Надольский А.Н. Теоретические основы радиотехники (2005) (1151788), страница 10

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 10)

Это значит, что такое понятие, как амплитудный спектр, кнепериодическому сигналу применять нельзя. Возникла необходимость ввестипонятие спектральная плотность амплитуд.Воспользовавшись формулами (3.9), (3.10) и заменив операцию суммирования операцией интегрирования, можно записать1  j t   j t(3.11)s (t ) es(t)edt d .2    Сравнение этой формулы с формулой (3.10) позволяет выделить функциюS ( j )  s ( t )e j tdt(3.12)и использовать ее в качестве спектральной характеристики сигнала, называемой спектральной плотностью. Она равна отношению комплексной амплитуды C ( j ) к частотному интервалу d (без коэффициента 1 2 ).После подстановки (3.12) в (3.11) получаем1 s (t ) S ( j )e j t d .2  (3.13)Выражения (3.12) и (3.13) называются прямым и обратным преобразованиями Фурье соответственно.

Это основные соотношения для получения спектральных характеристик непериодических сигналов.3.3.2. Амплитудный и фазовый спектры непериодического сигналаДля спектральной плотности сигнала справедливы все свойства комплексных чисел. Выполним некоторые преобразования:S ( j ) s (t )e j tdt S ( j )  A( )  jB ( )  S ( )es(t ) cos  tdt  j  s(t ) sin  tdt ,j ( ) S ( ) cos  ( )  jS ( ) sin  ( ) ,где A( )  s(t ) cos  tdt– действительная часть спектра;B( )  s(t ) sin  tdt– мнимая часть спектра;S ( )  S ( j ) A 2 ( )  B 2 ( ) – амплитудный спектр сигнала; B ( )  ( )  arctg  – фазовый спектр сигнала.A()Полагая, что сигнал описывается действительной функцией, из полученных выражений видно, чтоA( )  A( ) и S ( )  S ( ) ,т.е.

действительная часть спектра и амплитудный спектр – функции четные;B ( )   B( ) и  ( )   ( ) ,т.е. мнимая часть спектра и фазовый спектр – функции нечетные.При   0 выражение (3.12) приобретает видS (0)  s (t )dt .Отсюда можно сделать вывод, что спектральная плотность любого сигналана нулевой частоте равна площади под кривой графика сигнала.В тригонометрической форме можно представить также формулу (3.13):1s (t ) 21s (t ) 2 S ( j )ej t1d 2 S ( )ej[ t   ( )]d ,1S()cos[t()]dj2 S ( ) sin[ t   ( )]d .Учитывая, что амплитудный спектр S ( ) – функция четная, можно записать1s (t )   S ( ) cos[ t   ( )]d . 03.3.3. Спектральная плотность четного и нечетного сигналовПусть s (t ) – четный сигнал, т.е.

s (t )  s( t ) , тогдаS ( j ) s (t )e j tdt s (t ) cos  tdt  j s(t ) sin  tdt  2  s(t ) cos  tdt .0Следовательно, спектральная плотность четного сигнала содержит толькодействительную часть, подынтегральная функция которой также четная. Другими словами, спектральная плотность четного сигнала является действительной функцией.Пусть s (t ) – нечетный сигнал, т.е. s (t )   s ( t ) , тогдаS ( j ) s (t )e  j t dt s (t ) cos  tdt  j  s (t ) sin  tdt  2 j  s (t ) sin  tdt .0Следовательно, спектральная плотность нечетного сигнала содержит только мнимую часть, подынтегральная функция которой четная, т.е.

спектральнаяплотность четного сигнала является мнимой функцией.3.3.4. Отличия спектра периодического сигнала от спектранепериодического сигнала1. Для определения спектра периодического сигнала используется математический аппарат рядов Фурье, для определения спектра непериодическогосигнала – преобразования Фурье (интеграла Фурье).2. Спектром периодического сигнала является спектр амплитуд и спектрфаз гармонических составляющих. Размерность спектра амплитуд – это размерность сигнала (напряжения или тока).

Спектром непериодического сигналаявляется спектральная плотность. Модуль спектральной плотности называютамплитудным спектром, размерность – В/Гц (В/Рад/c) или А/Гц (А/Рад/c). Аргумент спектральной плотности – это фазовый спектр.3. Спектр периодического сигнала дискретный (линейчатый). Это означает,что спектральные составляющие спектра с номерами , k  1, k , k  1, отличаются по частоте друг от друга на величину, равную частоте сигнала, т.е. частоты составляющих равны  , (k  1)1 , k1 , (k  1)1 , .

