Сосулин Ю.Г. Теоретические основы радиолокации и радионавигации (1992) (1151790), страница 36
Текст из файла (страница 36)
Таким образом, апостериорная плотность вероятностей параметра играет важную роль в теории оптимальной фильтрации. К ее отысканию мы и перейдем. Для этого воспользуемся формулой Байеса (см. (2 8)): 179 О! , г+,,+, в(е,'+'. у',+') .Г ....Г в(е',+',у',+') пв!.„пег+! (4.[О() где 0!!+'= (ег, ..., 10!+!); у!'+' = (ут, ..., ут+,).
Выразим совместную плотность вероятностей в(В,'+', у,'+'), случайного вектора (6,'+!, у,'е') через заданные распределения вероятностей параметра сигнала и шума. Учитывая (96) и то, что значения шума статистически независимы, имеем !+1 в (уг!+! [8(+ ) = Цв!(уг,— з(0», !»)).
»=! Так как случайный процесс 8,(1= 1, 2, ...) марковский, то априорная плотность вероятностей вектора В '+! ., ( е,'+') = Ц „ ( е,+,[ 6») ве(е,). »=! Поэтому совместная плотность вероятностей в ( 6[+~, у!г+ ) = в ( у!+ ) 0,'+!) щ, ( В!+!) = г+1 = Ц~»(у» — (0» 1~)) Цвв(6»+![6»)ве(0!) »=! »=! Перепишем эту формулу в виде в (О!, Уг+ ) = в! [У 1 ! з(ег+!, !г+!)) ве(В!!! [6!)Х [' ! — 1 Х ! Ц в!(у» — з(В», !»)) Цв (О»+![0») в (6!)~. !»=! »=! (4.102) Выражение, стоящее в фигурных скобках, есть совместная плотность вероятностей в(Ось уц).
Подставляя с учетом этого формулу (102) в (101), получаем (е,'+' [у,''+') = в! [у+ — з(В+,, !г+!)[в,(0,.+ [6!)в(у!!, В~!) О ) в! [у!1! — з(6!+г, Г!+!)) в (В!+! [В!) в (у1, О!) ю(6 ...4(0!1 ! — ОЭ вЂ” ОО (4.103) Учитывая, что )'... ) в(0!„у!!)!(6! .. х(0» !=в(ею, у!!), интегрируя обе 180 части равенства (!ОЗ) ио 0„ ..., ес „ находим в (0„ Ес+,~У,'+') = в» [у+, — а(0+с, С!+с)] в (8+,]6!) в(ес, ус) 00 ОО ) ва [ у +, — а ( 8с+, Сс+,)] в (О + ] 8;) в (ес, усс) с( ес с( Ес+ 00 ОО Интегрируя теперь обе части равенства по 06 учитывая соотношение ш(00 у'с) =ас(0с]усс)ш(усс) и используя обозначение (97), получаем рс+, (0,+,) = ОО в [у,.+ — а(8,.+,с,.+ )] ] сав(8,.+ ]ес)рс(ес)с(ес ОО (4.104) 8,+„— 0, а (х, !) =1йп М ьс-»а е,=х (4.107) (0,+„— ес)' Ь (х, К) =йгп М ьс о 0,= 181 ]' », ( в,[ус+,— (е,+,, !с+с)]во(ес+,[6;) рс(ес)ле,лес+, — Ф» 00 Найденное соотношение является рекуррентным, определяющим апостериорную плотность рс+с (0!+с) через апостериорную плотность рс(0с) для с=1,2, ....
