Диссертация (1151153), страница 10

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 10)

Время и возраст в данномслучае непрерывны, и выполняется соотношение:51 t 1q(t , x)  1  exp    (u, x  t  u )du  t(1.6)Коэффициент дожития (survivor index) – вероятность дожития до x  t летдля лица возраста ровно x лет на момент начала наблюдения 0. tS(t, x)  exp -  μ(u, x  u)du  0(1.7)Модели дискретного времени. Преимущество моделей дискетноговремени заключается в том, что при наличии данных для целых значенийвозрастов достаточно просто применять статистические модели временных рядов.Недостаток же заключается в том, что для таких моделей отсутствуетаналитическое представление вероятности смерти на заданный нецелый моментвремени.Рассмотренные ниже модели и методы различаются предположениями охарактерединамикисмертности.Метод,основанныйнаP-сплайнах,предполагает, что сама вероятность смерти изменяется гладко, а на практике мынаблюдаем сигнал плюс шум, которые необходимо сгладить.

Другие модели непредполагают гладкости вероятности смерти по всем измерениям (времени ивозрасту) и рассматривают различные комбинации: отсутствие гладкости по всемизмерениям (модели Ли-Картера и Реншоу-Хабермана), наличие гладкости повозрасту и отсутствие гладкости по времени (модель Кернса-Блейка-Дауда).1.

Модель Ли-Картера.В модели Ли-Картера, предложенной в 1992 году, рассматриваетсяпоказатель наблюдаемой смертности m(t, x) , а не лежащий в его основе показательвероятности смерти в возрасте полных x лет:m(t, x)  exp  x(1)   x( 2) kt( 2),(1.8)где  x(i ) отражают эффект возраста, а k t(i ) – случайный эффект данного периодавремени. В рамках данной модели  x(1) представляет среднее логарифмасмертности для возраста x по данным за несколько лет,  x( 2) – улучшениепоказателя смертности для данной возрастной группы, k t( 2) моделируется какпроцесс случайного блуждания [56] либо как АРПСС [68].52Не будем останавливаться на методах оценки параметров модели.

Отметим,что со временем стали применяться более строгие статистические методы, чем намомент публикации, основанные на критериях согласия для всей выборкиимеющихся данных. Другой подход связан с приданием большего весапоследнему наблюдению, так как иначе возможна недооценка коэффициентасмертности для возрастов, показывающих положительную динамику улучшенияуровня смертности за период наблюдения. Также проводились исследования поизучению и моделированию дрейфа для процесс случайного блуждания,используемого в модели.Несмотря на свою простоту и удобство использования в условияхограниченной информации, модель Ли-Картера имеет ряд недостатков.Модель однофакторная и предполагает корреляцию улучшенийуровня смертности для всех возрастов, что, как показывают реальные данные, невыполняется на практике.Параметр  x( 2) отвечает одновременно и за улучшение показателясмертности для данного возраста, и за неопределенность его будущего значения.Как правило,  x( 2) оценивается как среднее улучшение для возраста x .

Обозначимфильтрацию, полученную на основе информации об интенсивности смертностидля всех возрастов с начала наблюдения по год t как  t . Тогда на моментвремениT tдисперсия прогнозируемого значения логарифма смертностисоставит Var log m(T , x) |  t    x( 2) Var kT( 2) | kt( 2) . Исторические данные показывают,2что улучшения показателей смертности для старших возрастов невелики, в то жевремя неопределенность будущего уровня смертности велика, что явнопротиворечит модели.Базовая версия оценки параметра  x( 2) приводит к недостаточнойгладкости оценок для разных возрастов и, как следствие, невозможностикорректно оценить k t( 2) .Модель не очень хорошо ложится на реальные данные, что приводит ксистематическому смещению в прогнозе.532.

Многофакторные моделиМногофакторных альтернатив модели Ли-Картера существует совсемнемного. Одна из них – модель Реншоу-Хабермана, предложена в 2003 году:log m(t, x)   x(1)   x( 2) k t( 2)   x(3) k t(3) ,(1.9)где k t( 2) и k t(3) – зависимые эффекты периода, описываемые, например, двумернымслучайным блужданием.Модель для старших возрастов была предложена в 2006 году группойавторов(Cairns,Blake,Dowd).Онаосновываетсяналогистическойтрансформации коэффициента смертности:logit q(t , x)  logq(t , x) k t(1)  k t( 2) ( x  x ) ,1  q(t , x)(1.10)где (k t(1) , k t2 ) – двумерное случайное блуждание с дрейфом. Они такжерассматривают способы включения в модель параметра неопределенности наоснове байесовского подхода.Несмотря на то, что обе модели имеют существенные преимуществаотносительно модели Ли-Картера, они не предусматривают отмеченный ранеекогортный эффект в динамике коэффициента смертности для разных возрастов.3.

