Надольский А.Н. Теоретические основы радиотехники (2005) (1151788), страница 9

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 9)

Частоты составляющих дискретны, т.е. имеют значения, кратные основной частоте – частоте сигнала: 0 , 1 , 21 , 31 ,… . Таким образом, спектр периодического сигнала является дискретным.Практическое применение имеет другая форма записи тригонометрического ряда Фурье. Известно, чтоa k cos k1t  bk sin k1t  Ak cos(k1t   k ) ,bгдеAk  a k2  bk2и  k  arctg k .akТогда ряд (3.6) можно записать так:s( t ) A02 Ak cos(k1t   k ) .k 1Таким образом, периодический сигнал любой формы представляется постоянной составляющей A0 2 и бесконечной совокупностью гармоническихсоставляющих с амплитудами Ak и начальными фазами  k .Совокупность составляющей A0 2 и амплитуд Ak называют амплитуднымспектром, а совокупность фаз  k – фазовым спектром сигнала.3.2.2.

Спектры четных и нечетных сигналовОпределение спектров периодических сигналов сводится по существу кнахождению коэффициентов ряда Фурье. Решение этой задачи иногда значительно упрощается, если учитываются особенности сигналов.Спектр четных сигналовЕсли сигнал s (t ) четный, то коэффициенты bk равны 0, так как подынтегральная функция s (t ) sin k1t является нечетной (интеграл от нечетной функции по симметричному промежутку равен 0). При этом ряд Фурье содержиттолько косинусы и постоянную составляющую, т.е.a0s (t )   a k cos k1t ,2 k 1где коэффициенты a k равны:T 2T 224ak s(t ) cos k1tdt s (t ) cos k1tdt .T T 2T 0Таким образом, для определения коэффициентов ряда Фурье четных сигналов достаточно иметь сигнал, заданный на половине периода.Спектр нечетных сигналовЕсли сигнал s (t ) нечетный, то коэффициенты a k равны 0, так как подынтегральная функция s( t ) cos k1t является нечетной.

При этом ряд Фурье содержит только синусыs (t )  bk sin k1t,k 1где коэффициенты bk равныT 2T 224bk s(t ) sin k1tdt s (t ) sin k1tdt .T T 2T 0И в этом случае для определения коэффициентов ряда Фурье достаточноиметь сигнал, заданный на половине периода.3.2.3. Комплексная форма ряда ФурьеНаиболее часто пользуются другой, более компактной формой записи рядаФурье, называемой комплексной формой. Для получения ряда Фурье в комплексной форме воспользуемся известными формулами Эйлера:jk 1t jk tjk t jk t11ee 1 ecos k1t , sin k1t .22jПодставив эти выражения в формулу (3.6), получим a0e jk1t  e  jk1te jk1t  e  jk1t s (t )   ak bk222jk 1 a a  jbk jk1t a k  jbk  jk1t jk t jk1t 0  kee,   C k e 1   C  k e2 k 1 22 k 0k 1eгдеa  jbka  jbkC k  k,C k  k.22Окончательно можно записатьs (t )  C k e jk t .1k  Определим комплексный коэффициент C k .

Для этого воспользуемся формулами (3.7):T 2T 2ak  jbk 1  22Ck s (t ) cos k1tdt  js(t ) sin k1tdt  22  T T 2T T 2T 2T 211s(t )(cos k1t  j sin k1t )dt s(t )e  jk1t dt.T T 2T T 2Таким образом, комплексная форма ряда Фурье имеет видT 21где C k s(t )e  jk1t dt .(3.8)Tk  T 2Как видно из полученной формулы, спектр сигнала содержит компонентыв области положительных и отрицательных частот.

Следует иметь в виду, чтоотрицательная частота – понятие, не имеющее физической интерпретации. Этоматематическая модель, связанная с мнимостью комплексного числа как такового. Появление отрицательных частот является следствием формальных математических преобразований. Однако отрицательные значения частоты k1 приk  0 получают ясное геометрическое толкование (рис.3.1).jk ts (t )   C k e 1 ,Рис.

3.1. Геометрическое представление тригонометрическойи комплексных функцийjk tНа векторной диаграмме комплексная величина e 1 представляется ввиде вектора, модуль которого равен единице (единичный вектор). Этот векторвращается с угловой скоростью k1 против часовой стрелки, если k1  0 , и почасовой стрелке, если k1  0 . Геометрическая сумма единичных векторов,вращающихся с одинаковыми угловыми скоростями, есть функция 2 cos k1t .Коэффициент C является комплексной величиной.

