Сосулин Ю.Г. Теоретические основы радиолокации и радионавигации (1992) (1151790), страница 40

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 40)

5.2. ОЦЕНОЧНО-КОРРЕЛЯЦИОННО- КОМПЕНСАЦИОННОЕ ОБНАРУЖЕНИЕ СТОХАСТИЧЕСКИХ СИГНАЛОВ в в Дв= Пш(уг(уг~ ', 0=1)ш(у,)0=1)/Пшй(ут). г=э ' г=1 (5.12) * В более общей постановке задачи это ограничение может быть ослаблено 1031. 201 Оценочно-корреляционные алгоритмы. Рассмотрим теперь более общую задачу совместного обнаружения и оценивания, когда полезный сигнал является стохастическим. Вначале остановимся на случае дискретного времени наблюдения, когда в моменты (и (и ..., („ наблюдается случайная последовательность у, =(), (8„(~)+5,; (), =О, 1; 1= 1,..., п.

(5.11) Параметр 8ь (=1, 2, ..., стохастического сигнала з(8ь 1;)представляет собой случайный процесс с дискретным временем, на который практически никаких ограничений не накладывается. Шум $ь 1=1, 2, ..., является случайным процессом с независимыми значе. пнями, описываемыми плотностью вероятностей шй ($т). Предполагается, что параметр сигнала и шум статистически независимы *. Найдем отношение правдоподобия й =ш(уь ..., у„(0=1)/ш(уь ..., у„(0 =О). Для этого введем условные плотности вероятностей ш(уг(уь ..., у» — » 0= =1) =ш(у;(у,'-1, 6=1); (=1, ..., и, Тогда отношение правдоподобия можно записать в виде Так как $, — процесс с независимыми значениями и, кроме того, статистически не зависит от процесса Оо то при фиксированном значенки О; имеем (5.13) (дйд,'-', О=Ц= ~ (дб10,, д,-', О=Ц.(ОВ1д,'-', О=Ца01.

С учетом соотношений (13), (14) имеем (дз(д',' — ', О=Ц= ~ш,(дз — (О,, гз)1ш(Оз(д',-1, О=ЦОО,, ч В результате отношение правдоподобия (12) принимает вид г (д, (О 1)1 (О („г-~ Л„= Ц 1=2 ~(д ) ш(дз)О = Ц шй (дз) (5.15) Отношение правдоподобия удобно формировать последовательным образом с помощью рекуррентного алгоритма, который в соответствии с (15) можно представить в виде СО юа [дз — з(0;, 1;))ш(Оз(д~ О = Цз(01 л;=л, 1=2, З,...,п шй (дд (5.16) Начальное условие юй (д, — з (Ох, Гх)1 ша(Оз) з(0~ Л = ш(д'10= Ц вЂ”вЂ” 1= ш(д,(О = О) шз (дз) где ше(8,) — априорная плотность вероятностей параметра Оо Обратим внимание на то, что формулы (15), (16) устанавливают Функциональную взаимосвязь отношения правдоподобия, определяющего структуру оптимального обнаружителя, и апостериорной плотности вероятностей параметра сигнала, определяющей структуру оптимального измерителя.

Поэтому система обработки 202 ш(д110ы д*,'-', О=Ц=ш(д1~0о О=Ц. Учитывая (1Ц и то, что плотность вероятностей шума 1, описывается функцией шв получаем ш(дцвы О=ц=ш,1д,— (О;, 8)1. (5.14) Введем апостериориую плотность вероятностей параметра сигнала ы(0;1 д~' ', 0= Ц . В силу свойств условных плотностей вероятностей г Л/ Л; = Лг, + Лг ) [ — [289 з(0;, 1;) — зх(0г, й)) + е + ' э (0;, 1,)~~ ш(0,)у,—. 6=1)80;+О[(Л/)э), 2 (Ы гы)а /уэ о [(5.19) где 0[(Л/)'] — члены порядка малости (Л/)э и выше. Перейдем в рекуррентном соотношении (19) к пределу, устремляя Л/-еО.

При этом выборочные значения у,'= (уь,, ги) наблюдаемого процесса, взятые На ОтрЕЗКЕ ВРЕМЕНИ [О, /), В ПрЕдЕЛЕ Прн Л/=Г; — б ,-ьб, 1 — ьсо, дадут НЕПрЕ- рывную реализацию у,'=(йо О~як/). Отношение правдоподобия при дискрет- НОМ ВРЕМЕНИ Л;а Ш(уь[6=1)/Ю(д*'~[6=0) ПЕрЕйдЕт В ОТНОШЕНИЕ ПраедОПОдпбия Л,=ш(уэ'[6=1)/ш(рз'[6=0), являющееся функционалом реализации рз' наблюдаемого процесса (17). Входящие в формулу [19) интегралы зсз(0г /~) ш(0г[У~1 1 6 1) 801 203 сигналов, построенная на основе указанных формул, будет являться системой совместного обнаружения н оценивания параметра стохастического сигнала. Конкретные структуры таких систем, обрабатывающих наблюдаемый процесс в дискретные моменты времени, можно получить, если конкретизировать распределения вероятностей шума и параметра сигнала [53). Перейдем к непрерывному времени наблюдения, когда наблю.

