Надольский А.Н. Теоретические основы радиотехники (2005) (1151788), страница 8

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 8)

При этом имеется возможность одни элементы множества выразитьчерез другие. Исследование свойств сигналов в рамках векторного представления оказывается полезным для синтеза устройств, удовлетворяющих принципусуперпозиции.Для передачи сигналов по каналам связи с помехами, а также для разрешения сигналов основное значение имеет не положение их в пространстве сигналов, а расстояние между ними. Для этого можно воспользоваться свойствамискалярного произведения векторов.3. СПЕКТРАЛЬНЫЙ И КОРРЕЛЯЦИОННЫЙ АНАЛИЗ СИГНАЛОВ3.1.

Обобщенный ряд Фурье3.1.1. Система ортогональных функций и ряд ФурьеСигналы, используемые в радиотехнике, имеют достаточно сложнуюструктуру. Математическое описание таких сигналов является трудной задачей.Поэтому для упрощения процедуры анализа сигналов и прохождения их черезрадиотехнические цепи используют прием, предусматривающий разложениесложных сигналов на совокупность идеализированных математических моделей, описываемых элементарными функциями.Французский физик и математик Жанн Б. Фурье (1768 – 1830) доказалтеорему, в соответствии с которой любое изменение во времени определеннойфункции можно представить в виде конечного или бесконечного ряда некоторых элементарных функций времени, совокупность которых образует так называемую базисную систему функций, или систему базисных функций. Такоепредставление значительно упрощается, если функции данной системы обладают свойством ортогональности.

Рассмотрим это более подробно.Определение:Бесконечная система комплексных функций 0 (t ), 1 (t ),  2 (t ),  ,  k (t ), называется ортогональной на отрезке [a, b] , если выполняется следующее усb  (t ) 2 при k  n,ловие:  k (t ) n (t )dt   k 0при k  n ,abгде  k (t )   k (t ) k (t )dt ab  k (t )2dt – норма функции  k (t ) .aПредполагается, что  k (t )  0 , т.е.

ни одна из функций рассматриваемойсистемы не равна нулю. Система ортогональных функций будет называться ортонормированной, если  k (t )  1.В математике доказано, что любая однозначная, конечная и кусочнонепрерывная, в общем случае комплексная функция f (t ) , удовлетворяющаяbусловию интегрируемости в интервале [a, b] вида2f (t ) dt   , может бытьaпредставлена в виде рядаf (t )  c0 0 (t )  c11 (t )    ck  k (t )    ck  k (t ) ,(3.1)k 0где с k – некоторые постоянные комплексные коэффициенты.Для определения коэффициентов с k умножим обе части уравнения (3.1) наодну комплексно-сопряженную базисную функцию  n* (t ) и проинтегрируем взаданном интервале:bb   b .f(t)(t)dtc(t)(t)dtc(t)(t)dt  k k nn  k k n k 0  aaa  k 0В силу ортогональности выбранной системы базисных функций только одно слагаемое суммы при n  k будет не равно нулю, т.е.bb2f (t ) k (t )dt  ck   k (t ) k (t )dt  сk  k (t ) .aaСледовательно,b1с k  k (t )2 f (t ) k (t )dt .(3.2)aОпределение:Ряд f (t )  c k  k (t ) ,в котором коэффициенты с k определяются поk 0формуле (3.2), называется обобщенным рядом Фурье.Ряд называется обобщенным, так как не определен конкретный вид ортогональной системы базисных функций.Для ортогональной системы действительных функций также справедливыприведенные определения.

При этом основные математические выраженияприобретают следующий вид:условие ортогональностиb  k (t ) 2 при k  n,a  k (t ) n (t )dt   0при k  n ;норма функцииb k (t ) b  k (t ) k (t )dta2  k (t )dt ;aкоэффициенты ряда Фурьесk b12 f (t ) k (t )dt . k (t ) aШирокое использование в теории сигналов обобщенного ряда Фурье связано с важными свойствами, выделяющими его из множества других рядов,встречающихся в математике.3.1.2. Свойства обобщенного ряда Фурьеа. Погрешность аппроксимацииАппроксимация функции f (t ) любым из известных рядов при фиксированном числе слагаемых (что, как правило, бывает на практике) осуществляетсяс некоторой погрешностью.

