Надольский А.Н. Теоретические основы радиотехники (2005) (1151788), страница 16
Текст из файла (страница 16)
4.2,в) описывается выражениемs (t ) [U н k aU м cos(t )] cos( 0 ) ,илиs (t ) U н [1 m cos( t )] cos( 0 ) ,где m k aU м U н U U н – коэффициент или глубина амплитудной модуляции, причем 0 m 1 ; 2 T м , T м , – частота, период и начальная фаза модулирующегосигнала.Коэффициент амплитудной модуляции можно вычислять по следующейформуле, более удобной для экспериментального его определения по графикуАМ-сигнала:U U minm max.U max U minЭто выражение соответствует приведенному выше соотношениюm U U н .U U min U н U (U н U ) Um max.U max U minU н U U н UUнКоэффициент m должен иметь значение в диапазоне 01. Иначе приm 1 имеет место перемодуляция, появляются так называемые биения, чтоприводит к искажению огибающей сигнала.Вид АМ-сигнала с тональной модуляцией при различных значениях коэффициента модуляции m представлен на рис.
4.3.Рис. 4.2. Несущее колебание (а), модулирующий сигнал (б),АМ-сигнал с тональной модуляцией (в) и соответствующие спектры4.2.2. Спектральный анализ АМ-сигналовОпределим спектры амплитудно-модулированных колебаний при различных видах модулирующих сигналов.1. Модулирующий сигнал представляет собой гармоническое колебаниеодной низкой частоты – амплитудная модуляция одним тоном.Спектральный состав можно определить, преобразовав выражение длясигнала s (t ) U н [1 m cos( t )] cos( 0 t ) :s(t ) U н cos( 0 t ) U н m cos(t ) cos( 0 t ) U mU m U н cos(0t ) н cos[(0 )t ] н cos[(0 )t ] .22Как видно из полученного выражения, спектр АМ-сигнала содержит тригармонические составляющие.Первая гармоническая составляющая – исходное немодулированное колебание с несущей частотой 0 и начальной фазой .
Амплитуда этой составляющей не зависит от уровня модулирующего сигнала.Вторая и третья гармонические составляющие (боковые составляющие)появились в результате модуляции. Их частоты 0 и 0 называют соответственно нижней и верхней боковыми частотами. Амплитуды этих составляющих одинаковы и равны U н m 2 , т.е. пропорциональны коэффициенту модуляции, фазы и симметричны относительно фазы несущего колебания.Рис. 4.3. АМ-сигнал с тональной модуляциейпри m = 0,4(а); 0,8(б), 1,5(в)Применяя формулы Эйлера, можно получить выражения для спектра вкомплексной форме:s (t ) U н [1 m cos( t )] cos( 0 t ) e j (t ) e j (t ) e j ( 0 t ) e j ( 0 t ) Uн 1 m22UUU mUm н e j(0t ) н e j(0t ) н e j[(0 )t )] н e j[(0 )t )] 2442U mU m н e j[( 0 )t ] н e j[( 0 )t ] .44Амплитудный S ( ) и фазовый м ( ) спектры АМ-сигнала представленына рис.
4.4 (тригонометрическая форма) и рис. 4.5 (комплексная форма).Эффективная ширина спектра сигнала с тональной АМ равна удвоеннойчастоте модулирующего колебания, т.е. эф 2 .Рис. 4.4. Амплитудный (а) и фазовый (б) спектры АМ-сигнала(тригонометрическая форма)Рис. 4.5. Амплитудный (а) и фазовый (б) спектры АМ-сигнала(комплексная форма)2. Модулирующий сигнал представляет собой полигармоническое колебаNние s м (t ) U k cos( k t k ) .k 1В этом случае АМ-сигнал также периодический; спектр можно получить,преобразовав выражение для сигнала:N U k cos( k t k )] cos( 0t ) s (t ) [U н k ak 1N U н [1 mk cos( k t k )] cos( 0t ) k 1Uн N U н cos( 0 t ) mk cos[( 0 k )t k ] 2 k 1Uн+2Nmkcos[( 0 k )t k ] ,k 1где m k k a S k U н – парциальные (частичные) коэффициенты амплитудноймодуляции.Таким образом, каждой из частот k модулирующего сигнала соответствует пара боковых частот в спектре АМ-сигнала.
Амплитуды и фазы составляющих спектра взаимно независимы, т.е. формируются линейно. На рис.4.6,аизображен спектр модулирующего полигармонического сигнала и АМ-сигнала.3. Модулирующий непериодический сигнал s м (t ) .Огибающая АМ-сигнала в этом случае может быть образована либо непосредственным умножением на модулирующий сигнал, либо с добавлением кмодулирующему сигналу постоянной составляющей, превращающей его в однополярный сигнал, т.е. огибающая модулированного сигнала может иметь видU (t ) U н k a s м (t ) .U (t ) k a s м (t )U нилиВ любом случае спектр модулированного сигнала s (t ) U (t ) cos( 0 t )определяется прямым преобразованием Фурье, т.е.