Спектр непериодического сигнала – сплошной, т.е. спектральная плотность имеет определенноезначение на всех частотах (в пределах эффективной полосы частот спектра сигнала).3.3.5. Свойства преобразования ФурьеФормулы прямого и обратного преобразований Фурье позволяют по сигналу s (t ) определить его спектральную плотность S ( j ) и, если в этом есть необходимость, по известной спектральной плотности S ( j ) определить сигнал s (t ) .Другими словами, существует однозначное соответствие между сигналом и егоспектром. Для обозначения этого соответствия будем применятьсимвол s (t )  S ( j ) .Вполне очевидно, что любое преобразование сигнала приведет к определенному изменению спектра.

Вид и характер таких изменений определяютсясвойствами преобразования Фурье. Знание этих свойств значительно облегчаетопределение спектральных характеристик различных сигналов.Рассмотрим основные свойства преобразования Фурье.а. ЛинейностьДаноs1 (t )  S1 ( j ), s2 (t )  S 2 ( j ), ... , sn (t )  S n ( j ) .nОпределить S  ( j ) такое, что i si (t )  S  ( j ) , где  ii 1коэффициенты.Воспользуемся прямым преобразованием Фурье:– постоянныеS  ( j )  nni j tdt   i si (t )e  i 1i 1nnni 1 j tdt    i S i ( j ) . si (t )e i si (t )   i Si ( j ) .Окончательно запишемi 1i 1Вывод. Прямое преобразование Фурье, являясь линейной операцией, обладает свойствами однородности и аддитивности. Поэтому спектр суммы сигналовравен сумме их спектров.б.

Спектр сигнала, сдвинутого во времениДано s (t )  S ( j ) .Определить S c ( j ) такое, чтоs (t  t0 )  Sc ( j ) .S c ( j )  s ( t  t 0 )e j tdt .t  x  t0 ;Замена переменных: t  t 0  x ;ТогдаS c ( j )  s ( x )e j ( x  t 0 )dx  e j t 0 s ( x )edt  dx . j xdx  S ( j )e  j t 0 .Окончательно запишемs (t  t0 )  S ( j )e  j t0 .Вывод.

Сдвиг сигнала во времени на величину  t0 приводит к изменениюфазовой характеристики спектра на величину   t0 . Амплитудный спектр не изменяется.в. Изменение масштаба времениПусть сигнал s (t ) подвергнут изменению масштаба времени. Это означает,что сигнал зависит от переменной  t , т.е. превращается в сигнал s ( t ) , где  коэффициент, значение которого обеспечивает сжатие (   1) или расширение(0    1) исходного сигнала (рис. 3.3).Дано:s (t )  S ( j ) .Определить S м ( j ) такое, чтоs ( t )  S м ( j ) .S м ( j )  s( t )e j tdt .Замена переменных:  t  x ; t x1; dt  dx .Рис.

3.3. Сжатие и расширение сигнала при различных коэффициентах Тогда1 1  S м ( j ) s( x )e  j ( /  ) x dt  S  j  .   1  S j  .  Вывод. При сжатии (расширении) сигнала во времени в определенное числораз во столько же раз расширяется (сжимается) его спектр по оси частот припропорциональном уменьшении (увеличении) амплитуд его составляющих.s ( t ) Окончательно запишемг.

Спектр производнойДано:ds(t )dts (t )  S ( j ) .Определить S п ( j ) такое, чтоds(t ) S п ( j ) .dtОбратное преобразование Фурье1 s(t ) S ( j )e j t d .2  Возьмем производную от левой и правой частей этого равенства:ds(t )1 j S ( j )e j t d .dt2  Сравнивая полученное выражение с обратным преобразованием Фурье,можно сделать вывод, что S п ( j )  j S ( j ) .ds(t )Окончательно запишем j S ( j ) .dtВывод.

