Сосулин Ю.Г. Теоретические основы радиолокации и радионавигации (1992) (1151790), страница 37
Текст из файла (страница 37)
Апостериорное среднее лсс совпадает с оптимальной оценкой Ос (как и при дискретном времени). При этом линейное дифференциальное уравнение (127) с85 вместе с уравнением (~128) определяет структурную схему (рис. 4.14,б) оптимального линейного фильтра, являющегося одномерным вариантом непрерывного фильтра Калмана. В полученной схеме имеются усилители с переменными коэффициентами усиле- ния 2 / 2 с„= —, с„= — [у+ — 1 /[/о "С ~ /Ро ЬС / (4.129) причем функция Ь» является решением обыкновенного дифференциального уравнения (128): [1-»оеар(-2 с» СН 1 а, + 2тос [1+»оехР( — 2»»С)1 2ос где ч / 4тОС» г»+т — 2 тОС»ао го= зт/ Ус+ —; го= но с,— т+2тос~ао а Ьо — начальное условие для уравнения (128). В стационарном режиме, когда Ь»=0, функция Ьс обращается в постоянную: Ь= — 1+ ~~ 1+ — .
1 ~ . / 4оР»3 (4.130) н„~ При этом коэффициенты усиления ('129) также становятся постоянными. Техническая реализация фильтра Калмана в этом случае существенно упрощается. Структурную схему фильтра Калмана можно представить в по-иному (рис. 4.14,в). Чтобы убедиться в этом, достаточно переписать уравнение (127) в виде 2 тс = г то+ (ус тс). »'о'о /»» При таком представлении непосредственно видно, что фильтр Калмана включает в себя формирующий фильтр (на рис. 4.14,в обведен штриховой линией), структурная схема которого описыва ° ется уравнением (122), т.
е. определяется априорными сведениями о фильтруемом процессе 6». Отметим, что [фильтр Калмана можно также представить в виде схемы разомкнутого типа, использовав ссС-цепь. Действительно, напряжение то снимаемое с емкости при подаче на /хС- цепь напряжения у», определяется уравнением тс= — атс+аус а=1/ЙС. Сравнивая это уравнение с уравнением фильтра Калмана (127), видим, что его структурную схему можно представить в виде 186 рис.
4.14,г. В стационарном режиме коэффициент усиления К= =2/(2+уй/э/с) и параметр стС-цепи а=у+(2/Же/с) являются постоянными величинами. Среднеквадратическая ошибка оптимальной фильтрации определяется аналогично (121): ос='1/ )с /сс. В стационарном режиме эта ошибка равна постоянной величине о = 1/ )/ /с = ')с 2 о, / $ 1+ 1с 1 + 4 с/, (4.131) р, (8) ж )с' ~ ' ехр ~ — ~Я (8 — тс)~~ (4.132) Уравнения для параметров тс и /сс получим с помощью уравнения оптимальной фильтрации (109). Для этого подставим (132) в (109), причем функции е(6, 1), а(~0, 1), Ь(6, /) разложим в ряды Тейлора в окрестности тс. В соответствии с гауссовским приближением в разложении функции з(6, /) ограничимся членами, степень которых ие выше (6 — тс)с, в разложении а(О, 1) — не выше (Π— тс), а в разложении Ь(В, /) — первым членом, не содержащим О.
Приравнивая затем члены при одинаковых степенях (6— — псс), получаем тс = а (спс 1)+ — (У, — з (тс 101 е' (тс г) ° счс /сс (4.133) !Вт где параметр с/=асс/сс/эу имеет смысл отношения сигнал-шум по мощности. Как видим, среднеквадратическая ошибка оптимальной фильтрации стохастического сигнала Ос растет с увеличением его дисперсии о'с и уменьшается с ростом отношения сигнал-шум с/. Нелинейная фильтрация.
Как уже отмечалось, в общем случае оптимальная фильтрация является нелинейной. При этом для получения технически реализуемых алгоритмов приходится прибегать к приближенным методам конкретизации общих уравнений оптимальной фильтрации. Рассмотрим один из них — лсетод гауссовского приближения. Пусть наблюдаемый процесс имеет вид (100), где диффузионный марковский параметр О, сигнала з(Ос, /) может иметь как гауссовское, так и негауссовское распределение вероятностей.
Показано, что при условии большой апостериорной точности (48, 53], которое выполняется, в частности, при достаточно большом отношении сигнал-шум, апостериорная плотность вероятностей рс(8) не сильно отличается от гауссовской. Поэтому при выполнении условия большой апостериорной точности согласно методу гауссовского приближения используют гауссовскую аппроксимацию Ь,= — Ь(то ~)(п — 2Н, а'(гпо 1) — — (у,— з(тп ()) з'(то 1)+ з 2 )чю + — (з' (га„~)Р, (4.134) з(о где дз(0, 0 ~, ( д~з(0,!) 1 =т1 1=с а'(т„() = да(0, ().