равенS ( j ) U (t ) cos( 0t )e j te j ( 0 t ) e j ( 0 t ) j tdt U (t )edt 21 j 1 j j ( 0 )t e U (t )edt eU (t )e j ( 0 )t dt 2211 e j SU [ j( 0 )] e j SU [ j( 0 )].22В данном выражении SU ( j ) – это спектральная плотность огибающейАМ-сигнала.Как видно из полученного выражения, спектральная плотность амплитудно-модулированного сигнала занимает полосы частот вокруг 0 и 0 . Онаопределяется смещением спектра огибающей сигнала по оси частот на величину 0 вправо и влево с учетом масштабного коэффициента и определенногофазового сдвига. Отсюда можно сделать вывод, что определение спектра радиоимпульса сводится к нахождению спектральной характеристики его огибающей.Заметим, что для узкополосного сигнала, имеющего эф 0 , смещенные спектры не искажают друг друга, что позволяет записать1в области положительных частот: S ( j ) e j SU [ j ( 0 )] ;21в области отрицательных частот: S ( j ) e j SU [ j ( 0 )] .2Пусть огибающая равна U (t ) k a s м (t )U н .Спектральная характеристика такой огибающей равна по существу спектральной характеристике модулирующего сигнала с учетом масштабного коэффициента, равного k aU н .
Следовательно, спектр АМ-сигнала с такой огибающей представляет собой спектр S м ( j ) модулирующего сигнала, смещенныйпо оси частот на величину 0 вправо и влево с учетом масштабного коэффициента:11S ( j) kaU нe j S м[ j( 0 )] kaUн e j S м[ j( 0 )].(4.1)22Пусть огибающая равна U (t ) U н k a s м (t ) .Спектральная характеристика такой огибающей равнаSU ( j) U(t) j tdt [U н ka s м (t )] e j t dt Uнe j tdt k a s м (t )e j tdt 2U н ( ) k a S м ( j ) .Следовательно, спектр АМ-сигнала с такой огибающей кроме спектра модулирующего сигнала, смещенного по оси частот на величину 0 вправо и влево с учетом масштабного коэффициента, содержит также смещенные дискретные части в виде взвешенных дельта-функций, которые соответствуют постоянной величине U н (рис.
4.6, б):S ( j ) U н e j ( 0 ) U н e j ( 0 ) 11 ka e j S м[ j( 0 )] ka e j S м [ j( 0 )] .22Рис. 4.6. Спектры модулирующих и АМ-сигналов при модуляцииполигармоническим сигналом (а) и непериодическим сигналом (б)Пользуясь полученными результатами, нетрудно определить спектр радиоимпульса с прямоугольной огибающей. Он формируется в результате процессаамплитудной модуляции гармонического несущего колебания прямоугольнымвидеоимпульсом (рис. 4.7). Если амплитуда модулирующего видеоимпульсаравна Е , а несущее высокочастотное колебание равно s н (t ) U н cos 0 t , торадиоимпульс будет описываться выражениемk EU н cos 0t при и 2 t и 2 ;s (t ) a0 при t и 2 , t и 2 .Как следует из данного выражения, сигнал получен простым умножениеммодулирующего сигнала на несущее колебание.
В данном случае нет необходимости добавлять к модулирующему сигналу постоянную составляющую, превращающую его в однополярный сигнал. Следовательно, в спектре радиоимпульса будет отсутствовать дискретная составляющая в виде -функции.Известно, что спектр видеоимпульса, изображенного на рис. 4.7,а, равенsin ( и 2)S м ( j ) E и. и 2Тогда, пользуясь соотношением (4.1), можно определить спектральнуюплотность прямоугольного радиоимпульса:11S ( j) kaU ye j S м [ j( 0 )] kaU нe j S м[ j( 0 )] =22sin[ ( 0 ) и 2]sin[ ( 0 ) и 2] 1 k aU н E и e j e j.2( 0 ) и 2( 0 ) и 2 Амплитудный спектр радиоимпульса c прямоугольной огибающей изображен на рис.
4.7,б.абРис. 4.7. Видеоимпульс и радиоимпульс (а), их спектры (б)4.2.3. Векторное представление сигнала с амплитудной модуляциейСигнал с амплитудной модуляцией можно представить в виде векторнойдиаграммы, которая наглядно отображает структуру сигнала и процесс изменения амплитуды несущего колебания. Наиболее просто векторная диаграмма получается для сигнала с однотональной амплитудной модуляцией.
Воспользуемся спектральным представлением такого сигнала:U mU ms(t ) U н cos(0t ) н cos[(0 )t ] н cos[(0 )t ] .22Первое слагаемое спектра изображается вектором OC длины U н , составляющей угол с горизонтальной осью ОВ при t 0 (рис. 4.8). Вектор вращается против часовой стрелки с угловой скоростью 0 .Второе и третье слагаемые представляются векторами длины U н m 2 , составляющими с линией ОВ углы соответственно г и г . Они вращаютсяпротив часовой стрелки со скоростями 0 и 0 .Сумма проекций этих трёх векторов на горизонтальную ось ОВ и есть амплитудно-модулированное колебание s (t ) .Рис.
4.8. Векторное представление АМ-сигналаДля получения большей наглядности воспользуемся вращающейся системой координат. Для этого полагаем, что горизонтальная ось ОВ вращается почасовой стрелке с угловой скоростью 0 . Тогда вектор OC будет неподвижен,а векторы, изображающие верхнюю и нижнюю боковые составляющие, будутвращаться со скоростью относительно вектора OC соответственно против ипо часовой стрелке.