Надольский А.Н. Теоретические основы радиотехники (2005) (1151788), страница 18
Текст из файла (страница 18)
Следует отметить, что применение однополосной модуляции приводит к значительному усложнению аппаратуры. Возрастают также требования к стабильности ее параметров и характеристик. В целом передающие и приемные устройства систем с однополосноймодуляцией по числу элементов оказываются в 3 – 5 раз более сложными, чемпри обычной амплитудной модуляции.Применение АМ связано с определенными ограничениями, которые связаны с амплитудными искажениями, возникающими при передаче под воздействием внешних и внутренних шумов. Поэтому АМ используется в основном врадиовещании и телевидении, а также в системах связи, где ради простоты устройств допустимы незначительные искажения передаваемых сигналов.4.3.
Радиосигналы с угловой модуляцией4.3.1. Общие сведения об угловой модуляцииПри угловой модуляции (английский термин – angle modulation) происходит изменение фазового сдвига высокочастотного колебания под действиеммодулирующего сигнала. Амплитуда сигнала при этом виде модуляции остается постоянной. Формула, описывающая модулированное колебание, имеет видs ( t ) U н cos[ 0 t (t )] U н cos (t ) ,где 0 t – линейный набег фазы за время t ; (t ) – фазовая функция, обусловленная модуляцией.Ранее было сказано, что изменение фазового сдвига (t ) может происходить как путем модуляции непосредственно фазового сдвига, так и путем модуляции частоты несущего колебания.
Объясняется это известной зависимостью,существующей между угловой частотой и полной фазой гармонического колебания:d (t )d (t ) (t ) 0 dtdttи (t ) (t )dt 0t (t ) .0Поэтому различают фазовую модуляцию (ФМ) и частотную модуляцию(ЧМ).При фазовой модуляции пропорционально модулирующему сигналу s м (t )изменяется фазовый сдвиг, т.е. (t ) 0 k ф s м (t ) ,при частотной модуляции – частота несущего колебания, т.е. (t ) 0 kч s м (t ) .Коэффициенты k ф и k ч – это масштабные (размерные) коэффициентыпропорциональности между фазой и напряжением (размерность Рад/В), частотой и напряжением (размерность Рад/В с).Полная фаза модулированного колебания равнапри ФМ (t ) 0 t k ф s м (t ) 0 ;tпри ЧМ (t ) 0t kч s м (t )dt 0 .0Тот факт, что изменение фазы колебания во времени по закону (t ) приводит к изменению мгновенной частоты по закону d (t ) dt , а изменение мгновенной частоты по закону (t ) приводит к изменению фазы по закону (t)dt ,обусловливает общность между двумя разновидностями угловой модуляции –фазовой и частотной.Рассмотрим более подробно каждый из этих видов модуляции в предположении, что реализуется тональная модуляция, т.е.
модулирующий сигнал является гармоническим и равен s м (t ) U м cos ( t ) .4.3.2. Фазовая модуляцияПри фазовой модуляции гармоническим сигналом полная фаза модулированного сигнала равна (t ) 0t k фU м cos(t ) 0 .(4.2)Тогда выражение для модулированного сигнала принимает видs (t ) U н cos[ 0 t k фU м cos(t ) 0 ] .Угловая частота этого колебания будет равнаd (t ) (t ) 0 k фU м sin(t ) .(4.3)dtТаким образом, изменение фазового сдвига по закону косинуса приводит кизменению частоты по закону синуса, т.е.
при фазовой модуляции изменениечастоты (по существу тоже модуляция) происходит по закону, отличному от закона изменения модулирующего сигнала.Анализ выражений (4.2) и (4.3) для фазы и частоты модулированного колебания позволяет сделать определенные выводы относительно некоторых егопараметров.Как следует из формулы для полной фазы, величина k фU м являетсямаксимальным отклонением фазы несущего колебания от начальной фазы 0 ,т.е.
по существу это амплитуда изменения фазы. Эту величину называют индексом угловой модуляции. При ФМ она зависит только от амплитуды модулирующего сигнала.В свою очередь величина д k фU м является максимальным отклонением частоты несущего колебания от значения 0 , т.е. это амплитуда изменения частоты. Эту величину называют девиацией частоты. При ФМ она зависитне только от амплитуды модулирующего сигнала, но и от его частоты.Таким образом, общее выражение для фазомодулированного сигнала притональной модуляции сигналом s м (t ) U м cos( t ) имеет видs ( t ) U н cos[ 0 t cos( t ) 0 ] .4.3.3.
Частотная модуляцияПри частотной модуляции гармоническим сигналом частота модулированного колебания равна (t ) 0 k чU м cos( t ) .Полная фаза такого колебания определяется как интеграл от частоты (сучетом начальной фазы)tkU (t ) (t )dt 0t ч м sin( t ) 0 .0Тогда выражение для модулированного сигнала принимает видkUs(t ) U н cos[ 0t ч м sin(t ) 0 ] .Таким образом, изменение частоты по закону косинуса приводит к изменению фазового сдвига по закону синуса, т.е.
