параметров. Оценки параметров сигнала будем искать методом максимального правдоподобия. Для этого нам потребуется условное отношение правдоподобия Л(у(0). Как следует из гл.
2, применительно к рассматриваемой задаче условное отношение правдоподобия т т ла!В)- р( — ~у(ш) а, КФ вЂ” — ~Фа, ~ю). (439 ! аоО !уо о Параметры сигнала можно разделить на энергетические, для которых равенства з(0, 4) =0 следует 0=0 и наоборот, и неэнергетические, для которых указанное условие не выполняется. Энетогетический параметр определяет энергию радиосигнала Е(0) = 1 з'(0, о Г)й.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
