Диссертация (1151153), страница 13

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 13)

Расчет проиллюстрировантаблицей в Приложении 1.Когортный анализ (продольный и поперечный). В качестве удобнойиллюстративной модели интерес представляют различные варианты когортныхисследований. Они показывают изменения различных показателей в течениекакого-то периода жизни у определенных групп людей. Причем особеннополезными является исследование конкретных когорт на протяжении всей ихжизни (продольный анализ), а не усредненных данных по всему наличномунаселению (поперечный анализ).Когорта – группа лиц, объединяемая по признаку наступления в их жизниопределенного события (например, рождение ребенка или достижение того илииного возраста).Наиболее ценную информацию можно получить из когортных таблицрождаемости и смертности, построенных по реальным поколениям. Причем, чем66выше детализация информации, тем более практически ценные результаты можнополучить.

Например, если есть информация о распределении женщин по числурожденных ими детей, то можно исследовать влияние недемографическихфакторов (таких как, например, экономические кризисы) на среднее числорождаемых детей одной женщиной (исчерпанную плодовитость). Однако в случаеотсутствия детальной информации лучше использовать средства продольногоанализа (метод условного поколения).Поскольку регулярная государственная демографическая статистика РФведется по данным обо всем наличном населении за определенный период (месяц,год), то для анализа доступны только данные о фиктивных поколениях. В связи сэтимвработенаибольшеевниманиеуделяетсярождаемости и смертности, а не анализу их детерминант.динамикепоказателей2.2. Модели и методы математической статистики и вычислительнойматематикиДиссертационное исследование основывается на модели пуассоновскогопотока событий для рождаемости и смертности на территории региона за год.Пуассоновский поток событий характеризуется единственным параметром –интенсивностью.

Исходя из данных предпосылок были выбраны показателирождаемости и смертности, а также методы их прогнозирования.Методпоказателей,прогнозированияпубликуемыхгодовогоРосстатом,показателянаиболеерождаемости.близкимикИзпоказателюинтенсивности рождений являются «Число родившихся в расчете на 1000населения за год» и «Число зарегистрированных родившихся в расчете на 1000населения» (месячная информация) блока Центральной базы статистическихданных «Демография/ Естественное движение населения» [110]. В региональномблоке присутствует таблица для показателя «Число родившихся на 1000 женщинрепродуктивного возраста», но полная статистика по нему отсутствует.

Чтобыизбежатьискаженияинформацииорождаемости,вызванногорасчетомпоказателя по всему населению региона, самостоятельно вычисляем числородившихся на 1000 женщин репродуктивного возраста на основе данных ополовозрастной структуре населения региона и показателей числа родившихся на1000 населения.Поскольку рождаемость на годовом интервале времени, в отличие отсмертности, имеет тенденцию к более значительным колебаниям под влияниемвнешних факторов, применяем логарифмическое преобразование и исследуемпроцентные приращения.Основныминструментомдляпрогнозированиярождаемостивдиссертационном исследовании является сплайновая регрессия кубическогосплайна дефекта 1 с внутренними узлами, соответствующими моментам реакциина ключевые социально-экономические события. По сути, решается задача68сплайн-аппроксимации2 наблюдаемой реализации случайной функции числарождений, заданной в точках дискретного времени с годовым интерваломвремени.

Выбор данного метода обоснован следующими факторами.1. При отсутствии общепризнанной стохастической модели рождаемостисплайновая регрессия является гибким методом аппроксимации данных.Сплайновая регрессия строится на основе линейной комбинации базисныхсплайнов более низкого порядка, чем результирующая кривая. Различиемежду полиномиальной регрессией и сплайновой регрессией заключается втом, что вместо аппроксимации полинома высокого порядка по всему рядуданных осуществляется поиск оптимальной (в квадратичной метрике)линейной комбинации базисных сплайнов, построенных на основе заданныхв явном виде узлов разбиения.

Чем больше узлов, тем сильнее полученнаякривая прилегает к данным. Рождаемость носит компенсационный характер,и число детей в семье колеблется около стабильного среднего значения [17].То есть, после длительного спада следует ожидать значительный рост. Поэтой причине использование узлов, соответствующих моментам реакции наключевыесоциально-экономическиесобытия,позволяетизбежать«переподгонки» с сохранением свойства хорошего прилегания к данным.2.

Использование в сплайновой регрессии алгебраических полиномов третьейстепени позволяет получить хорошее сглаживание при минимальнойкривизне, что важно для выявления тенденции в данных. Выбор дефекта 1обеспечивает плавность изменения тенденции рождаемости при реакции напроисходящие социально-экономические события.3. Так как используется алгебраический небольшой степени, то для прогнозана горизонт от одного до трех лет чувствительность к колебаниям данныхнаходится в допустимых пределах, что подтверждается стресс-тестами вглаве 3. Экстраполяция последнего участка сплайна в целях прогноза с2Математическая энциклопедия.