Его можно представитьkтак:C k  C k ejk,гдеС k a k2  bk22иb k   arctg k .akАнализ полученных форм представления ряда Фурье позволяет установитьследующую зависимость между коэффициентами.Для тригонометрического ряда s (t ) T 2a0  (a k cos k1t  b k sin k1t ) :2 k 1T 222ak s(t ) cos k1tdt ;bk s (t ) sin k1tdt ;T T 2T T 2a k  Ak cos  k ; bk   Ak sin  k ; a k  C k  C  k ; bk  j (C k  C  k ) .s (t ) Для тригонометрического рядаAk  a k2  bk2 ;A02 Ak cos(k1t   k ) :k 1b k   arctg k ; Ak  2 C k .akДля комплексного рядаs (t )  C k e jk t :1k  C kС ka  jbka  jbk  k; C k  k;22A k .2С k Эти результаты представлены в табл. 3.1.a k2  bk2b;  k   arctg k ;ak2Таблица 3.1Коэффициенты рядов ФурьеТригонометрический ряд Фурьеs(t ) a0   (a k cos k1t b k sin k1t )2 k 1s (t ) A022T2 2bk  s (t ) sin k1tdtT T Ak cos(k1t   k )k 1T2 2ak  s (t ) cos k1tdtT TКомплексный рядФурьеAk  a k2  bk2b k   arctg kaks( t )  C k ejk t1k a  jbkC k  k2a  jbkC  k  k221C k  Ak2b k   arctg kakb  k  arctg kaka k  Ak cos  kbk   Ak sin  ka k  C k  C  kbk  j (C k  C  k )Ak  2 C kТаким образом, тригонометрические и комплексная формы ряда Фурье –это различные способы представления одного и того же ряда.

Если периодT  2 1 сигнала равен периоду базисных функций (выше был рассмотренименно этот случай), то разложение сигнала на составляющие a k cos k1t иjk tbk sin k1t , или Ak cos(k1t   k ) , или C k e 1 справедливо на каждом периоде T при произвольном значении t0 , т.е. фактически на всей оси времени.Следовательно, можно сделать такой важный вывод, подводящий итог всемусказанному: периодический сигнал, заданный на интервале времени [, ] ,может быть представлен рядом Фурье в тригонометрической или комплекснойформах при условии, что период сигнала совпадает с периодом базисных функций.3.2.4. Графическое представление спектра периодического сигналаНаиболее наглядно о спектре периодического сигнала можно судить по егографическому изображению, которое называют спектральной диаграммой.

Раз-личают амплитудные и фазовые спектральные диаграммы. Строятся они в системе координат "частота – амплитуда" и "частота – фаза".При построении диаграмм (рис. 3.2) на оси абсцисс откладывают значениячастот k1 , а по направлению оси ординат – отрезки прямых, длины которыхсоответствуют в некотором масштабе величинам амплитуд или фаз гармонических составляющих с частотами k1 .абРис. 3.2. Спектральные диаграммыКаждой форме ряда Фурье соответствуют две спектральные диаграммы.Для тригонометрических форм – спектр амплитуд a k и b k , или спектр амплитуд Ak и спектр фаз  k (см. рис. 3.2,а). Для комплексной формы – спектр амплитуд C k  C k и спектр фаз  k (см. рис.

3.2,б).Таким образом, спектр периодического сигнала представляется в виде совокупности линий, которые характеризуют амплитуды, начальные фазы и изменяющиеся дискретно частоты гармонических составляющих. Поэтому спектрпериодического сигнала называют линейчатым, или дискретным.Заметим, что отдельная линия спектра – это не гармоническая составляющая спектра как таковая, это геометрическое представление ее параметров.3.3. Гармонический спектральный анализ непериодических сигналов3.3.1. Спектральная характеристика непериодических сигналовВ радиотехнике в качестве непериодических сигналов рассматриваютобычно одиночные импульсные сигналы.

Для спектрального анализа таких сигналов используется прием, при котором непериодический процесс условно считается периодическим, но с периодом T , стремящимся к бесконечности. Приэтом имеется возможность воспользоваться рассмотренными ранее методамигармонического спектрального анализа периодических сигналов.Пусть s (t ) – периодический сигнал, имеющий дискретный спектр видаs (t )  С k e jk1t ,k  T 2где1С k s(t )e  jk1t dtT T 2T 2илиC k  1  s(t )e  jk1t dt .2 T 2(3.9)Воспользуемся данными формулами для получения математического выражения спектра одиночного импульсного сигнала.При T   периодический сигнал вырождается в непериодический (одиночный) сигнал. Изменятся также и формулы (3.9), которые будут характеризовать уже спектр одиночного сигнала. Рассмотрим сущность изменений.1.

При T   основная частота спектра 1  2 T  d . Это означает,что гармонические составляющие, на которые разлагается сигнал с периодомT , будут отстоять друг от друга на бесконечно малую величину d , т.е. частоты отдельных составляющих будут изменяться не дискретно, а непрерывно.При графическом представлении линии спектра такого сигнала будут плотнорасполагаться на оси частот. Отсюда и название спектра – сплошной.2.

Величина k1 при 1  d превращается в текущую частоту  .Тогда выражение для коэффициента С можно записать таким образом:kdC k  C ( j ) s(t )e  j t dt .(3.10)2  Получено выражение для комплексных амплитуд составляющих спектранепериодического сигнала. Наличие в формуле бесконечно малой величиныd как одного из сомножителей свидетельствует о том, что амплитуды составляющих спектра также бесконечно малы.Таким образом, при T   получаем бесконечно большое число бесконечно малых по амплитуде гармонических составляющих, частоты которыхрасполагаются "бесконечно" близко друг к другу и заполняют в общем случаевсю шкалу частот.

Характеристики

Список файлов книги