даемый процесс имеет вид у,=68(Е,,/)+В,; 6=О, ); О<1<т. (5. [7) При этом будем считать, что шум йг — белый гауссовский с параметрами (2.34). На случайный процесс Вг, являющийся параметром сигнала з(Оь /), практически никаких ограничений не накладываем (как и при дискретном времени). Отношение правдоподобия для непрерывного времени найдем путем предельного перехода в рекуррентном соотношении (16) Для этого воспользуемся тем, что белому гауссовскому шуму $~ со спектральной плотностью /гр/2 соответствует при дискретном времени гауссовский процесс с независимыми значениями 5ь плотность вероятностей которого определяется формулой (4.!08).

Подставив эту формулу в соотношение [16), получим г Л/ Л; = Л;, [ехр [ — [2йт з(0;, й) — зз(йг, й))) ш(0;[у[ 1, 6= 1)80;. /ге (5.18) Разлагая экспоненту в ряд по степеням Л/ и используя условие нормировки ш(0,[у,'-', 6= 1)г/0;= 1, соотношение (18) приведем к виду «« ['за(91, 1!) ш(В![у! ~1, В= !)НВ1 в пределе дадут апостериорные математические ожидания сигнала з(Вп !) н его квадрата Ф(Оь Г): «« М[з(О« 1)[Уо 0=1[= [з(В, 1)рз(О)с(О=»з, (5.20) М [з'(О , /)[у~!, В = 1[ = [ зз (В, 1) рг (В)»( В = ~~.

(5.21) Здесь р,(В) ==ш (В~[у«', В= 1) — апостериорная плотность вероятностей параметра сигнала. Апостериорные математические ожидания (20), (21), обозначенные через з, и ззо являются оптимальными (байесовскими среднеквадратическими) оценками сигнала з(Во 1) и его квадрата зз(Оо 1) соответственно. Рекуррентиое соотношение (!9) в пределе при Лг-»О перейдет в стохастическое дифференциальное уравнение. Прн этом возможны две формы записи стохастического дифференциального уравнения — форма Иго и с%мметриэованная форма (форма Стратоновнча).

Форма записи уравнения будет зависеть от того, учитывается или отбрасывается в соотношении (19) член, содержащий коэффициент — ( у!) . (5.22) Если под шумом $, понимать строго дельта-коррелированный процесс (см. (234)), «о указанный член необходимо учитывать, так как коэффициент (22) при Л! 0 дает вклад порядка (А!«/2)Л/ [53), т. е. имеет порядок малости 0(Л/). Это является следствием изломанности реализации белого шума $« и наблюдаемого процесса у,. Такие реализации недифференцируемы в обычном смысле, однако их можно дифференцировать, пользуясь специальным правилом — формулой дифференцирования Ито [53, с. 30).

Таким образом, переходя в соотношении (19) к пределу с учетом коэффициента (22), получаем стохастическое дифференциальное уравнение для отношения правдоподобия в форме Ито: (5.23) с(» Лг = (2/л/«) Л з зг Уг »У (чтобы отличить стохастический дифференциал Ито от обычного дифференциала используем знак «). Однако на практике шум радиотехнических устройств является «сглаженным» (не дельта-коррелированным) процессом. В этом случае коэффициент (22) имеет порядок малости 0[(Л/)з) и в пределе дает нулевой вклад.

Поэтому, отбрасывая в формуле (19) член, содержащий указанный коэффициент, переходя к пределу при Л!-»О, получаем симметризованное стохастическое дифференциальное уравнение для отношения правдоподобия б Лг = (2/Л'«) Лг з! У! У/ — П //у«) Лг зз х3! 204 которое эквивалентно уравнению т ! т а, = — (згртси — — ) 4~8 Лаосе Таким образом, отношение правдоподобия т « т а, — р ( — г,га- — !чу) . Ло о й/а Рассмотрим теперь уравнение в форме Ито (23).

Заменяя переменные гг=)пЛс и применяя формулу дифференцирования Ито, получаем (53! 2 т 1 т зт = — )' з, дегте/ — — ) (з,)'г/й й/о о й/о о Первый интеграл в этой формуле является стохастическим интегралом Ито, который подчиняется особым правилам интегрирования, не совпадающим с обычными правилами интегрирования гладких функций. Как следует из (27), отношение правдоподобия 12 т- ! т л, =.*г ! — 1 г,а'~ — 1 аа'а) .

(5.28) )та о 'Ча о (5.26) Формулы (26) и (28) определяют отношение правдоподобия в задаче обнаружения произвольного стохастического сигнала в в белом шуме. Они отличаются друг от друга вследствие использования различных форм записи стохастических интегралов: первые интегралы в формулах (26) и (28) есть симметризованный стохастический интеграл Стратоновича и стохастический интеграл Иго соответственно. Подчеркнем, что полученные формулы определяют отношение правдоподобия (и его логарифм) для любых моделей стохастического сигнала. При этом они устанавливают функциональную взаимосвязь отношения правдоподобия с оптимальными оценками 205 Лт = (2/гуа) Лт зг рг (1/Л/а) Лг ~. (5.24) Найдем решение полученного уравнения При этом учтем, что при симметрированной записи стохастических выражений с ними можно обращаться, используя обычные правила дифференцирования и интегрирования, как если бы белый шум й~ и наблюдаемый процесс ю имели гладкие реализации Поэтому, заменяя переменные а~=!п Л~ и дифференцируя по обычному правилу яЧ=Л~/Ль из уравнения (24) получаем аг= (2/Лга)АЮ вЂ (1//Уа)ааь Используя начальное условие а,=о (Л,=1), находим логарифм отношения правдоподобия в момент окончания наблюдения Т: сигнала, определяя так называемую оценочно-корреляционную обработку сигналов.

Характеристики

Список файлов книги