Погрешность оценивается величиной средней квадратической ошибки, равной2N1 bf(t)a(t)k k  dt .ba ak 0Обобщенный ряд Фурье при заданной системе ортогональных функций ификсированном числе слагаемых ряда обеспечивает наилучшую аппроксимацию в смысле минимума средней квадратической ошибки, т.е. при ak  ck2N1 bf(t)ck  k (t ) dt  min .ba ak 0Доказательство этого свойства ряда Фурье приведено в [1].При N   средняя квадратическая ошибка   0 , т.е. ряд Фурье сходится к f (t ) в среднеквадратическом смысле. Это не исключает отсутствия сходимости в некоторых точках f (t ) , например, вблизи точки разрыва.

Данный эффект в математике получил название явление Гиббса.б. Энергетические соотношенияПолагаем, что аппроксимируемая функция времени f (t ) является математической моделью сигнала, что позволяет использовать в дальнейшем обозначение s (t ) . Временной интервал, в котором рассматривается сигнал, обозначимt  t 2  t1 . Этот промежуток времени и будет интервалом ортогональностисистемы базисных функций. При таком обозначении функции и соответствующем ее физическом смысле ряд Фурье является по существу разложением сигнала на составляющие. Он имеет вид ck  k (t ) .s (t ) k 0Коэффициенты ряда равны сk t212 s (t ) k (t )dt . k (t ) t1Совокупность коэффициентов ряда Фурье называют спектром сигнала.Спектр (от лат.

spectrum – представление, образ) – совокупность всех значенийкакой-либо физической величины, характеризующей систему или процесс.Произведение c k  k (t ) является k -й спектральной составляющей сигнала.В этом случае можно сказать, что обобщенный ряд Фурье представляет сигналs (t ) в виде бесконечной суммы спектральных составляющих.Квадрат нормы функции s (t ) имеет смысл энергии сигнала, т.е.s(t )2t2 s(t )t12t2 dt   c k  k (t )t1 k  02dt  Э .Учитывая ортогональность системы базисных функций, в подынтегральном выражении будут только слагаемые суммы, представляющие собой квадраты функций  k (t ) , что приводит к следующему:Э  s (t )222 c k  k (t ) .k 0Средняя мощность сигнала за время t  t 2  t1 равнаЭ22Pср  1  c k  k (t ) .ttk 0Таким образом, энергия (средняя мощность) сигнала в интервале t равнасумме энергий (средних мощностей) всех компонент, из которых образуетсяряд.

Данное равенство получило название равенство Парсеваля.В свою очередь при конечном числе слагаемых ряда Фурье, когда N   ,можно записать такое очевидное неравенство:Э  s (t )222 c k  k (t ) k 0N22 c k  k (t ) .k 0Это неравенство, справедливое для любой ортогональной системы функций, называется неравенством Бесселя.Ортогональная система, содержащая N функций  k (t ) , называется полной, если при N   средняя квадратическая ошибка аппроксимации   0 .в.

Системы базисных функцийВыбор системы базисных функций осуществляется с учетом вида анализируемых сигналов, задач и методов анализа и синтеза сигналов, способов их преобразований. В настоящее время используется небольшое число систем ортогональных функций. Классический спектральный анализ строится на основе тригонометрических ( sin k t , cos k t ) и комплексных ( e  jk t , e jk t ) функций.При дискретизации непрерывных сигналов по теореме отсчетов используютфункции вида sin x x . Для приближенного разложения функций, когда требуется получить аппроксимацию рядом Фурье с минимальным числом членов,применяются ортогональные системы полиномов: Лежандра, Чебышева, Лагерра, Эрмита [1,2]. При цифровой обработке сигналов эффективно использоватьразложение сигналов по системам кусочно-непрерывных функций Уолша, Радемахера [1].3.2.

