Диссертация (1151153), страница 14

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 14)

Для понимания механизма работы рассмотрим болеепростое представление интерполяционного параболического сплайна через Bсплайныприm  3.Дополнимсетку n : a  x0  x1  ...  xn  bточкамиx  1 , x  2 , x  3 , x n  1 , x n  2 , x n  3 : x3  x2  x1  a  x0  x1  ...  xn  b  xn1  xn2  xn3 .( x s  x) 2B2,i ( x)  B2 ( x, xi 1 , xi , xi 1 , xi  2 )   3,i ( x s )s i 1i2i ( x)  ( x  xi 1 )( x  xi )( x  xi 1 )( x  xi 2 ) ,(2.11)(2.12)где xi – точки, удовлетворяющие неравенствам:xi 1  xi  xi(i  2 ,1, 0, 1, , n  3).Любой сплайн S 2 ( x) , определенный наa, b(2.13)и имеющий узлы xi  (a, b) ,i  1, 2, , n , единственным образом представим в видеn 1S 2 ( x )   ci M i ( x ) ,s  1(2.14)72гдеM i ( x) ( xi  2  xi 1 )B2,i ( x) .2(2.15)Применение стандартных методов анализа временных рядов дляпрогнозирования накопленной за год интенсивности смертности.

Изпоказателей,публикуемыхРосстатом,наиболееблизкимикпоказателюинтенсивности смертности являются «Число умерших в расчете на 1000населения за год» и «Число зарегистрированных умерших в расчете на 1000населения» (месячная информация) блока Центральной базы статистическихданных «Демография/ Естественное движение населения» [110].Поскольку интенсивность смертности напрямую зависит от пола и возраста,для прогнозирования смертности в группе лиц известного состава необходимо нетолько знание тенденции общего коэффициента смертности, но и распределениеинтенсивности смертности по полу и возрасту. Данные о возрастныхкоэффициентах смертности рассчитываются Росстатом только для РФ в целом.Поэтому для декомпозиции прогноза общего (регионального) коэффициентасмертности по возрастам используем структуру смертности РФ, сглаженную припомощи аппроксимации одного из аналитических законов смертности.

Например,кривой Гомперца-Мейкема.При отсутствии данных о возрастных коэффициентах смертности длярегиона использование моделей смертности, основанных на этих данных(рассмотренные в первой главе модели Ли-Картера, Реншоу-Хабермана, КернсаБлейка-Дауда), невозможно.По этой причине предлагается исследование демографической статистикисмертности для каждого региона и построение одной или несколькихтрадиционных эконометрических моделей временных рядов. С учетом наличиявыборки малого объема при выборе модели следует руководствоватьсяследующими свойствами процесса смертности, известными из демографии ибиологии:73 для большой выборки людей (в демографической статистике это100 000), родившихся в определенном году, интенсивность смертностиопределяется в первую очередь возрастом; средний уровень смертности на небольших промежутках времениизменяется плавно (это верно при отсутствии демографическихкатастроф уровня войн и пандемий).

В какой-то момент с улучшениемуровня жизни интенсивность смертности стабилизируется за счетисчерпания компоненты фоновой смертности.С учетом указанных свойств для прогнозирования годового показателясмертности решено использовать модели АРПСС и метод экспоненциальногосглаживания.Для комбинированного процесса авторегрессии-скользящего среднегоARMA( p, q) используем следующие обозначения [43]:pqi 1j 1X t    i X t i   t    j  t  j .(2.16)При прогнозировании при помощи модели АРПСС есть два источникаошибок.

Первый – это недетерминированная составляющая модели  t (белыйшум). Вторая – неточность оценки коэффициентов модели, так как оцениваниепроизводится по небольшой выборке одной из множества потенциальныхреализаций случайного процесса. Также нужно иметь в виду ошибкуспецификации. В нашем случае выбор спецификации обоснован свойствамипроцесса смертности.Построение линий экспоненциального сглаживания St  X t  (1   )St 1 , где0  1– сглаживающий коэффициент, освобождает нас от дополнительныхпредположений о спецификации модели. Хотя все же существует определенныйкласс моделей, для которых использование экспоненциального сглаживанияявляется оптимальным.