(Под ред. И. М. Виноградова.) М.: Советская энциклопедия, 1984, Т.5, с. 143.69использованием граничного условия отсутствия узла позволяет учестьпоследнюю сформировавшуюся тенденцию.Рассмотрим подробнее понятие базисного сплайна.B-сплайн (базисный сплайн, от англ. basis-spline) – это максимальнодифференцируемая интерполяционная базисная функция (maximally differentiableinterpolative basis function).

B-сплайн является обобщением кривой Безье (Bсплайн без внутренних узлов является кривой Безье). B-сплайны определяютсяпорядком m и числом внутренних узловN. Также есть две конечные точки,которые сами по себе являются узлами. Таким образом, общее число узловсоставляетзадаютсяN 2. Степень многочлена B-сплайна равна n  m  1. Узлы сплайнапоследовательностьювещественныхчисел(t i ) : t 0  t1    t N  t N 1 , i  0, 1, , N  1, N  0 .Использование B-сплайнов лежит в основе методологии «регрессионныхсплайнов» (от.

англ. regression splines), отличающихся от «сглаживающихсплайнов» (smoothing splines, Wahba, 1990) тем, что для сглаживающего сплайнаштраф за негладкость (roughness) задается явно, и точки наблюденийрассматриваются как потенциальные узлы, в то время как для «регрессионныхсплайнов» узлы задаются на основе квантилей, диапазонов данных с заданнымшагом (equidistant/equiquantile points) или произвольным образом в видепоследовательности вещественных чисел.Начнем рассмотрения с определения кривой Безье. Кривая Безье степениn  m 1(порядка m ) состоит из m членов и задается следующим образом:nB( x )    i C (1  x )ini 0n inx    i Bi , n ( x ) ,i(2.4)i 0 i  R, i  0, 1, , n – управляющие значения (control points), определяются далее врамках регрессионной модели,Бернштейна степени n ,nBi 0i ,nBi ,n ( x)  Cni (1  x) ni x i( x)  1 .Кривые Безье образуют следующую рекурсию:– базисные полиномы70 n1  nB( x)  (1  x)   i Bi ,n1 ( x)   x   i Bi ,n1 ( x)  , i 0  i 1(2.5)то есть, кривая Безье степени n представляет собой линейную комбинацию двухкривых Безье степени n  1 и так далее.Определим дополненную последовательность узлов для задания базиснойфункции B-сплайна: t ( m1)    t 0  t1    t N  t N 1    t N m .Переопределим индекс для последовательности узлов i  0, 1, , N  2m  1 .Для каждого узла t i определим рекурсивно набор вещественных функцийBi , j ( x), j  0, 1, , n– базисных функций B-сплайна порядка j :1, t  x  t i 1Bi ,0 ( x)   i,0, иначе(2.6)– рекуррентное соотношение де Бо (deBi , j 1 ( x)   i , j 1 ( x) Bi , j ( x)  [1   i 1, j 1 ( x)]Bi 1, j ( x)Boor, 2001), x  ti,t t i , j ( x)   t i  j  t i i  j i . 0, иначеДля каждого j векторное пространство V j (t ) на(2.7)R,образованное наборомвсех базисных функций B-сплайна порядка j , называют B-сплайном порядка j :V j (t )  span{Bi , j ( x ) | i  0, 1, }.(2.8)Любой элемент V j (t ) является функцией B-сплайна порядка j .

Первыйчлен Bi ,0 ( x) часто называют константой.B-сплайн степени n является параметрической кривой, образованнойлинейной комбинацией базисных B-сплайнов Bi ,n ( x) :B( x ) N n Bii ,n( x ), x  [t 0 , t N 1 ] ,(2.9)i 0 i  R, i  0, 1, , N  n  1 – управляющие значения.НаосновелинейнойкомбинацииB-сплайновскоэффициентами,подобранными на основе регрессионной модели строится соответствующийрегрессионный полиномиальный сплайн. Если давать неформальное определение,71то сплайн – это функция, склеенная из различных кусков многочленов пофиксированной системе. Обычно в качестве многочлена используется полином.Изначальнотермин«сплайн»произошелот названиягибкойлинейки,применяемой для черчения плавных линий, соединяющих точки, между которымиона зажата. Дадим определение полиномиальному сплайну.На отрезке a, b задается сетка  n : a  x0  x1  ...  xn  xn1  b , гдеn N .ПустьPm – множество многочленов степени не выше m, m  0 , и C ( k )  C ( k ) [a, b] –множество непрерывных напроизводную,k  Z .a, b функций, имеющих непрерывную k-юФункциюS m ( x)  S m,k ( x,  n ) называютполиномиальнымсплайном степени m дефекта k , 1  k  m , с узлами x0 , x1 ,..., xn , xn1 , если1) S m ( x)  Pm на xi , xi 1  (i  0, 1, 2,, n) ,2) S m ( x)  C mk [a, b] .Точки xi  называются узлами сплайна.Сплайн S m (x) дефекта 1 можно представить в виде линейной комбинациибазисных сплайнов:S m ( x) nc Bi  mim ,i( x), a  x  b ,(2.10)где Bm,i ( x) – B-сплайн.

Характеристики

Список файлов диссертации