Надольский А.Н. Теоретические основы радиотехники (2005) (1151788), страница 14

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 14)

Следовательно, справедливо и егопрямое преобразование:S ( j )2 R( )e jd .(3.23)Таким образом, автокорреляционная функция сигнала s (t ) и его энергетический спектр S ( j )2связаны между собой преобразованиями Фурье.2Учитывая четность функций R( ) и S ( j ) , выражения (3.22, 3.23) можнозаписать так:12R ( )   S ( j ) cos d 0иS ( j )2 2  R ( ) cos d .0Применим полученные результаты для взаимокорреляционной функции.Определим прямое преобразование Фурье от R12 ( ) : R12 ( )e j  d  j dtd . Замена переменных:  s1(t ) s2 (t   )ej xR()eds(t)es(x)edx dt  S1 ( j ) S2 ( j )  S12 ( j ) . 12 1 2  Таким образом, взаимокорреляционная функция связана преобразованиемФурье с так называемым взаимным спектром сигналов.

Взаимный спектрS12 ( j ) для сигналов s1 (t ) и s 2 (t ) представляет собой произведение их спектров, один из которых является комплексно-сопряженным.Таким образом, если спектры сигналов не перекрываются, то их взаимныйспектр равен нулю на всех частотах. Поэтому и их взаимокорреляционнаяфункция равна нулю при любых временных сдвигах.Полученные результаты имеют важное значение.1.

Корреляционная функция R( ) зависит от модуля спектральной плотности и не зависит от фазовой характеристики сигнала. Это значит, что различнымпо форме сигналам, имеющим одинаковые амплитудные спектры, соответствуют одинаковые корреляционные функции. jt    x;   t  x; d  dx . j t2. Оценка взаимной связи между корреляционными свойствами сигнала иего энергетическим спектром: чем больше эффективная ширина энергетического спектра, тем меньше интервал корреляции. И наоборот, чем больше интервал корреляции, тем меньше эффективная ширина энергетического спектра.3. Определение энергетического спектра и корреляционной функции.

Спомощью коррелометра или ЭВМ можно определить АКФ сигнала, а затем, вычислив прямое преобразование Фурье, найти энергетический спектр. И наоборот, с помощью спектрометра или ЭВМ можно определить энергетическийспектр сигнала и, вычислив обратное преобразование Фурье, найтиего АКФ.3.6. Дискретизация и восстановление сигналов по теореме отсчетов(теореме Котельникова)3.6.1. Теорема КотельниковаВ настоящее время широко применяются цифровые методы обработки радиотехнических сигналов. При этом аналоговые сигналы преобразуются в цифровые путем дискретизации их по времени с последующим квантованием поуровню. В свою очередь использование дискретизации при передаче непрерывных сообщений позволяет сократить время, в течение которого канал связи занят передачей одного сообщения, что позволяет осуществить временное уплотнение канала связи с целью передачи по нему нескольких сообщений в течениеопределенного промежутка времени.Дискретизация – это процесс, при котором сигнал s(t ) представляется последовательностью коротких импульсов (отсчетов).

Амплитуды этих импульсовравны значениям дискретизируемого сигнала в моменты времени, отстоящиедруг от друга на величину t . Другими словами, величина k -го отсчета равнаs (kt ) . Очевидно, что точность представления аналогового сигнала последовательностью отсчетов зависит от величины t , причем чем она меньше, тем более точно можно восстановить исходный сигнал.

Однако в этом случае количество отсчетов в единицу времени будет больше, что вызывает усложнение процесса обработки сигнала и большую занятость канала связи.Возможность определения оптимальной величины интервала дискретизации с целью точного восстановления непрерывного сигнала с ограниченнымспектром предоставляет метод дискретизации, который был предложен советским ученым в области радиотехники В.А.Котельниковым.

Этот метод основанна известной в математике теореме отсчетов, получившей название теоремыКотельникова:Произвольный сигнал, спектр которого не содержит частот выше f m ,полностью определяется последовательностью своих значений, взятых через равные промежутки времени t  1 2 f m .Справедливость теоремы подтверждается тем, что сигнал s(t ) , спектр которого ограничен частотой  m  2 f m , представляется рядомs (t ) k  s (kt )sin  m (t  kt ), m (t  kt )(3.24)где t  1 2 f m – интервал между двумя отсчетными точками (узлами) на осивремени, s (kt ) – выборки функции s (t ) в моменты времени t  kt . Функцииsin  m (t  kt )Gk (t ) (3.25) m (t  kt )являются базисными функциями ряда Котельникова.Представление сигнала рядом Котельникова показано на рис.