Это модель ARIMA(0, 1 ,1) [59].Выбор закона распределения для моментов подачи заявления на МСП.Поскольку назначение большинства МСП носит заявительный характер, то припрогнозировании требуемого объема денежных средств необходимо учитывать74этот факт. В зависимости от правил назначения и способа определения размерасоциальной выплаты момент подачи заявления льготодержателем (в рамках 1года) может быть непринципиальным для определения размера назначения.

Вэтом случае для моделирования потока заявок можно использовать стандартныйметод моделирования однородного пуассоновского процесса. При назначениинекоторых видов МСП (например, выплат при рождении ребенка) законраспределения времени между моментом наступления права (в данном случае эторождение ребенка) и моментом подачи заявления на назначение социальнойвыплаты необходим для корректного моделирования потребности в денежныхсредствах.Для интервала времени между моментом рождения и моментом подачизаявления на единовременное пособие при рождении ребенка определеносоответствиегамма-распределению( ;  ) ,определяемомуплотностьювероятности  x  1e  x, x  0,f X ( x )   ( ) 0, иначе ( x  0)  0,   0 ,где ( ) – гамма-функция Эйлера,  – параметр формы,(2.17)– параметр масштаба,имеющий смысл интенсивности.

Подробнее о критериях выбора законараспределения в Главе 3.2.3. Стохастические методы построения моделейПуассоновские свойства демографических процессов. Смертность ирождаемости на территории региона описываются пуассоновской считающеймерой на прямом произведении двух мер: меры времени и меры народонаселения.Обозначим   (t ),   (t ), t  0 пуассоновский процесс с неоднородной (повремени) интенсивностью, где (t ) – строго монотонно растущая функциянакопленной интенсивности, (0)  0 . Он обладает следующими свойствами:75  (0)  0 почти наверное,0.1.

приращения независимы,2. P((t )  (s)  k ) (t )  (s)k  e ( (t )( s )) ,k!k  0,1,,  0  s  t .На предположении о пуассоновской модели смертности и рождаемости (нагодовом временном интервале) основываются все дальнейшие преобразованиямасштабадляпоказателейдемографическихпроцессов.Предполагаетсяоднородность социального состава населения региона в смысле независимостиинтенсивности демографических процессов от конкретной части территории.В рамках пуассоновской модели демографические процессы однозначноописываются при помощи меры интенсивности (t ) и считающей меры снезависимымизначенияминапопарнопересекающихсяинтервалах   [s, t ) :   (t )    ( s),   (t ), t  s  0 .Типы пуассоновских процессов, модели основанные на пуассоновскихпроцессах. Пуассоновский процесс – наилучшая модель потока событий, которыеабсолютно хаотично рассредоточены во времени. Важнейшим модельнымсвойством является свойство отсутствия последействия: время ожидания событияне зависит от времени, прошедшего с наступления предыдущего события.

Примертакого потока в актуарной математике – поток требований по страховымвыплатам. Мы будем рассматривать в качестве потока событий фактырегистрации рождений или смертей на территории региона. Рассмотрим основныетипы пуассоновских процессов и обоснуем выбор конкретного типа.Определение 1. Стандартный или простейший пуассоновский случайныйпроцесс  (t ) , t  0) обладает следующими свойствами:1)  (t ) – процесс с независимыми приращениями;2)  (t ) – однородный процесс;3)  (0)  0 .4) При h  0 и некотором 0 P( (h)  0)  1  h  o(h) ;76 P( (h)  1)  h  o(h) ; P( (h)  2)  o(h) .То есть, траектории пуассоновского процесса не убывают, кусочнопостоянны, непрерывны справа, а их скачки равны единице.Параметр интенсивностиимеет смысл среднего числа скачков за единицувремени.Случайная величина  (t ) имеет распределение Пуассона с параметромP( (t )  k )  e t(t ) k, k  0,1,  .k!t :(2.18)Пусть 0   0 ,  1 , 1   2 , 1   2   3 , – точки скачков пуассоновского процесса.Они образуют простейший поток, поэтому так же будем называть данныйпуассоновский процесс простейшим3.