Гармонический спектральный анализ периодических сигналов3.2.1. Тригонометрическая форма ряда ФурьеГармонический спектральный анализ периодических сигналов предполагает разложение сигналов в ряд Фурье по тригонометрическим функциям – синусам и косинусам. Эти функции описывают гармонические колебания, которыесохраняют свою форму в процессе преобразований линейными устройствами(изменяются только амплитуда и фаза), что позволяет использовать теорию колебательных систем для анализа свойств радиотехнических цепей.Для получения математического выражения ряда Фурье воспользуемся результатами, полученными при рассмотрении обобщенного ряда Фурье, и системой ортогональных функций  k (t ) , в качестве которой возьмем тригонометрические функции вида1, cos  1t , sin  1t , cos 2 1t , sin 2 1t , .

. . , cos k 1t , sin k 1t , . . . .(3.3)Докажем ортогональность этой системы функций в интервале T  2  1 ,совпадающем с периодом сигнала s (t ) . Для этого достаточно показать, что:T 21.T 2 cos n1t cos k1tdt  0T 2T 2и sin n1t sin k1tdt  0при n  k ;(3.4)T 2 cos n1t sin k1tdt  0при всех значениях n и k .(3.5)T 22. k (t )2T 22  k (t )dt  0 при всех k .T2Для вычисления интегралов (3.4) и (3.5) воспользуемся известными тригонометрическими формуламиcos n 1t cos k1t  1 2 [cos(n  k )1t  cos(n  k )1t ];sin n1t sin k1t  1 2 [cos(n  k )1t  cos(n  k )1t ];cos n1t sin k1t  1 2 [sin( n  k )1t  sin( n  k )1t ] .T 2T 2 cos m1tdtТогда получим интегралы видаT 2и sin l1tdt , гдеT 2целые числа, причем m  0 .

Эти интегралы равны:T 21 cos m1tdt  m sin m1t1T 2T 2T2T 212sin m tm1T 0;T2m и l –T 2T 21 sin l1tdt   l cos l1t1T 2T 2T 212cos l tl1T 0.T 2Вычислим квадрат нормы функций рассматриваемой системы.При k  0T 22 0 (t )  dt  T .TПри k  02T 22 k (t ) T 22cos k1tdt T 2TT 2T1 1  cos 2k1t dt  .2222T 2T1 1  cos 2 k1t dt  .22 2T 2T 2Ортогональность системы тригонометрических функций (3.3) доказана.Представление периодического сигнала в виде ряда Фурье предполагаетнахождение коэффициентов ck . Коэффициенты не являются комплексными,так как используется система ортогональных тригонометрических функций. Каквидно из полученной ранее формулы (3.2), для нахождения c k необходимо2 k (t ) 2sin k1tdt 2знать  k (t ) для каждой функции системы (3.3).Запишем выражения для коэффициентов ряда, обозначив их как a k и bk , взависимости от вида функции (1, cos или sin ) ортогональной системыT 2T 2T 2122a0  s(t )dt ; ak  T  s(t ) cos k1tdt ; bk  T  s(t ) sin k1tdt .T T 2T 2T 2Таким образом, ряд Фурье можно представить такs (t )  (a k cos k1t b k sin k1t ) }.k 0Для того чтобы коэффициенты ak определялись по одной и той же формуле для k  0 и k  0 , ряд Фурье принято записывать следующим образом:as (t )  0   (a k cos k1t  b k sin k1t ) ,(3.6)2 k 1где2ak TT 2 s(t ) cos k1tdtT 2;2bk TT 2 s(t ) sin k1tdt .(3.7)T 2Полученные результаты позволяют сделать следующие выводы.1.

Периодический сигнал можно представить в виде суммы бесконечногочисла гармонических составляющих (синусоидальных и косинусоидальных),каждая из которых характеризуется своей амплитудой и частотой. Совокуп-ность этих составляющих будем называть спектром сигнала, а совокупность ихамплитуд – амплитудным спектром сигнала.2. Составляющая a0 2 – это нулевая (постоянная) составляющая с частотой, равной 0.3. Амплитуды составляющих определяются по формулам (3.7).4.

Характеристики

Список файлов книги