Надольский А.Н. Теоретические основы радиотехники (2005) (1151788), страница 7

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 7)

Экспоненциальный импульсСигнал и его формула представлены на рис. 2.9.Рис. 2.9. Экспоненциальный импульсв. Колоколообразный (гауссов) импульс1   (t  ) 2e, представляет собой колоколообразный (гауссов) импульс (рис. 2.10). Особенностью этого сигСигнал, описываемый функцией вида s (t ) нала является то, что его форма совпадает с формой спектральной характеристики.Рассмотрим некоторые свойства этого сигнала.1. Площадь импульса.2t 1     S   s (t )dt   edt .t x; t  x; dt dx и учитыПроизведя замену переменных:   x2вая, что  edx   [10], получаем S edx  1.Таким образом, площадь колоколообразного импульса равна единице. x2Рис.

2.10. Колоколообразный импульс2. Физический смысл параметра  .Это временной параметр, который характеризует длительность сигнала,связанную с некоторым его значением. Определим это значение при t   2(см. рис. 2.10): 21   1   2  1  4s   e e  0, 456 .2 Таким образом, параметр  – это длительность сигнала на уровне, равномприблизительно половине его максимального значения.3. При стремлении длительности  к нулю амплитуда импульса обращается в бесконечность, а площадь остается неизменной и равной единице.г. Класс испытательных (тестовых) сигналовДельта-функцияДельта-функция (  -функция, функция Дирака) – это математическая модель реально не существующего сигнала, который имеет бесконечную по величине амплитуду и нулевую длительность (рис. 2.11).

Сигнал, описываемыйдельта-функцией, обозначают  (t ) и называют просто  -функция.Сигнал называется испытательным, так как он применяется для полученияимпульсной характеристики радиотехнического устройства. Реакция устройствана дельта-функцию – это и есть его импульсная характеристика. при t  0 , (t )  0 при t  0 . при t  t0 , (t  t0 )  0 при t  t0 .Рис. 2.11. Дельта-функцияСвойства дельта-функции, благодаря которым она широко используется вматематике, физике и радиотехнике:1) площадь сигнала, описываемого  -функцией, равна 1, т.е.  (t ) dt  1 ;2) селектирующее свойство: f (t ) (t  t0 )dt f (t 0 ) .Селектирующее свойство становится понятным, если учесть, что ( t  t0 )  0 на всей оси времени, кроме точки t  t0 .

Это позволяет сделать интервал интегрирования бесконечно малым в окрестности точки t0 . В этом интервале функция f (t ) принимает значение f (t 0 ) , позволяющее ее вынести зазнак интеграла.Как следует из свойств колоколообразного импульса и сигнала, описываемого  - функцией, справедливо следующее соотношение2t   1 (t )  lim e    . 0 Функция единичного скачкаФункция единичного скачка (функция Хевисайда) описывает процесс резкого (мгновенного) перехода физического устройства из одного состояния вдругое.

На рис. 2.12 приведен график этой функции.Иногда функцию единичного скачка называют функцией включения ипредставляют формулой [2] 0 при t  0 , (t )  1 2 при t  0 , 1 при t  0 .Сигнал называется испытательным, так как он применяется для полученияпереходной характеристики радиотехнического устройства. Реакция устройствана единичную функцию – это и есть его переходная характеристика.1 при t  0 , (t )  0 при t  0 .1 при t  t0 , (t  t0 )  0 при t  t0 .Рис.

2.12. Функция единичного скачкаСвязь между функциями  (t ) и  (t ) :td (t ) (t ) ; (t )    (t )dt .dt0Гармонический сигналГармонический сигнал s (t )  E cos( 0 t   ) (см. рис. 2.6) также являетсяиспытательным сигналом, так как с его помощью определяются частотные характеристики устройств.2.3. Характеристики сигналовДля сигнала, существующего в интервале t  t2  t1 , наиболее важнымиявляются следующие характеристики (предполагаем, что сигнал представлен вкомплексной форме):t1 21. Среднее значение сигналаs (t )  s(t )dt .t t1Среднее значение сигнала – это по существу его постоянная составляющая.2.