Из свойств независимости приращений иоднородности пуассоновского процесса следует, что случайные величины( n ), n  0 независимы, имеют одно и то же показательное распределение спараметром  :P( 1  t )  1  P( 1  t )  1  P( (t )  0)  1  e t , t  0.(2.19)Если точки скачков пуассоновского процесса отождествить с моментамирегистрации некоторых однотипных событий, то  (t )принимает смыслколичества событий N  (t ) , зарегистрированных до момента t .

Тогда удобнорассматривать пуассоновский процесс как точечный процесс на полупрямойt 0.Определение 2. Последовательность случайных величин  n n1 являетсяточечным процессом [34] если выполняются условия:1. Если  n   , то  n1   n ;2. Для всякого t   c вероятностью 1 найдется такое n , что  n  t .Со всяким точечным процессом n n1 можно связать случайнуюцелочисленную неотрицательную (считающую) меру  (A) , определенную наборелевских множествах3A,положивМатематическая энциклопедия.

(Под ред. И. М. Виноградова.) М.: Советская энциклопедия, 1984, Т.4, с. 763.77 ( A)  1( k  A) .(2.20)k 1Дополнительно установим равенство нулю суммы и произведения попустому множеству. Реализации  ([0, t )) и  n n1 однозначно определяют другдруга и  ([0, t ))   (t ) .При фиксированном числе скачков n  1 на произвольном непустоминтервале [a, b] точки скачков стандартного пуассоновского процесса  1 , ,  n наэтом интервале распределены равномерно.Равномерное распределение лучше других соответствует представлению обабсолютно хаотическом расположении точек на отрезке, поэтому пуассоновскийпроцессявляетсярассредоточенныхмодельювовремени.потокаЭтотсобытий,выводабсолютноосновываетсяхаотичнонасвойствемаксимальности энтропии эксперимента с равновероятными исходами.Обозначим число скачков пуассоновского процесса на интервале [0, t ] как  (t )    (t ) ,где (t ) – непрерывная (не обязательно строго) возрастающаяфункция (накопленная интенсивность пуассоновского процесса).Дляэтогонеоднородногопуассоновскогопроцессаспараметромнакопленной интенсивности (t ) , определенного на положительной полуосивремени, можно записать соотношение: (t )   (t ) 1;при t  sn 1E   (t )    ( s)   D  (t )    ( s)   (t )  ( s),(2.21)В частности, для простейшего пуассоновского процесса E (t )  D (t )  t .Обобщения стандартного пуассоновского процесса.

Интенсивностьпуассоновского процесса сама по себе может являться случайным процессом.Отметим, что однородный пуассоновский процесс получается через линейноепреобразование времени стандартизованного пуассоновского процесса с   1 .Используем обозначения:N1 (t )– стандартизованный пуассоновскийпроцесс (однородный с единичным значением параметра интенсивности), а N  (t )78– однородный пуассоновский процесс с некоторой интенсивностью.Этипроцессы стохастически эквивалентны в том смысле, что:P( N  (t )  k )  P( N 1 (t )  k ), t  0 .1. Смешанный пуассоновский процесс.

Еслинеотрицательной случайной величинынаблюдаемая интенсивностьl  0,  0,(2.22)– функция распределенияUреализацией которой являетсято точечный процессNназывается смешаннымпуассоновским процессом со структурным распределениемU.Данное определение интерпретировать можно следующим образом. Вмоментt 0разыгрывается реализация случайной величины.Траекторияреализованной накопленной интенсивности в данном случае линейная и равнаlt .Далее процесс развивается в соответствии с определением однородногопуассоновского процесса с интенсивностью l .Более строго: пусть случайная величинаи стандартизованныйпуассоновский процесс N 1 независимы. Точечный процесс N1 (t ) называютсмешанным пуассоновским процессом.2.

Характеристики

Список файлов диссертации