Спектр производной сигнала равен спектру исходного сигнала, умноженному на j . При этом амплитудный спектр изменяется пропорциональноизменению частоты, а к фазовой характеристике исходного сигнала добавляетсяпостоянная составляющая, равная  / 2 при   0 и равная   / 2 при   0 .tд. Спектр интеграла s (t )dtДано:s (t )  S ( j ) .tОпределить S и ( j ) такое, что s (t )dt  S и ( j ) .Возьмем интеграл от левой и правой частей обратного преобразования Фурье:tt 1  S ( j )e2  s (t )dt  j t t j t 1 d dt  S ( j )   e dt  d ,2   t1  1j t s (t )dt  2  j S ( j )e d .Сравнивая полученное выражение с обратным преобразованием Фурье,можно сделать вывод, что1S и ( j ) S ( j ) .jtОкончательно запишем1 s (t )dt  j S ( j ) .Вывод. Спектр сигнала, равного интегралу от исходного сигнала, равенспектру исходного сигнала, деленному на j .

При этом амплитудный спектризменяется обратно пропорционально изменению частоты, а к фазовой характеристике исходного сигнала добавляется постоянная составляющая, равная  / 2при   0 и равная   / 2 при   0 .е. Спектр произведения двух сигналовДано:s1 (t )  S1 ( j ), s 2 (t )  S 2 ( j ) .Определить S пр ( j ) такое, что s1 (t ) s 2 (t )  S пр ( j ) . 1 jt j tS(j)eddt . s 2 (t )e 2  1 1  (  )tS пр ( j ) S(j)s(t)edtd . 1 22   Интеграл в квадратных скобках – это спектральная плотность S 2 [ j (  )]сигнала s 2 (t ) .Следовательно,S пр ( j ) s1 (t ) s 2 (t )e j tdt 1 1S пр ( j ) S(j)S[j()]dS1 ( j )  S 2 ( j ) .122 21S1 ( j )  S 2 ( j ) .2Вывод.

Спектр произведения двух сигналов равен свертке их спектров, умноженной на коэффициент 1 / 2 .Аналогично можно показать, чтоs1 (t )  s 2 (t )  S1 ( j ) S 2 ( j ) ,т.е. произведению двух спектров S1 ( j ) и S 2 ( j ) соответствует сигнал, образованный сверткой двух таких сигналов, что s1 (t )  S1 ( j ) , s 2 (t )  S 2 ( j ) .Окончательно запишемs1 (t )s 2 (t ) Следствия из полученных результатов.1. Пусть   0 . Тогда1 S пр (0)   s1 (t ) s 2 (t )dt  S1 ( j)S 2 ( j)d  Э12 ,2(3.14)где Э12 – взаимная энергия двух сигналов.2. Если в выражении (3.14) положить s1 (t )  s 2 (t )  s (t ) , то получим равенство Парсеваля1Э2S ( j 2 d .2Т.е.

величина S ( j  может рассматриваться как плотность распределения энергии сигнала по частотам.ж. Взаимная заменяемость  и t в преобразованиях Фурье(свойство дуальности)1. Сигналу s(t ) соответствует спектральная плотность S ( j ) , причемs (t ) 1 S ( j )e j t d .2  Выполним взаимную замену переменных  и t . Получаем1s ( ) 2S ( jt )ej t1 dt S ( jt )e  j t dt .2  Получено выражение для спектра s ( ) функции1S ( jt ) .2Наличие мнимой единицы j в обозначении аргумента имеет только символический смысл. Поэтому в функции, описывающей сигнал, можно убрать j, а вфункции, описывающей спектр, поставить.

Тогда можно записать окончательный результат:1если s (t )  S ( j ) ,тоS (t )  s ( j ) .(3.15)22. Спектральной плотности S ( j ) соответствует сигнал s (t ) , причемS ( j )  s (t )e j tdt .Выполним взаимную замену переменных  и t . ПолучаемS ( jt )  s ( )e j t1 d 2s ( )e j t d .2  Получено выражение для сигнала S ( jt ) , имеющего спектр 2 s(  ) . Окончательно можно записать:если s (t )  S ( j ) ,то S (t )  2 s( j ) .(3.16)Физический смысл формул (3.15) и (3.16): если сигналу s (t ) соответствуетамплитудный спектр S ( ) , то сигналу, имеющему форму такую же, как формаамплитудного спектра S ( ) , соответствует спектр, имеющий форму сигнала s (t ) .Если сигнал четный, т.е. s(t )  s(t ) , то спектральная плотность также четная и вещественная. В этом случае результаты (3.15) и (3.16) можно переписатьследующим образом:если s (t )  S ( j ) ,то S (t )  2 s ( j ) .Таким образом, переменные  и t в преобразованиях Фурье взаимно заменяемы.Полученные результаты поясняются рис.

Характеристики

Список файлов книги