3.18.Рис. 3.18. Представление непрерывного сигнала рядом Котельникова3.6.2. Доказательство теоремы Котельниковаа. Свойства системы базисных функцийsin  m (t  kt )sin x– это функции типа, отли m ( t  k t )xчающиеся друг от друга сдвигом по времени на величину kt . Графики функцийsin  m (t  t )sin  m tG0 (t ) иG1 (t ) mt m (t  t )приведены на рис.

3.19. Функция Gk (t ) достигает максимума в момент времениt  kt , тогда как другие функции Gn (t ) (при n  k ) в этот момент времениравны 0.Базисные функции Gk (t ) Рис. 3.19. Графики функций G0 (t ) и G1 (t )Определим спектр сигнала, описываемого функцией Gk (t ) (в дальнейшемпод Gk (t ) будем понимать либо функцию, либо сигнал, описываемый этойфункцией).sin  m tВ п. 3.4.9 определен спектр сигнала s (t )  A.

Амплитудный спектр mtэтого сигнала имеет форму прямоугольного импульса и ограничен полосой частот 2 m , в пределах которой он равен A 2 f m .Общее выражение для спектра Aпри    mS ( j )   2 f m 0 при   msin  m (t  kt )Базисные функции Gk (t ) отличаются от функции m (t  kt )sin  m tAамплитудой и наличием сдвига на временной интервал kt . Это зна mtчит, что спектр станет комплексным, причем форма амплитудного спектра неизменится, а появится фазовый спектр  ( )   kt . Общее выражение дляспектральной плотности базового сигнала Gk (t ) будет иметь вид 1  j k teпри    mS gk ( j )   2 f m 0 при   mУчитывая, что t  1 2 f m , можно записать te  j k t при    mS gk ( j )   0 при    mНа рис.

3.20 приведены графики спектров дискретизируемого сигнала исигнала, описываемого функцией Gk (t ) .абРис. 3.20. Графики спектров дискретизируемого сигнала (а)и функции Gk (t ) (б)б. Доказательство теоремыПокажем, что ряд Котельникова (3.24) определяет функцию s (t ) в любоймомент времени. Этот факт будет свидетельствовать о правомерности теоремыКотельникова.Для получения ряда воспользуемся общим методом разложения заданнойфункции по ортогональным системам функций (см. п. 3.1.1).1. Функция, заданная для разложения, – s (t ) .2.

