Диссертация (1151153), страница 15
Текст из файла (страница 15)
Неоднородный пуассоновский процесс (t ) введен в начале раздела 2.3.Отказываемсяотпостоянныхтраекторий.Причинойнеоднородностистохастических потоков на практике является воздействие внешних факторов.Пусть (t ) – некая положительная интегрируемая функция (мгновеннаяинтенсивность). Тогда функция накопленной интенсивности определяется какt(t ) ( )d , t 0(2.23)oНеоднородный пуассоновский процесс определяется как процесс снезависимыми приращениями, траектории которого стартуют из нуля (0) 0 ивыполняетсяP( (t ) ( s) k ) eПроцессы (t )и( ( t ) ( s ))N1 ((t ))((t ) (s)) k, t s, k 0, 1, 2,k!стохастическиэквивалентны(2.24)(длястандартизованного пуассоновского процесса происходит искривление времени):P( (t ) k ) P( N1 ((t )) k ), t 0, k 0, 1, .(2.25)793.
Дважды стохастические пуассоновские процессы (процессы Кокса).Случайный процесс (t ), t 0 с неубывающими, непрерывными справа иимеющими конечные пределы слева траекториями, удовлетворяющий условиям(0) 0 и P((t ) ) 1, 0 t , называется случайной мерой4. Пусть процессы(t ) и N1 (t ) независимы. Случайный процесс N * (t ) N1 ((t )) называется дваждыстохастическим пуассоновским процессом.Интерпретация: пусть l (t , ) – реализация траектории случайной меры (t ) ,соответствующая элементарному исходу . Тогда всякая реализация процессаКокса является траекторией неоднородного пуассоновского процесса с меройинтенсивности l (t , ) .
Процесс Кокса является суперпозицией двух случайныхпроцессов: стандартного пуассоновского процесса и случайной меры.E N * (t ) E N1 ((t )) E (t ) .4.Сложный(compound)пуассоновский(2.26)процесс.Отказываемсяотпостоянной величины скачка пуассоновского процесса, равной единице. С точкизрения практики: события разнородны, имеют разный вес.Пример процесса – суммарный убыток от страховых случаев (t ) 0, t 0 ,округленный с точностью до рублей.
Число страховых случаев, наблюдаемых кмоменту t (обозначимN)принимает значения n 0, 1, и имеет распределениеПуассона. Размер убытка X n 0, n 1, 2, от конкретного страхового случая –неотрицательнаяслучайнаявеличина.Отдельныеубыткинезависимыиодинаково распределены (например, страховые случаи, произошедшие с разнымииндивидами в разных местах).Определение: Пусть X 1 , X 2 , – независимые одинаково распределенныеслучайные величины, не зависящие от пуассоновского процесса N (t ) .t 4Правильнее здесь называтьN (t )Xn 1n(t ) функцией распределения случайной меры.(2.27)80Заметим, что t – марковский процесс с независимыми стационарнымиприращениями,E t ( EX 1 ) t ,D t ( EX 1 ) t.2Величины ( X n ) описывают размерскачков пуассоновского процесса.5. Неоднородный сложный пуассоновский процесс.t (t )Xn 1(2.28)nНезависимые приращения, марковость, но стационарность, вообще говоря,пропадает. Случайные величины ( X n ) – как в предыдущем определении.Математическое ожидание приращений процесса при s t :E (t s ) ( EX 1 ) ( (t ) ( s)),D(t s ) ( EX 1 ) ( (t ) ( s)) .2(t )–неслучайнаяфункция накопленной неоднородной интенсивности.6.
Сложный дважды стохастический пуассоновский процесс:случайнаямера, приращения–независимыеодинаково(t ) –распределенныеслучайные величины.t (t )Xn 1n.(2.29)(t ) – неубывающий случайный процесс, независимый от (t ) .(t ) , ( X n ) nN , – независимы в совокупности,E ( t s ) ( EX 1 ) E ((t ) ( s)) .7. Пуассоновский субординатор.
Основываясь на модели пуассоновскогопроцесса,введемпонятиепуассоновскогосубординаторадляпоследовательностей5. Его применение удобно в целях получения оперативнойстатистики, вычисляемой на основе обработки данных последнего скачкапуассоновского процесса. Формально пуассоновский субординатор описываетсяследующим образом.Пусть X 0 , X 1 , – последовательность некоторых случайных величин.Пуассоновский поток (t ) независим от ( X n ), n 0, 1, , t 0 . Промежутки5Под субординацией для случайных процессов в стохастических моделях принято подразумевать случайнуюзамену времени случайного процесса81между последовательными моментами пуассоновского процесса называютсяспейсингами. Пуассоновская субординация для последовательности по сутиозначает, что мыj -му спейсингу пуассоновского процесса j ,j 1, 2,приписываем j -й член исходной последовательности ( X n ) .Такимвиде Z t : X образом, (t ).нашпуассоновскийПоследовательностьсубординатор(X n )записываетсяназываетсявподчиненной(пуассоновскому времени), а сам пуассоновский процесс – ведущим.
Мыиспользуеммодель,когдаподчиненнаяпоследовательностьсостоитизнезависимых одинаково распределенных случайных величин. Неоднородныйпуассоновский субординатор определяется совершенно аналогично с заменойвремени ведущего пуассоновского процесса на неоднородный ( (t ) ).В качестве подчиненной последовательности пуассоновского процесса,изменяющейся в моменты скачков пуассоновского процесса, для социальныхвыплат естественно использовать следующие показатели. Количество новых обращений за социальной выплатой на число рождений(или смертей), характеризующее скачок пуассоновского процесса.
