Надольский А.Н. Теоретические основы радиотехники (2005) (1151788), страница 11

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 11)

3.4.Рис. 3.4. Взаимозаменяемость переменных  и t в преобразованиях Фурьез. Смещение спектра сигналаПроизведение двух сигналов s1 (t ) и s2 ( t )  cos(  0 t   ) образует гармонический сигнал s (t )  s1 (t ) cos( 0 t   ) , в котором s1 (t ) при соблюдении некоторых условий (п. 4.5) может быть огибающей. Так, если s1 (t ) – импульсныйсигнал (видеоимпульс), то s(t ) – это радиоимпульс с несущей частотой  0 .Определим спектральную плотность сигнала s(t ) :S ( j )  s(t )e j tdt   s1 (t ) cos( 0 t   )e  j t dt 11 j ( 0 t  )  j t  s1 (t )eedt   s1 (t )e  j ( 0 t  ) e  j t dt 2 2 1 j 1  j  j (  0 )t es1 (t )edt  es1 (t )e  j (  0 )t dt .22Таким образом, спектральная плотность сигнала s (t ) равна11S ( j )  e j S1[ j (   0 )]  e  j S1[ j (   0 )] .22Вывод.

При умножении сигнала на гармоническую функцию образуетсясигнал, спектр которого представляет собой преобразованный спектр сигналаs1 (t ) . Суть преобразования заключается в переносе спектра на   0 с уменьшением вдвое его величины.Рассмотренные свойства преобразования Фурье значительно облегчаютвычисление спектров различных сигналов.3.4.

Определение спектров некоторых сигналов3.4.1. Спектр колоколообразного (гауссова) импульса1  t  2e, представляет собой колоколообразный (гауссов) импульс, совпадающий по форме с графикомнормального закона распределения вероятностей (рис. 3.5,а). Некоторые характеристики сигнала (площадь под графиком сигнала, значение параметра  ) рассмотрены ранее (п.

2.2.3). Убедимся в том, что амплитудный спектр этого сигнала по форме совпадает с самим сигналом.Сигнал, описываемый функцией вида s (t ) баРис. 3.5. Колоколообразный (гауссов) импульс (а) и его спектр (б)Спектральную плотность сигнала будем определять, вычисляя прямое преобразование Фурье:2t   1S ( j )   s(t )e  j t dt   e    e  j t dt . Применим формулу Эйлера:22tt1     1     S ( j )   ecos  t dt  j  esin  t dt .  Второй интеграл полученного выражения равен 0 как интеграл в симметричных пределах от нечетной функции. Для вычисления первого интегралавоспользуемся справочником по математике [1]. В таблице неопределенных интегралов справочника приведена формула  b 2 4a 2a2 x2ecosbxdxe2a0при a  0 .Применительно к рассматриваемой задачеa; b   .

Следовательно, 2 2 2 2e 4  e 4 .S ( ) 2  t  22ecostdt 0 2 22 2 2 Обозначим  . Тогда     , что позволяет записать42S ( )  e     .Таким образом, колоколообразный импульс и его спектр описываются посуществу одинаковыми функциями (отличаются только масштабом и, разумеется, аргументами). Спектр сигнала изображен на рис. 3.5,б.Полоса спектра на уровне e  ( 4) от максимального значения равна2 2 2    1    , 1   ,  21  .224 По значению  можно оценить эффективную полосу частот, занимаемуюспектром сигнала.

Полученное соотношение позволяет сделать вывод, что чемменьше параметр  колоколообразного сигнала, тем шире полоса частот, занимаемая его спектром.3.4.2. Спектральная плотность-функцииСпектральную плотность -функции определим с помощью прямого преобразования Фурье, используя ее селектирующее свойство:S ( j ) s (t ) e j tdt   (t ) e j tdt  e j 0  1 .Таким образом, -функция имеет равномерный и сплошной амплитудныйспектр, равный единице на всех частотах. Вещественность спектральной плотности обусловливает отсутствие фазового спектра (рис. 3.6,а).Обратное преобразование Фурье от спектра -функции даст следующиеформулы для ее представления:j t e d , (t )  12 (t )  12e j td .Учитывая взаимозаменяемость частоты и времени в преобразовании Фурье, можно записать: ( )  12ej tdt , ( )  12e j tdt .Сдвиг  -функции вдоль временной оси на интервал t0 приведет к изменению спектра.

Он будет равенS ( j )   (t  t 0 ) e j tdt  e i t 0 .При сдвиге  -функции амплитудный спектр не изменяется. Появляетсяфазовый спектр в виде линейной зависимости фазы от частоты (рис. 3.6,б).абРис. 3.6. Амплитудный (а) и фазовый (б) спектры  -функции3.4.3. Спектр функции единичного скачкаОпределение спектра функции единичного скачка путем непосредственного вычисления преобразования Фурье сопровождается затруднениями, связанными с тем, что эта функция не является абсолютно интегрируемой. Поэтомупользуются косвенным методом, предусматривающим предельный переход кданной функции от другой функции, спектр которой определяется без затруднений.Функцию единичного скачка можно получить из экспоненциального импульса путем предельного перехода, т.е.lim e  t при t  0 (t )   0 0 при t  0Следовательно, спектральную характеристику функции единичного скачкаможно определить, выполнив предельный переход от спектра экспоненциального импульса при   0 .

