Сосулин Ю.Г. Теоретические основы радиолокации и радионавигации (1992) (1151790), страница 30
Текст из файла (страница 30)
Однако если наиболее эффективной оценки не существует, то, вообще говоря, нельзя утверждать, что оценка максимального правдоподобия оптимальна. В то же время при выполнении не слишком ограничительных условий, накладываемых на плотность ге(0[0) (см., например, [63, с. 3611), оценка максимального правдоподобия 6*(уь ..., ун)=0„„асимптогически оптимальна, поскольку она состоятельна, т. е. сходится по вероятности к истинному значению параметра 0: [пиР(['Онн — 0)~е)=0 для любого и сч е~О, н асимптотнчески наиболее эффективна; 11гп еИ(0 ) =1. и о Потенциальная точность измерения параметра. Приняв решение г[=6(д) за оценку параметра 0, мы совершаем ошибку Л0= =6(у) — О.
Достаточно общей и в то же время удобной мерой качества оценивания является среднее значение квадрата ошибки: М (Л0)з = М [6 (у) — 0[з. (4.18) 145 называемое эффективностью оценки 6(у), Чем больше это отношение, тем предпочтительнее оценка. Очевидно, что для любых оценок 6(у) неслучайного параметра 0 0(е)И(6(у)1 =1, причем еИ(0,) =1. Обратимся к соотношению (15), Равенство в нем достигается, если неравенства Коши — Буняковского для рассматриваемого случая переходят в ра.
венство. Последнее имеет место тогда, когда для всех ушУ и Вшн Эта мера используется как при байесовских, так и при небайесовских оценках. Следует только иметь в виду, что математическое ожидание в (18) для указанных оценок вычисляется по-разному. При байесовском подходе 0 — случайная величина. По~этому усреднение осуществляется по у и 8: М(6(у) — 0)»=п(6(у) — 0Гш(у(0),(0) (у(0, аг где п1«(10) — априорная плотность вероятностей параметра О.
При небайесовской оценке параметр 8 неслучайный и поэтому усреднение осуществляется только по у: М(6(у) — 0)« = ('(6(у) — 0) 1э(у10) Ну. У От меры (18) всегда можно перейти к величине уМ(Л0)'= ум(6(у) — 0)', (4.19) имеющей ту же размерность, что и оцениваемый параметр. Если 8 — неслучайный параметр, а 6(у) — его несмещенная оценка (Л(0) =О), то мера (19) — ореднеквадратическая ошибка оценивания. При Л(~0) ~0 мера точности оценивания (19) представляет собой полную ошибку, учитывающую смещение оценки (см. (1.8)).
Заметим, что если смещение оценки 6(у) известно наблюдателю, а это может быть только тогда, когда смещение не зависит от неизвестного параметра 8, т. е. А(0) =— Ь, то путем вычитания А всегда можно перейти к несмещенной оценке 6(у) — Л. Отметим также, что для байесовских оценок понятие несмещенности, определенное формулой (11а), смысла не имеет, так как 0 — случайная величина; можно говорить лишь о несмещенности в среднем, т. е. в смысле равенства (0). Тем не менее термин «среднеквадратическая ошибка» сохраняют за мерой (19) и для байесовских среднеквадратических оценок.
Если оценка 6(у) оптимальна, т. е. 6(у) =6*(у), то величина (19) определяет потенциальную точность измерения параметра, т. е. точность измерения, которая может быть достигнута только при оптимальном построении измерителя. Так как оценка может быть оптимальной по различным критериям, то и потенциальная точность, определяемая в среднеквадратическом смысле (19), будет, вообще говоря, разной. В классе байесовских оценок наивысшей потенциальной точностью, как следует из соотношения (5), обладает байесовская среднеквадратическая оценка (4).
В классе небайесовских оценок наивысшей точностью, как ясно из предыдущего, будет обладать оценка максимального правдоподобия, если существует наиболее эффективная оценка. Кроме того, как следует из асимптотических 146 свойств оценки максимального правдоподобия, эта оценка почти всегда асимптотически имеет наивысшую потенциальную точность. Возникает естественный вопрос, какую из возможных оценок нужно использовать при решении практических задач измерения параметров радиосигналов.
Если неизвестный параметр сигнала можно представить в виде случайной величины с известным распределением вероятностей, то целесообразно использовать байесовские оценки, и в частности байесовскую среднеквадратическую оценку, заведомо обладающую наивысшей потенциальной точ-„ ностью. Однако неизвестный параметр не всегда можно рассматривать как случайную величину с известным распределением вероятностей, В ряде задач, особенно при отсутствии необходимой априорной информации, более адекватным является представление неизвестного параиетра сигнала в виде действительной неслучайной величины При этом целесообразно использовать небайесовские оценки, и в частности оценку максимального правдоподобия.
Отметим, что в асимптотике, т. е. при увеличении объема выборки (и — ~со), безразлично, какую из рассмотренных оценок применять, поскольку, как доказывается в математической статистике, байссовские оценки и оценка максимального правдоподобия асимптотически эквивалентны. Для выявления взаимосвязи байесовской оценки и оценки максимального правдоподобия при любом конечном объеме выборки воспользуемся формулой Байеса (2.8). Подставив (28) в уравнение (8), получим д !п ш (О ! д)1д 0 = д !п ш (у ! О) !д 0+ д 1п ш, (О) 'д 0 = О. Отсюда видно, что если дшз(6)/д0=0, то байесовская оценка по критерию максимума апостериорной плотности вероятностей и оценка максимального правдоподобия совпадают. Последнее равенство иногда интерпретируют как условие, при котором количество априорной информации об оцениваемом параметре равно нулю.