дв Если сделать замену переменных, перейдя к апостериорной дис. персии Кс — — 1/Ьь то вместо (133) и (134) будем иметь т,=а(ш„()+ ~' [ус — з(ть ()) з'(т () (4.135) а~в 2 К~~ К, = Ь (то 1)+ 2 К, а' (то 1) + — ((у, — з (тп 1)) з" (то 8)— е — [з' (т 1))з). (4.136) При выполнении условия большой апостериорной точности апостериорное среднее приближенно равняется оптимальной оценке параметра: т~=йь Таким образом, уравнения ~(133), (134) или эквивалентные им (135), (136) определяют квазиоптимальиые алгоритмы нелинейной фильтрации параметра 6~ сигнала з(60 1), наблюдаемого на фоне белого шума.
Отметим, что при увеличении отношения сигнал-шум (д — ~-оо) эти алгоритмы являются асимптотически оптимальными [531. Конкретизируя форму сигнала з и вид параметра 00 можно с помощью уравнений (133) — (136) синтезировать устройства квазиоптимальной фильтрации стохастических сигналов и их параметров. Уравнение (136), необходимое для синтеза алгоритмов фильтрации, определяет также и их анализ. Действительно, качество фильтрации, как уже отмечалось, характеризуется апостериорной дисперсией Кб последняя же в гауссовском приближении определяется уравнением '(136). При этом среднеквадратическая ошибка ~фильтрации о,ж ~МКо (4.137) В отличие от подобной формулы (100), равенство в (137) приближенное вследствие того, что рассматриваемая задача фильтрация решалась в гауссовском приближении.
!00 В качестве примера рассмотрим случай, когда стохастический радиосигнал является фазомодулированным: з(0», 1) =А з1п (ао1+0~), (4.138) где Ао и ао — известные константы, а флуктуации фазы О» определяются уравнением (122) при у=О, т. е. 0»=ь». Это означает, что фаза О» является гауссовским процессом с независимыми приращениями, т. е. испытывает нестационарные блуждания. Коэффициенты переноса и диффузии рассматриваемого процесса: а(0,1)=О, Ь(0,1)=н!2. (4.139) Используя (138), (139), конкретизируем уравнения (135), (136). При этом пренебрежем колебательными членами с удвоенной частотой 2ао, дающими малый вклад. В результате получим »и» = у» (2К»lй(а) Ао соз (ао(+ и»») (4.140) К»= й» (2К»(»»»а) Ао з»п (ао1+»и»)+»с!2.
(4. 141) Уравнение ('140) описывает следящий измеритель типа фазовой автоподстройки частоты (ФАПЧ) с переменным коэффициентом усиления К» в цепи обратной связи. Этот коэффициент усиления, определяемый уравнением (141), зависит от наблюдаемого процесса и, следовательно, является случайным. Для упрощения технической реализации измерителя в стационарном режиме (при К»=0) можно пренебречь флуктуациями коэффициента К» и взять в качестве его константу К=МК», которая, как следует из (141), имеет вид м к, г з,~2А,' (4.142) В результате приходим к типовой схеме ФАПЧ (рис. 4.15). Таким образом, ФАПЧ является квазиоптимальным измерителем фазы рассмотренного стохастического сигнала, наблюдаемого на фоне белого шума.
Среднеквадратическая ошибка фильтрации фазы, как следует из (137) и (142), о»аз р'кА»о/2Азо. Используя уравнения (133) — (136), можно аналогичным образом синтезировать и анализировать квазиоптимальные следящие измерители для других моделей сигнала и его параметра. С методической точки зрения полезно рассмотреть пример оценивания параметра квазидетерминированного сигнала. Как уже отмечалось, последний есть частный случай стохастического сигнала.
Поэтому при синтезе и анализе измерителей параметров квазидетерминированного сигнала можно воспользоваться полученными уравнениями нелинейной фильтрации. Проиллюстрируем это на примере оцениваиия времени запаздывания В»=т сигнала з(» — т), где ч — случайная величина. 139 Рис. 4.16. Структурная схема фАПЧ Рис. 4.16. Структурная схема следящего измерителя времени запаздывания сигнала Наблюдаемый процесс в данном случае имеет вид (!06), где нужно положить з(0с, С) =з(С вЂ” т).
При такой постановке задачи задержка т со временем не меняется и, следовательно, описывается уравнением т=О. Поэтому коэффициенты (107) равны нулю. В результате уравнение для оценки тс задержки т согласно (133) имеет вид 2 тс = — ус з' (с — тс), Ь/о "с (4.!43) При записи этого уравнения опущен член вида з(С вЂ” тс)з'(С вЂ” тс)= — (зс(!в .тс))'/2, определяющий энергию сигнала (этот член неинформативен, так как оцениваемый параметр неэнергетический). Поступая аналогично при конкретизации уравнения (!34), получаем 2 "с — — ус о" (с- тс) Ь/о Следящий измеритель (рис. 4.!6), построенный в соответствии с уравнением (!43), строго говоря, должен быть дополнен устройством, определяющим в соответствии с (144) переменный коэффициент усиления сс=2/Ьсойс.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