Базисная система функций, по которым будет осуществляться разложеsin  m (t  kt )ние, – это функции вида Gk (t ) . Ортогональность этой системы m (t  kt )функций в бесконечном интервале необходимо доказать.3. Обобщенный ряд Фурье применительно к рассматриваемому случаю известен:s (t )  C k Gk (t ) ,C k 12 s (t )Gk (t )dt .Gk (t )  Для нахождения ряда Котельникова требуется доказать ортогональностьk  системы функций Gk (t ) , найти Gk (t )определить коэффициенты C k .2– квадрат нормыфункции Gk (t ) иДоказательство ортогональности системы функций Gk (t )Система функций Gk (t ) ортогональна, если Gk (t ) 2 при k  n , Gk (t )Gn (t )dt   0 при k  n ,где G k (t ) 2 Gk (t )dt– норма функции Gk (t ) .Вычислим значение интеграла от произведения Gk (t )  G n (t ) при k  n .G k (t )Gn (t )dt  sin  (t  kt ) sin  (t  nt )mm  (t  kt )m m (t  nt )dt .(3.26)Из свойств преобразования Фурье известно, что еслиs1 (t )  S1 ( j ) и s 2 (t )  S 2 ( j ),тоs1 (t ) s 2 (t ) 1S1 ( j )  S 2 ( j ) .2Следовательно, s1 (t ) s2 (t )e j t1 dt S1 ( j) S 2 [ j (  )]d ,2 1 * s1 (t ) s 2 (t )dt  2  S1 ( j ) S 2 ( j )d .Применим полученное соотношение к выражению (3.26), учитывая, чтоsin  m (t  kt )1  j kteпри   m     m ; m ( t  k t )2 fmsin  m (t  nt )1  j nteпри   m     m . m (t  nt )2 fmТогда18 f m211 m 1  j kt 1G(t)G(t)dtee j nt dt n k2  2 f m2 fmmmm11 j ( k  n ) tdt  e  j ( k  n ) t e2 j ( k  n ) t8fm m m1(e j m ( k  n ) t  e  j m ( k  n ) t ) j ( k  n ) t8 f m21111sin  m (k  n) t sin(k  n)  0 .4 f m (k  n)4 f m ( k  n)2Вычислим значение Gk (t ) :2Gk (t )2 Gk (t )dt sin 2  m (t  kt )22   m (t  kt ) m (t  kt )  x ;Замена переменной:tdt .x1 kt ; dt dx .mmТогдаGk (t )21  sin 2 xdx  t .m  x2 m 2 f mТаким образом, t при k  n,G(t)G(t)dtkn0 при k  n .Ортогональность системы функций Gk (t ) доказана.Определение коэффициентов рядаЗначение коэффициентов C k определим, пользуясь формулойC k 1Gk (t )2 s (t )Gk (t )dt .Для вычисления s (t )Gk (t )dtвоспользуемся методикой, которая приме-нялась для вычисления интеграла от произведения Gk (t )G n (t ) при k  n :1 1 m*j ktd  s(t )Gk (t )dt  2  S ( j ) S gk ( j )d  2  S ( j )te m1 m tS ( j )e j kt d  ts (kt ) .2 mПределы интегрирования приведены в соответствие с тем, что спектрысигнала и функции Gk (t ) имеют граничную частоту  m .Таким образом, коэффициенты C равныkC k 121 s(t )Gk (t )dt  t ts (kt )  s (kt ) .Gk (t ) Получены все данные, чтобы записать рядs (t )   C k Gk (t ) k  Это и есть ряд Котельникова.k  s(kt )sin  m (t  kt ). m (t  kt )(3.27)Ограничение спектра сигнала наивысшей частотой  m свидетельствует онепрерывности сигнала.

Это значит, что ряд сходится к функции s (t ) при любом значении t .Ширина спектра сигнала s (t ) и ширина спектра базисных функций Gk (t ) ,используемых для представления этого сигнала рядом Котельникова, одинаковы и равны   2 m (рис. 3.20). Это соотношение определяется предельнымслучаем основного условия, фигурирующего в теореме Котельникова, а именноt  1 2 f m .Интервал t между выборками при дискретизации сигнала можно взятьменьше, чем 1 2 f m . Тогда ширина спектра S gk ( j ) базисной функции будетбольше, чем ширина спектра S ( j ) сигнала. Это приведет к повышению точности воспроизведения сигнала, если граничная частота спектра сигнала определялась путем отсечения составляющих, выходящих за ее пределы. Заметим,что для сигналов с конечной длительностью граничная частота определяетсявсегда приблизительно, так как их спектр занимает бесконечную полосу частот.Если же интервал между выборками взять больше, чем 1 2 f m , то ширинаспектра S gk ( j ) будет меньше ширины спектра сигнала, что может привести кискажению сигнала при его восстановлении по выборкам.Таким образом, уменьшение интервала между выборками при дискретизации сигнала с ограниченным спектром по сравнению с t  1 2 f m допустимо.При практическом применении дискретизации сигнала выбирают интервал дискретизации в 2 – 5 раз меньше, чем 1 2 f m .3.6.3.

Дискретизация сигнала с конечной длительностьюСигнал с конечной длительностью  с имеет спектр с бесконечно большойшириной. Однако на практике всегда можно определить частоту, вне которойсоставляющие спектра обладают малой энергией по сравнению с энергией сигнала. Условно эту частоту можно считать граничной частотой f m спектра. Вэтом случае сигнал длительностью  с приближенно можно представить некоторым числом N выборок с шагом t  1 2 f m , причемN  c  1  2 f m c  1.tЧисло 2 f m c называют иногда числом степеней свободы сигнала, или базой сигнала.Таким образом, сигнал с конечной длительностью можно аппроксимировать рядом Котельникова с конечным числом членов, т.е.Ns (t ) k 0s ( k t )sin  m (t  kt ). m (t  kt )Сигнал s (t ) , представленный в виде такого ряда, воспроизводится точнотолько в точках отсчетов kt .

Характеристики

Список файлов книги