При этом начальное условие имеет вид ч [у, — (Е,, С,)1 а (0,) (4.105) ва (у, — а(8с,с,Ц саз (0,)Осе, — » Рекуррентное соотношение (104) позволяет последовательно на- ходить апостернорную плотность вероятностей рс(ес) оцениваемо- го параметра 0; для любых моментов времени. Оно служит осно- вой для синтеза и анализа устройств оптимальной фильтрации сто- хастических сигналов и их параметров и называется рекуррент- ным соотношением оптимальной фильтрации. Перейдем к случаю непрерывного времени. Наблюдаемый про- цесс ус = з (0с, г) + $с, ! =» О, (4.106) где параметр'Ос сигнала з(ес, !) — непрерывный марковский про- цесс, имеющий непрерывные с вероятностью 1 траектории. Такой случайный процесс называется диффузионным марков- ским. Его статистические свойства определяются коэффициентом переноса а(х, !) и коэффициентом диффузии Ь(х, !): (4,109) ОЬ 2 г 1 2(р,(8))= )' Мр,(8)ай= — у з(8,1) [у,— — з(8,01 х ОО Ф е оь 2 х р, (8) Н8.
(4.111) Стохастическое уравнение (109) нелинейное интегро-дифференциальное с частными производными. Определяя апостериорную плотность вероятностей рг(~8), оно тем самым позволяет находить оптимальные (линейные и нелинейные) оценки сигнала з(81, 1) и его параметра и называется уравнением оптимальной фильтрации*. Линейная фильтрация. Рекуррентное соотношение (104) и интегро-дифференциальное уравнение (109) определяют оптимальную, в общем случае нелинейную фильтрацию. Рассмотрим важный частный случай, когда оптимальная фильтрация является линейной.
Пусть протекающий в дискретном времени наблюдаемый 'процесс имеет вид у,.=8,+В,. (4.112) * Уравнение (109) приведено в так называемой снмметрнзованной форме нли в форме Стратоиовича 1531. Существует также иная запись этого уравнения — форма Ито 1531. Некоторые пояснения к этим формам записи стохастических дифференпиальных уравнений будут даны позднее (см. й 8.2) на примере более простого уравнения. 182 Шум $г — белый гауссовский со спектральной плотностью йгз/2. Уравнение для апостериорной плотности вероятностей го(8г)уго)— = — рг(18) параметра 8с получим путем предельного перехода к не- прерывному времени в рекуррентном соотношении (104). Для этого учтем, что белому гауссовскому пгуму 41 в дискретном времени со- ответствует гауссовский процесс с независимыми значениями я'(уг) = — яг, 1=1,2, ..., с нулевым средним и дисперсией (2.42), т.
е. ига(ьг) = ехр ( — ~ — ) йа ), А1 11 — 1; . (4.108) 1 /дгд 2 Подставим (118) в (104) и разложим экспоненту в ряд по степе- ням М. Переходя затем к пределу при А1-+О, получаем стохасти. ческое дифференциальное уравнение для апостериорной плотно- сти вероятностей: рг (8) = (М - М (рт (8))) р, (8), где оператор Ы имеет вид Я= — — а(8, 1)+ — — Ь(8, 1)+ — а(8, 1) [у,— — з(8,1)~, д 1 да 2 г да 2 дда Фо ~. 2 (4.110) / О', '! дев (8,) = ехр ~ — — ' о 1/2а 2од! / (4.114) Предполагается также, что шум $! гауссовский: пью!)= ехр — — ', д=1,2,... ад о, 1/2а '! 2одо/ (4.115) Так как сигнал и шум гауссовские и аддитивные, то наблюдаемый процесс (112) тоже гауссовский.
Кроме того, с помощью формулы Байеса можно убедиться, что апостериорная плотность верояг. ностей рд(8!) также является гауссовской. Поэтому ее можно записать в виде Р! (Од) =- )/ 2 ехр ~ 2 (Од (4.118) Апостериорное среднее т! и апостериорная дисперсия 1//д» полностью определяют апостериорную плотность вероятностей рд(8!). Параметры т! и Ь! определим исходя из рекуррентного соотношения оптимальной фильтрации (104). Для этого согласно (96) н (112) нужно в нем положить з(6ь !!)=8; и затем подставить (~113), (115), а также рд+д(Од+!) и р;(6;) в форме (118). Конкретизировав таким образом рекуррентное соотношение (!04), проинтегрируем по 8ь используя для этого интеграл О /а (а ехр ( — ахд + бх) д(х = ~// — ехр ~ — ) а 4а/ Затем, приравняв соответствующие члены, стоящие в разных частях полученного равенства, найдем рекуррентные алгоритмы для параметров апостериорной плотности вероятностей: (4.117) (4.118) тдч.д = сдд уд.~д+сд! т!.