Мгновенная мощность сигнала2p ( t )  s ( t ) s  (t )  s (t ) .3. Энергия сигналаt2Эt2 p(t )dt   s (t ) st1t1t22(t )dt   s (t ) dt .t14. Средняя мощность сигналаtt1 21 22Pср p (t )dt s(t ) dt .t tt t11Для периодического сигнала, энергия которого равна бесконечности, среднее значение и энергетические характеристики определяются в пределах одногопериода:1T1. Среднее значение сигнала s (t )   s(t )dt .T 02. Мгновенная мощность сигнала3. Энергия сигнала за периодT2p (t )  s (t ) s  (t )  s(t ) .T2Э   p (t )dt   s (t ) dt .004. Средняя мощность сигнала1T1T2Pср   p (t )dt   s (t ) dt .T0T02.4. Геометрические методы в теории сигналовВ теории множеств имеется понятие действительного векторного пространства, под которым понимается непустое множество V , для элементов которого определено сложение и умножение на действительные числа.

Элементыэтого множества называются векторами, если выполняются следующие условия:1. Если a  V и b  V , то a  b  V .2. Для любых a, b, c  V справедливо a  (b  c)  (a  b)  c – ассоциативность.3. Для любых a, b  V справедливо a  b  b  a – коммутативность.4. Для любых a  V и действительного числа  справедливо  a V .Такими действительными векторными пространствами являются векторноепространство конечных последовательностей ( x1 , x 2 ,  , x n ) действительныхnчисел, векторное пространство многочленов ai x i ,i 0векторное пространствофункций, непрерывных на замкнутом отрезке, векторное пространство геометрических векторов на плоскости.Если в действительное векторное пространство введено понятие метрики спомощью скалярного произведения векторов ( X , Y ) , то такое пространство называется евклидовым векторным пространством.

В этом пространстве можноопределить:длину (норму, модуль) вектораX  ( X ,Y ) ;( X ,Y )угол между векторами cos  , 0  .X YТогда скалярное произведение двух векторов X и Y равно( X , Y )  X Y cos  ,а квадрат модуля суммы двух векторов равен222X  Y  X  Y  2( X , Y ) .(2.1)Возьмем множество Vs , элементами которого являются совокупности сигналов s1 (t ), s 2 (t ),  , s n (t ) , рассматриваемые в интервале (t1 , t 2 ) и обладающиеt2свойством интегрируемости в этом интервале вида s k (t )2dt   .

Каждомуt1сигналу сопоставим число s k (t )2t22 s k (t )dt , которое по существу равно энерt1гии сигнала. Величину s k (t ) назовем нормой сигнала. Определим далее расстояние между сигналами si (t ) и s k (t ) как норму разности сигналов: si (t ), s k (t )  si (t )  s k (t ) t22 si (t )  s k (t )dt .t1Полагая в данном выражении s k ( t )  0 , получим выражение для нормысигнала. Это значит, что норма сигнала – это по существу длина вектора, соответствующего сигналу, а квадрат длины – это энергия сигнала.

Следовательно,концы векторов, соответствующих сигналам с одинаковой энергией, лежат наповерхности n -мерной сферы радиусом   Э .Пользуясь приведенными выше рассуждениями, можно убедиться, чтомножество сигналов Vs эквивалентно n -мерному евклидову пространству и сфункциями s1 (t ), s 2 (t ),  , s n (t ) можно обращаться, как с точками или векторами n -мерного евклидова пространства.Определим энергию суммы двух сигналов si (t ) и s k (t ) :222Э    si (t )  sk (t ) dt   si (t )dt   sk (t )dt  2  si (t )sk (t )dt  Эi  Эk  2Эik ,где Эi , Эk – энергия сигналов si (t ) и s k (t ) , а Эik – взаимная энергия двух сигналов.Сравнивая полученное выражение с формулой (2.1), можно записать выражение для скалярного произведения двух сигналов и косинуса угла между ними:s1 (t ), s 2 (t )    s1 (t ) s 2 (t )dt ;cos  s1 (t ), s2 (t ) s1 (t ) s 2 (t ).Если угол    2 , то cos   0 .

Это значит, что скалярное произведениесигналов с таким углом между ними, а значит, и их взаимная энергия равны 0.Такие сигналы называются ортогональными.Таким образом, геометрические методы в теории сигналов основаны напредставлении сигнала как вектора в пространстве векторов, удовлетворяющихопределенным условиям (линейности, ортогональности). При этом возможноиспользование понятия линейного пространства действительных или комплексных сигналов со свойствами линейного пространства векторов.Причиной объединения сигналов в множество, образующее пространствосигналов, является наличие общих свойств, удовлетворяющих принципам линейности.

Характеристики

Список файлов книги