В дальнейшем при решении задач оценивания параметров радиосигнала, постоянных на интервале наблюдения, будем применять метод максимального правдоподобия. При оценивании меняющихся со временем параметров будем использовать байесовский подход ($4.3). Под потенциальной точностью измерения неслучайного параметра 0 радиосигнала в дальнейшем будем понимать наименьшее значение среднеквадратической ошибки оэ, которое определяется границей Крамера — Рао (см. 15)): аз=-11йй~ — !пш(у!0)~, о =1 ! р' йй [ — !пш(у(0)~ . (4.20) Г д и ит Расчет потенциальной точности по этим формулам обычно упрощается, если воспользоваться соотношением д 12 дз и ! — ! (у)0)1 = — И вЂ” ! (у(0).
( дв 1 дв' Для доказательства его продифференцируем обе части равенства ш(у)0)4у — ! по В и учтем формулу (13). В результате У (4.21) дш(у!О) д ау = ) ш(у!В> — )п ш!у!Е> ау = О. де, ав Снова дифференцируя по 0: дш(у!Е) а дз дв де — 1пш(у)В)ау+ )ш(у)В) —,1п ш(у!0)ну = В у дв и, используя (13), получаем д 2 ~ а у 1 дв ) ! — )пш (у)0)1 ш(у!0)ау+ > 1 — )п ш(у!0)1 ш(у)0)ау =В, ] (двз что и показывает соотношение (21).
При расчете потенциальной точности измерения необходимо знать плотность вероятностей смеси сигнала и шума ш(у!О)= =ту(д!О, 6=1). Если теперь ш(у!6=0) — плотность вероятностей одного шума, то статистика Л(у(0)=те(у(О, 6=1) ш(у)О=О)=ге(у)0))тп(у)О=О) (422) есть условное отношение правдоподобия.
Так как плотность вероятностей шума ш(у!О=О) не зависит от параметра О, то — !пЛ(у)0) = — >ига(у)0), д д дв дВ В результате при расчете потенциальной точности измерения для конкретных моделей сигнала и шума можно воспользоваться соответствующими выражениями для условных отношений правдоподобия, полученными в гл. 2. Итак,,рассматриваемая среднеквадратическая ошибка аз зависит от объема (длительности) наблюдений у=ум ..., уя и от их плотности вероятностей гу(у!О). Она, вообще говоря, может зависеть и от значения оцениваемого параметра.
Поэтому в общем случае при расчете потенциальной точности измерения входящие !48 прн этом соотношения (20) (с учетом (21)) эквивалентны формулам дз дз Оз= 1/йй —,, !ПЛ(у(0), а = 1/ 1г' — М две !ПЛ(у)0) (4,23) д) Рнс. 4.1. Структурные схемы оптимальных намернтелен в формулы (20) и (23) производные должны вычисляться в точке О=Ос, где Оо — истинное значение оцениваемого параметра: де 1 Г де ое — — — 11М ~, 1пЛ(у(0)(е=е„оп=1/ $~ — М дв,!пЛ(у(6)(е=е.. (4.24) Структурные схемы измерителей. Схема оптимального измерителя параметра В, реализующего оценку максимального правдоподобия 6, может быть представлена согласно (9) в виде схемы на рис.
4.1,а. Первый блок, на вход которото поступает реализация смеси сигнала и шума, формирует функцию правдоподобия х. (10), второй блок отыскивает максимум этой функции по всей области изменения параметра 0~9. На выходе измерителя имеем значение параметра, при котором функция правдоподобия максимальна. Максимизация функции правдоподобия для отыскания оценки эквивалентна максимизации условного отношения правдоподобия (22) (или его логариФма). При этом уравнение 6!пЛ(д(0)З0=0 (4.25) эквивалентно уравнению максимального правдоподобия (10). В результате оптимальный измеритель можно представить также в виде схемы на рис. 4.1,б.
Это позволяет при синтезе оптимальных измерителей параметра сигнала опираться на результаты синтеза оптимальных обнаружителей сигналов. Пути технической реализации оптимального измерителя, показанного на рис. 4.1, могут быть различными. Наиболее общий путь сводится к следующему. Пусть 9 (область значений параметра 6) представляет собой отрезок прямой с граничными точками 8 м и 6 „.
Разобьем этот отрезок на несколько отрезков точками Оь 1=1, 2, ..., т, положив О ы=01(6х( ... (04( ... ... ('Внт =Омах. Условное отношение правдоподобия Л(у!О), являющееся функцией непрерывного параметра О, аппроксимируется в этом случае совокупностью условных отношений правдоподобия (Л(у~ 84), 1=1, ..., нт).
В результате приходим к многоканальному измерителю (рис. 4.2). Каждый нз каналов формирует условное от- 149 ношение правдоподобйя для л (у!у,) фиксированного значения па- раметра О, т. е. для значений у ... „„° 0,(1=1, ..., гп). Схема выбора — ютааупа максимума определяет номер канала с максимальным выходным эффектом. л(у~у ) Если окажется, что Л(д!0,))Л(д~О,) для всех Рис 42. Структурная схема много- 1'=1,, т, )чь1, то за оценку канального измерителя параметра О принимается зна- чение О,. Заметим, что в каждом из каналов вместо условного отношения правдоподобия можно формировать логарифм условного от.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
