Надольский А.Н. Теоретические основы радиотехники (2005) (1151788), страница 12

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 12)

Этот сигнал представляет собойdtдве взвешенные  -функции (см. рис.3.9,а). Спектральная плотность сигналаs1 (t ) будет равна сумме спектральных плотностей  -функций, а именно:S1 ( j )  E  и   j t  dt  E    t  и e  j t dt    t  2 e2  E e j и 2  e  j и 2 .Спектральная плотность прямоугольного импульса, являющегося интегралом от сигнала s1 (t ) , получается делением спектра S1 ( j ) на j (см. свойствапреобразования Фурье):S ( j ) E e j и 2  e  j и 2sin( и 2).S ( j )  1 E иjj и 2Второй способ вычисления спектральной плотности является более простым.3.4.8. Спектральная плотность произвольного периодического сигналаПериодический сигнал может быть представлен рядом Фурье в комплексной формеs (t )  C k e jk1t ,k  2– частота первой гармоники, равная частоте сигнала.TУчитывая результаты, полученные при вычислении спектра комплексногосигнала, можно сделать вывод, что спектральная плотность произвольного периодического сигнала представляет собой набор  -функций, расположенныхна частотах гармоник ряда Фурье.

Веса  -функций равны соответствующимкоэффициентам ряда Фурье, умноженным на 2 .где 1 3.4.9. Спектральная плотность сигнала вида sin x xПри рассмотрении вопросов дискретизации непрерывных сигналов возникает необходимость знать спектр сигнала, описываемого функцией sin x x . Вычисление спектра будем производить по формуле прямого преобразования Фурье. Итак, пусть задан сигналsin  m ts (t )  A, mt2где  m  2 f m , T – период функции sin  m t .TНули сигнала определяются так:k m t   k при k  1, 2,  ; t  .mТогдаsin  m t  j tsin  m t cos  tS ( j )  A edt  2 A dt ttmm0A  sin(   m )tA  sin(   m )tdtdt .m 0tm 0tИз таблицы определенных интегралов [10]: 2 при a  0 ,sin ax0 x dx    при a  0. 2Тогда при    m S ( j )  0 , а при    m S ( j )  A  m .

Таким образом, спектральная плотность сигнала типа sin x x вещественная (сигнал четный), амплитудный спектр имеет форму прямоугольного импульса. Конкретноsin  m tдля рассматриваемого сигнала s (t )  Aамплитудный спектр ограничен mtполосой частот 2 m , в пределах которой уровень спектра равномерен и равен(рис. 3.10)AAA. m 2f m 2 f mРис. 3.10. Сигнал s (t )  Asin  m tи его спектр mtАналогичный результат может быть получен из свойства дуальности преобразования Фурье. В соответствии с этим свойством, если четному сигналуs (t ) соответствует спектральная плотность S ( j ) , то сигналу S (t ) будет соответствовать спектральная плотность 2s ( j ) .Известно, что прямоугольному импульсу длительностью  и и амплитудойsin( и 2)E соответствует спектральная плотность E и.

Это значит, что сиг( и 2)налу типа sin x x соответствует амплитудный спектр, имеющий прямоугольнуюформу. Необходимо только определить длительность и уровень амплитудногоспектра рассматриваемого сигнала s (t ) .Заменив  на t , а также  m на  и 2 и E и на A , из формулы спектральsin  m tной плотности получим сигнал s (t )  A. mtЗаменив t на  , а также  и 2 на  m и E на A 2 m , из формулы прямоугольного импульса получим спектральную плотность s ( j ) в частотном диапазоне 2 m . Уровень амплитудного спектра равен 2A 2 m  A 2 f m .Итак, окончательно можно записать выражение для спектра рассматриваемого сигнала Aпри    m ,S ( j )   2 f m 0 при    .mПолученные результаты будут использованы при рассмотрении вопросовдискретизации непрерывных сигналов на основании теоремы Котельникова.3.5.

Корреляционный анализ сигналов3.5.1. Общие положенияПри решении многих задач оптимальной обработки сигналов возникает потребность определять степень подобия различных сигналов или сигнала и егокопии, сдвинутой на определенное время. Такая проблема возникает, например,в радиолокации при решении задачи обнаружения полезных сигналов (сигналов, отраженных от цели) на фоне шумов. В результате решения этой задачи врамках линейных систем синтезирован оптимальный обнаружитель сигналов,структура которого содержит согласованный фильтр или корреляционный приемник. Алгоритм работы подобного обнаружителя предполагает вычислениефункции [11]2 Tq(T ,  ) s(t ) (t , )dt ,W0 0где W0 – энергетический спектр шума;T – интервал времени, в пределах которого осуществляется обработка смеси сигнала и шума;s (t ) – полезный сигнал; (t , ) – отраженный от цели сигнал, представляющий собой сумму задержанного на  полезного сигнала и шума n(t ) , т.е. (t ,  )    s(t   )  n(t ) .Здесь  – случайная величина, причем   0 , если полезный сигнал отсутствует, и   1, если сигнал присутствует.Задача обнаружителя – определить значение  .