Определим спектр экспоненциального импульса:1S э ( j )   e  t e  j t dt  e (  j )t  j001.  jТогда искомый спектр равенS ( j )  lim S э ( j )  lim 0  2   2 0 j lim 0  2   2.При   0 первое слагаемое в правой части этой формулы равно нулю навсех частотах, кроме   0 . На частоте   0 это слагаемое обращается в бесконечность. Площадь под графиком функцииравна22 d  2 d 2 .22220  Таким образом, пределом первого слагаемого при   0 является взвешенная  -функция, т.е.

 ( ) . Пределом второго слагаемого – величина 1 ( j ) . Врезультате можно записать выражение для спектральной плотности функцииединичного скачка:S ( j )   ( )  1 ( j ) .Графики амплитудного и фазового спектров приведены на рис. 3.7. 21Рис. 3.7. Амплитудный и фазовый спектры функции единичного скачка3.4.4. Спектр постоянного во времени сигналаПоскольку мы знаем, что спектром  -функции является константа, то благодаря дуальности преобразования Фурье можно ожидать, что спектр постоянного во времени сигнала (константы) будет иметь вид  -функции.Пусть s (t )  A .

Спектр этого сигнала равенS ( j ) Ae j t1   j tdt  2Aedt  2A ( ) .2 Предположение подтвердилось (рис. 3.8,а). Здесь хорошо прослеживаетсяобратная пропорциональность между длительностью сигнала и шириной егоспектра: бесконечно протяженный сигнал имеет бесконечно узкий спектр.3.4.5. Спектр комплексной экспонентыРассмотрим комплексный сигнал вида s (t )  Ee j 0t . Спектр такого сигнала равенS ( j )  Eej 0 t  j tedt  Ee j (  0 )tdt  2E (   0 ) .Спектр комплексного сигнала представляет собой одиночную взвешенную -функцию (рис.

3.8,б). Сигнал не является вещественным, поэтому амплитудный спектр теряет свойство четности.абРис. 3.8. Амплитудные спектры постоянного во времени сигнала (а)и комплексной экспоненты (б)Заметим, что модель комплексного сигнала является удобным средствоманализа модулированных сигналов, особенно при сложных видах модуляции,предусматривающих одновременное изменение амплитуды и фазы. Такая модель сигнала анализируется в следующем разделе 4.3.4.6. Спектр гармонического сигналаОпределим спектральную плотность гармонического сигналаs ( t )  E cos(  0 t   ) .S ( j ) E cos( 0t   )e  j t dt E  j ( 0 t  )e e  j ( 0t  ) e  j t dt 2 E j   j (  0 )tE  j   j (  0 )t edt  edt .ee22ОкончательноS ( j )  Ae j  (   0 )  Ae  j  (   0 ) .Спектральная плотность гармонического сигнала представляет собой парувзвешенных  -функций, расположенных на частотах   0 .

Веса  -функцийотражают комплексную амплитуду гармонического сигнала.3.4.7. Спектральная плотность прямоугольного видеоимпульсаСпектральную плотность прямоугольного видеоимпульса (рис. 3.9) определим двумя способами:1) непосредственным вычислением прямого преобразования Фурье;2) использованием свойств преобразования Фурье.Первый способ.Вычисляем прямое преобразование Фурье, учитывая ограниченную длительность сигнала и постоянство амплитуды в пределах длительности:и 2S ( j ) Ee и 2 j tdt E je j tи 2 иe j  и 2  e  j и 2E,j2sin  и 2 . и 2Рассматривался четный сигнал, поэтому его спектральная плотность содержит только действительную часть (см. рис.

3.9,б).Амплитудный спектр представляет собой функцию типа sin x x . Он имеетлепестковый характер, причем ширина лепестков равна 2  и , т.е. обратнопропорциональна длительности импульса. Нули спектра определяются из уравнения sin ( и 2)  0 :2 и 2   k , k  1, 2, 3, ,  k   k.иЗначение спектральной плотности импульса при   0 равно произведению E и , т.е. S (0) равно площади импульса.При увеличении длительности импульса ширина лепестков спектрауменьшается, при этом увеличивается значение S (0) . При уменьшении длительности импульса ширина лепестков увеличивается, значение S (0) уменьша2ется. При  и  0 точки спектра  k   kудаляются в бесконечность и бесиконечно малая спектральная плотность становится равномерной в бесконечнойполосе частот. При  и   точки спектра  k приближаются к нулю и бесконечно большая спектральная плотность приобретает вид  -функции (с полосойчастот, равной нулю).S ( )  E иФазовый спектр (см.

рис. 3.9,б) принимает лишь два значения: 0 и  в зависимости от знака функции sin x x . Значения фазы  и   неразличимы,разные знаки для фазового спектра при   0 и   0 использованы лишь с целью представления его в виде нечетной функции.абРис. 3.9. Прямоугольный импульс и его производная (а),спектр прямоугольного импульса (б)При сдвиге импульса по оси времени на величину t   t0 спектральнаяплотность в соответствии со свойствами преобразования Фурье приобретаетвидsin и 2  j tsin и 2  j t0S ( )  E иe E иe. и 2 и 2Как видно из этого выражения, амплитудный спектр не изменяется, а фазовый спектр свидетельствует о линейной зависимости фазы от частоты соскачками на  в точках  k (штриховая линия на рис. 3.9,б).Второй способ.Определяем сигнал s1 (t ) , равный производной от рассматриваемого пряds(t )моугольного видеоимпульса, т.е. s1 (t ) .

Характеристики

Список файлов книги