при частотной модуляции изменение фазового сдвига происходит по закону, отличному от закона изменения модулирующего сигнала.На рис. 4.11 показано, как изменяется фаза и частота модулированного колебания при ФМ и ЧМ, если закон изменения модулирующего сигнала одинаков.Как следует из приведенных формул для полной фазы и частоты, частотномодулированное колебание имеет девиацию частоты д k чU м и индекс угловой модуляции k чU м .
В данном случае девиация частоты не зависит отчастоты модулирующего сигнала, а индекс угловой модуляции зависит.Рис. 4.11. Сравнение функций (t ) , (t ) и сигналов при ФМ и ЧМТаким образом, общее выражение для частотно-модулированного сигналапри тональной модуляции можно записать так:s ( t ) U н cos[ 0 t sin( t ) 0 ] .Характерно, что связь индекса угловой модуляции и девиации частоты дляфазовой и частотной модуляций определяется выражениями д и д .По общему виду математического выражения для сигнала с угловой модуляцией нельзя сказать, какая модуляция реализована – фазовая или частотная,если не известен модулирующий сигнал. Ответить на этот вопрос можно, еслирассмотреть графики зависимостей () и д ( ) (рис. 4.12).При фазовой модуляции график () – прямая, параллельная оси абсцисс,график д ( ) – прямая, проходящая через начало координат с углом наклона коси абсцисс, зависящим от амплитуды U м модулирующего сигнала.
При частотной модуляции график () – равносторонняя гипербола с центром в начале координат, график д ( ) – прямая, параллельная оси абсцисс.Рис. 4.12. Графики зависимостей () и д () при ФМ (а) и ЧМ (б)4.3.4. Спектральный анализ сигналов с угловой модуляциейОпределим спектр колебания с угловой модуляцией, представленного ввидеs ( t ) U н cos( 0 t sin t ) .Данное выражение описывает сигнал с фазовой модуляцией, если модулирующий сигнал s м (t ) U м sin t , и сигнал с частотной модуляцией, если модулирующий сигнал s м (t ) U м cos t . Для упрощения математических выкладокначальные фазы ( 0 и ) несущего и модулирующего сигналов опущены.Выполним элементарные тригонометрические преобразования.s (t ) U н cos( 0 t sin t ) U н [cos 0 t cos( sin t ) sin 0 t sin( sin t )] .Воспользуемся известными соотношениями [10]:cos( sin t ) J 0 ( ) 2 J 2k ( ) cos 2k t ;k 1sin( sin t ) 2 J 2k 1 ( ) sin(2k 1) t ,k 0где J k ( ) – бесселева функция первого рода k -го порядка от аргумента .Тогдаs(t ) U н cos 0t J 0 ( ) 2 J 2k ( ) cos 2kt k 1 U н sin 0 t 2 J 2 k 1 ( ) sin( 2k 1)t . k 0Раскроем скобки и заменим произведения тригонометрических функцийcos 0 t cos 2 kt и sin 0 t sin( 2k 1) t полусуммами косинусов соответствующих аргументов (с суммарными и разностными частотами).
В результате получим выражение, которое определяет спектр сигнала с угловой модуляцией:s(t ) U н J 0 ( ) cos 0 t U н J k ( ) cos( 0 k)t k 1 Uн ( 1) k J k ( ) cos( 0 k)tk 1.(4.4)Анализ данного выражения позволяет сделать следующие выводы:1.
Спектр сигнала с угловой модуляцией состоит из составляющей на несущей частоте и бесконечного числа боковых составляющих с частотами 0 k , расположенных симметрично относительно несущей частоты(рис.4.13). Составляющие с нечетными номерами и частотами 0 k находятся в противофазе с составляющими, имеющими такие же номера и частоты 0 k .Рис. 4.13. Спектры сигналов с угловой модуляцией при различных 2. Амплитуды составляющих спектра зависят не только от амплитуды U ннесущего колебания, но и от значений бесселевых функций при индексе угловоймодуляции данного сигнала.
Характер изменения бесселевых функций таков(рис. 4.14), что при определенных значениях возможно отсутствие в спектресигнала составляющей на несущей частоте ( 2,4 , 5,5 ), составляющих начастотах 0 ( 3,9 , 7,1 ), составляющих на частотах 0 2( 5,2 , 8,4 ) и т.д.3. В общем случае сигнал с угловой модуляцией занимает бесконечную полосу частот (теоретически). Однако бесселевы функции характеризуются тем,что с ростом индекса модуляции абсолютное значение функции J k ( ) быстро уменьшается с увеличением k . Наибольший номер составляющей, которую еще необходимо учитывать в составе спектра, равен приблизительно индексу модуляции, т.е. k .
Поэтому считается, что при 1 (это справедливодля так называемой медленной угловой модуляции, при которой д ) ширина спектра сигнала равнад2 2 дэф эф 2 или.Рис. 4.14. Графики функций БесселяТаким образом, можно сказать, что эффективная полоса частот сигнала сугловой тональной модуляцией равна удвоенной величине девиации частоты изависит от частоты модулирующего сигнала при ФМ и не зависит – при ЧМ.Определенный интерес с познавательной точки зрения представляет случай, когда индекс угловой модуляции имеет малое значение, т.е.