Впредыдущем разделе скачок пуассоновского процесса характеризуетсяN тысячамизарегистрированных смертей. Сумма новых выплат для пособий на рождение ребенка. Сумма «экономий» при выбытии льготодержателей из «вымирающей»льготной категории, например, ветеранов Великой отечественной войны.В этом случае следует в качестве подчиненной последовательностирассматривать убывающую последовательность, состоящую уже иззависимых случайных величин.Алгоритмнеоднородныхмоделированиядемографическихпуассоновскихпроцессов.процессовПосколькукакосновнымпредположением о характере демографических процессов на территории регионаявляются однородность по мере народонаселения и неоднородность по меревремени, то для моделирования распределения числа смертей по месяцам внутри82планового года используем метод моделирования неоднородного пуассоновскогопроцесса через преобразование времени стандартизованного пуассоновскогопроцесса с единичной интенсивностью.Шаг 1.
Моделируем стандартный пуассоновский процесс по осинакопленной интенсивности смертности (ординат) с промежутками междускачкамипуассоновскогослучайныевеличины j ~ Exp (1),F (t ) 1 e t ,процесса( j ),независимыt 0.пуассоновскогопроцессаосуществляетсяпоследующейиРассмотримˆ)æ(наj 1, 2, .одинаковослучайноеинтервалеформулеСоответствующиераспределены:числоˆ (1)] .[0, Егоскачковреализацияˆ ) max{ k : 1 k ˆ (1)} .æ(моделирования j : ln( RANDOM ( j )) , где RANDOM ( j ) –имДляj -ое обращение кдатчику случайных чисел. Обозначим реализацию как ( 1 ,, æ(ˆ ) ) .Шаг 2.
Определяем координаты 1 , 1 2 , ,1 2 æ(ˆ ) по оси времени(абсцисс) ломаной линии,полученной при помощи линейной интерполяциисмежных точек эталонного вектора накопленной по месяцам интенсивностисмертностиˆ (1 / 12); 1 / 12), (ˆ (2 / 12); 2 / 12),, (ˆ (1); 1) ,(длязначенийпоосиординат 1 , 1 2 , , 1 2 æ(ˆ ) . Подсчитываем число попаданий моментовскачков в каждый месяц и строим модельную траекторию накопленнойинтенсивности смертности.83Накопленная интенсивностьсмертности120100Исходнаясмертность80Смертностьмодель6040Исходнаясмертность +2 ст.откл.20012345678Исходнаясмертность -2ст.откл.9 10 11 12Время, мес.Рисунок 2 – Иллюстрация процесса моделирования одной траекториинеоднородного пуассоновского процесса методом преобразованияОценим воздействие обычной эпидемии (не пандемии) или техногеннойкатастрофы на прогноз смертности.
Для региона с достаточно большимнаселением влияние будет меньше, чем для региона с небольшим населением.Предположим, в результате природной катастрофы погибло 120 человекнаселения Вологодской области. С учетом общего населения порядка 1200000человек и годовой интенсивности смертей порядка 16 человек на 1000 населенияувеличение месячной интенсивности смертности будет незначительно – около0,8%, и им можно пренебречь.Используемые тесты, критерии, подходы, методы калибровки.1.
Для проверки стационарности временных рядов демографических данныхиспользуем тест Дики-Фуллера (Dickey D.A., Fuller W.A.) [43], состоящего изнесколькихэтапов.Рассмотримследующееуравнениедлянекотороговременного ряда y t :d ( yt ) c yt 1 c1 d ( yt 1 ) ... cn d ( yt n ) t ,(2.30)где t ~ н. о. р. с.
в. (0, 2 ) , т.е. независимые одинаково распределенные случайныевеличины с нулевым математическим ожиданием и дисперсией2, аd ( yt ) yt yt yt 1 . Сначала рассматривается спецификация без лагов. Нулеваягипотеза: порядок интегрируемости ряда первый, что означает c 0 .84Перед проведением теста на порядок интегрируемости нужно избавиться отавтокорреляции в остатках, иначе нулевая гипотеза будет отвергаться чаще, чемнужно. Тест на наличие автокорреляции – Breusch-Godfrey Serial Correlation(BGSC) LM Test.
Если статистика теста больше 5%, то автокорреляции нет. Еслиавтокорреляция есть, то нужно увеличивать число лагов в уравнении регрессии,пока она не исчезнет.Затем проводится тест на совместную незначимость лагов. Совместнонезначимые лаги удаляются из уравнения и опять проверятся наличиеавтокорреляции.Когда корреляция устранена, можно определить порядок интегрируемости.Если t -статистика коэффициента c меньше критического значения статистикиДики-Фуллера t c tкрит. , то порядок интегрируемости yt нулевой, иначе – покрайней мере, первый.2.
Для проверки соответствия распределения показателей демографическихпроцессов пуассоновскому распределению используем критерий согласия хиквадрат Пирсона.Тест сравнивает гистограмму с плотностью распределения. Данные делятсянаkчастей. Вычисляется статистика хи-квадрат:(Oi E i ) 2 ,Eii 1k2где Oi – наблюдаемая частота наk-й части, E i – ожидаемая частота на(2.31)k-й части.Статистика имеет распределение 2 с k p 1 степенями свободы. Гипотеза иальтернатива следующие.H0: выборка принадлежит данному распределению, если квантильраспределения 2 с k p 1 степенями свободы для уровня значимости большевычисленной статистики.H1: выборка не принадлежит данному распределению иначе.3.
Для проверки нормальности остатков моделей используем тест ШапироУилка. Он является одним из наиболее мощных тестов, особенно для выборокмалого объема. Нормальность проверяется путем сравнения двух оценок85дисперсии:параметрическойоценки,полученнойнаосновелинейнойкомбинации упорядоченной выборки, и обычной параметрической оценки.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