/д а! +, д=1,2,..., од а Ьд о~! ( ! — р') + р' (зз При этом полезный сигнал 6! является марковским гауссовским процессом, для которого переходная плотность вероятностей доз (8!+!)8!) ехр 1 — ', (4.113) од 1/2а(1 — р ) 1 2 о~!(! — рд) где р=ехр( — у(ддд!); М=(д+!-~(ь д=1,2, .... Здесь р — коэффициент корреляции", 1/у — интервал корреляции сигнала Оь Начальная плотность вероятностей где Ь»о~»(! — р )+р ь» оор л» о» (1 — р') + рв -(- Ь» о~ ~Ь» ов (1 — ре) + ре + Ь» о~ Начальное условие получаем из (105) и (114) оо» ут т,=,, а„= — + —, (4.120) но+ о» о» оо Апостериорное среднее и»», как следует из (116) и (98), совпадает с оптимальной оценкой сигнала: лт»=~0». Таким образом, рекуррентные соотношения (117), (118) вместе с формулами (119), (120) позволяют последовательно находить оптимальную оценку сигнала. Весовые коэффициенты сы и ссь вычисляемые по формулам (119) и (118)„от на~блюдаемого процесса у» не зависят.
Рекуррентные соотношения (117) и (118) определяют оптимальный линейный фильтр с переменными параметрами (рис. 4.14,а), который является одномерным вариантом дискретного фильтра Кал» лана. Рекуррентное соотношение (118), определяющее весовые коэффициенты фильтра Калмана, позволяет также рассчитать качест» с, б) а) à — — — — —— ~ффп»фуппгпп фппппф о» г) Рис. 4.14.
Структурные схемы дискретного (а) и непрерывного (б — г) фильтров Калиена 184 (4.122) (4.126) во его работы. Действительно, так как апостериорная дисперсия Кс=1/йс от наблюдаемого процесса ус не зависит (см. (118)), то МКс=Кс=1/йс и в силу соотношения (~100) среднеквадратическая ошибка оптимальной фильтрации о, =.!/у'й,. (4.121) Рассмотрим теперь случай, когда наблюдаемый процесс протекает в непрерывном времени: ус=~Ос+чс, где зс — белый гауссовский шум со спектральной плотностью Мз/2, а сигнал Ос является непрерывным марковским гауссовским процессом, определяемым стохастическим дифференциальным уравнением Ос = — 70с+с с где ~с — дельта-коррелированный гауссовский процесс: Мьс= 0, Мьс ьс+,=(сс~2) б (т). (4.123) Процесс Ос принадлежит к классу диффузионных марковских процессов. При этом, как следует из (107) и (122), (123), его коэффициенты переноса и диффузии а (О, 1) = — 70, Ь (О, /) = сс'2.
(4. 124) Используя эти коэффициенты и учитывая, что з(0с, /)='Ос, конкретизируем оператор (110): д сс дс 2 С 1 я= 7 — О+ — — + — О ~у,— — О~ . (4.125) дв 4 дОс су, ~ 2 Апостериорная плотность вероятностей рс(8) по тем же причинам, что и в случае дискретного времени, является гауссовской: Рс(8)= 1/ 2 ехр~ — 2 (Π— спс) 1' Подставив (125) и (126) в уравнение оптимальной фильтрации (109), выполним в нем операции дифференцирования. Приравнивая затем члены при одинаковых степенях 0 и Ос, получаем дифференциальные уравнения для параметров апостериорной плотности вероятностей: (4.127) Х>ас / усьс й,= — 27о', йс+27йс+— (4.128) с1со где осс=сс/47 — дисперсия сигнала 8с.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