Для этого результат вычисления функции q (T , ) сравнивается с порогом h . Если q (T , )  h , то   1(цель присутствует), если q (T , )  h , то   0 (цели нет).Как видно из рассмотренного алгоритма, оптимальный обнаружитель сигналов при n (t )  0 предусматривает расчет функцииTR (T , )   s (t ) s(t   )dt .0Эта функция в общем случае имеет видR ( )  s (t ) s (t   )dt(3.17)и называется автокорреляционной функцией (АКФ) сигнала s (t ) . Как видно изформулы, АКФ – это свертка сигнала s (t ) и его зеркального отображения s (t ) ,т.е.

R ( )  s( )  s( ) . Если сигнал – напряжение (размерность B ), то размерность АКФ – B 2 c .Если в формуле (3.17) фигурируют различные сигналы s1 (t ) и s2 (t ) , то такая функция называется взаимокорреляционной. Она обозначается как R12 ( )или R21 ( ) и имеет видR12 ( )  s1 (t ) s 2 (t   )dt ;R21 ( )  s1 (t   ) s 2 (t )dt .(3.18)Автокорреляционную и взаимокорреляционную функции иногда называютпросто корреляционной функцией, различая их по содержанию рассматриваемого вопроса.Для сигналов, представленных в комплексной форме, автокорреляционнаяи взаимокорреляционная функции определяются следующим образом:R ( )  s (t ) s(t   )dt ;R12 ( )  s1 (t ) s 2 (t   )dt ;R21 ( )  s1 (t   )s 2 (t )dt .3.5.2.

Свойства автокорреляционной функцииБудем полагать, что исследуемый сигнал является импульсным с конечнойдлительностью, так что интеграл вида (3.17) существует.Для фиксированного момента времени  (фиксированного сдвига копииотносительно оригинала) АКФ равна площади функции, описывающей произ-ведение s (t ) s (t   ) , то есть общей (совпадающей по оси t) площади двух сигналов. При этом АКФ характеризует степень подобия сигнала s (t ) и его смещенной во времени копии s (t   ) , а также положение сигналов на оси времени.Кроме того, автокорреляционная функция обладает следующими свойствами.1. При   0 автокорреляционная функция равна энергии сигнала, т.е.R (0) s2(t )dt  Э .2.

Осуществив замену переменной x  t   в выражении для R ( ) , можнолегко убедиться, чтоR ( ) s (t ) s(t   )dt  s(t ) s (t   )dt  R( ) .Таким образом, автокорреляционная функция относится к классу четныхфункций.3. При любом значении  модуль АКФ не превосходит энергии сигнала,т.е. R( )  R(0)  Э , что непосредственно следует из известного неравенстваКоши–Буняковского:s(t )s (t   )  s (t )  s (t   ,где s(t ) – норма вектора, соответствующего сигналу s (t ) .4. С ростом абсолютного значения  АКФ сигнала с конечной энергией затухает, т.е.

lim R ( )  0 . В результате можно сделать вывод, что график АКФ – это симметричнаяотносительно оси ординат кривая в верхней полуплоскости с центральным максимумом при   0 . Это также следует из физической интерпретации корреляционной функции – сигнал и его копия при отсутствии временного сдвига, тоесть при   0 , имеют наибольшую степень подобия.Пример 1.Определить математически и графически корреляционную функцию прямоугольного видеоимпульса.На рис.

3.11,а,б показано взаимное расположение сигнала и его копии,сдвинутой на время  при   0 и   0 . Заштрихованная область – это область,используемая для определения произведения s (t ) s (t   ) . При этом значениякорреляционной функции при различных  определяются выражениями:и R( )   E 2 dt  E 2 ( и   ) .При   и    00иПриR ( ) 0    иE 2 dt  E 2 ( и   ) .При  иR ( )  0 .Полученные результаты можно объединить и записатьR ( )  E 2 ( и   )прии    и .(3.19)вабРис.

3.11. Определение R(  ) прямоугольного видеоимпульсаКак видно из (3.19), корреляционная функция сигнала не зависит от положения s (t ) на временной оси. График R(  ) представлен на рис. 3.11,в.3.5.3. Автокорреляционная функция периодического сигналаПериодические сигналы являются бесконечно протяженными во времени.Следовательно, эти сигналы, обладая конечной мощностью, имеют бесконечнобольшую энергию. Для таких сигналов АКФ, являющаяся энергетической характеристикой сигнала, должна определяться в пределах одного периода в единицах средней мощности, то есть1TR ( )   s (t ) s(t   )dt ,T0где T – период сигнала.Так как периодический сигнал – это сигнал, удовлетворяющий условиюs (t )  s (t  nT ) ,то можно записатьn   ,  2,  1, 0,1, 2,  ,TT11R( )   s(t ) s(t   ) dt   s(t ) s(t  nT   )dt R (  nT ) .T 0T 0Таким образом, автокорреляционная функция периодического сигнала является периодической функцией с периодом, равным периоду сигнала.

Характеристики

Список файлов книги