Когортные модели.Следующим шагом в развитии дискретных моделей смертности являетсяучет когортного эффекта.Реншоу и Хаберман в 2006 году предложили когортную модификациюсвоей многофакторной модели:log m(t, x)   x(1)   x( 2) k t( 2)   x(3)  t(3x) ,(1.11)где где kt( 2 ) – случайны эффект периода, а  t(3x) – случайный когортный эффект,являющийся функцией от t  x (года рождения).Основной эффект применения данной модификации по сравнению склассической моделью Ли-Картера заключается в том, что остатки модели ужегораздо больше похожи на белый шум. Но при этом страдает устойчивостьмодели: использования другого диапазона возрастов значительно влияет на54оценку параметров модели.

Кроме того, случайный когортный эффект включает всебя второй случайный эффект периода из предыдущей модели, что выливается вналичие тренда для когортного эффекта.Модификация модели Кернса-Блейка-Дауда была предложена той жегруппой авторов в 2007 году. Она включает в себя первый и второй случайныйпараметр периода, совместный эффект периода и возраста, а также когортныйэффект:logit q(t , x)  k t(1)  kt( 2) ( x  x )  k t(3) ( x  x ) 2   x2   t(4x) ,(1.12)где x – средний возраст для рассматриваемого возрастного интервала, а  x2 –соответствующая дисперсия.Применение данной модификации к историческим статистическим даннымпоказывает лучшее соответствие результатов имеющимся тенденциям.

Но дляпрогнозирования необходима разработка адекватных моделей будущей динамикивсех четырех эффектов. Кроме того, возможно добавление новых эффектов,использование комбинированных эффектов (когорно-возрастных и когортнопериодных) так что на данный момент трудно однозначно судить о наличииуниверсальной дискретной модели для анализа и прогнозирования динамикисмертности.4. Использование P-сплайновИспользование P-сплайнов (сплайнов со штрафом за негладкость) былопредложено Карри в 2004 году.

Типовая модель имеет следующий вид:log m(t , x)   ij Bij (t , x) ,(1.13)i, jгде Bij (t , x) – заданные базовые функции с регулярно расположенными узлами(базисные сплайны),  ij – параметры, отвечающие за штраф (линейный иликвадратичный). Использование P-сплайнов позволяет избежать переподгонки, вотличие от сплайнов без штрафа, часто дающих шероховатые поверхности. Сдругой стороны, возможна реализация несистематических рисков, одинакововлияющих на уровень смертности для всех возрастов. В этом случаешероховатость поверхности сплайна объективно обоснована.

Для таких случаев55необходима разработка сплайнов, учитывающих шоки в заданные моментывремени.Модели непрерывного времени. Большинство моделей непрерывноговремени разработаны исходя их предположения о диффузионном характерединамики смертности, основанном на одном или двух броуновских движениях.Кернс, Блейк и Дауд выделяют четыре основных схемы для построения моделейсмертности в непрерывном времени: краткосрочные модели (short-rate models) одномерной (по возрасту x )интенсивности смертности  (t , x) ; долгосрочные модели (forward-rate models) двумерной (по возрасту x имоментупогашенияT)будущей(форвардной)поверхностиинтенсивности смертности; рыночные модели (market models) будущих (форвардных) вероятностейдожития или цен аннуитетов; точныемоделисмертности(positivemortalitymodels)спотовыхвероятностей дожития (пока что не предложено ни одной модели).Мы не будем рассматривать рыночные модели, т.к.

они нацелены, в первуюочередь, на ценообразование контрактов по страхованию жизни и требуютисходных данных, которые не накоплены даже в зарубежной практике.1. Краткосрочные (спотовые) моделиЯвляются наиболее распространенными. Имеют представление вида~ (t )d (t , x)  a(t , x)dt  b(t , x)dW,где a(t , x) – дрейф, b(t , x) –n 1(1.14)вектор волатильностей, W~ (t ) – n -мерноестандартное броуновское движение по риск-нейтральной мере Q .Дрейф и волатильность подбираются на основе текущей временнойструктуры смертности так, чтобы соблюсти условие положительности и не выйтиза рамки соответствия биологической форме кривой интенсивности смертности.2.

Долгосрочные (форвардные) моделиИмеют представление вида56~(t , T , x  T )   (t , T , x  T )dt   (t , T , x  T )dW~ (t ) ,(1.15)где  (t , T , x  T ) – скаляр,  (t , T , x  T ) – n  1 вектор, W~ (t ) – n -мерное стандартноеброуновское движение по риск-нейтральной мере Q .Отметим, что риск-нейтральная мера доступна только в условиях рынка.Таким образом, применение указанных моделей для прогнозирования смертностинаселения всего региона является невозможным.Особенностирассмотрениюпроцессаметодоврождаемости.анализаПрежде,рождаемости,чемприступитьрассмотримкнекоторыенаблюдаемые особенности изучаемого процесса.1. Основным фактором рождаемости является возраст женщины. Выделяюттакже следующие пункты.2. Экономическая и политическая перспективы.3.

Характеристики

Список файлов диссертации