Диссертация (1150980), страница 37

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 37)

Этот временной график имеет следующуюформу: значение коэффициента досрочных возвратов по пулу ипотечных кредитов линейно возрастает в течениепервых 30 месяцев, затем держится на постоянном уровне. Для стандартной кривой PSA (100%) начальноезначение коэффициента досрочных возвратов составляет 0,2% в первый месяц (CPR = 0,2%), затем CPR растѐт по0,2% ежемесячно вплоть до 30-го месяца, таким образом значение коэффициента досрочных возвратов становитсяравным 6% (CPR = 6%) и остаѐтся таковым до конца жизни ипотечного пула.130nPt 1CM,t(1  r )(1  r ) n(3.2.16)где P – цена; n – число периодов до погашения, умноженное на 2; С – полугодовые процентныеплатежи; r – требуемая доходность, делѐнная на 2; М – номинал; t – количество периодов,оставшихся до получения платежа.В равенстве 3.2.16 предполагается, что первая выплата процентов состоится поистечении 6 месяцев, при этом накопленные проценты отсутствуют.

Если процентные платежиожидаются ранее чем через 6 месяцев, то цену необходимо уточнить с поправкой нанакопленные проценты (см. уравнение 3.2.13). Для того чтобы выявить приблизительноеизменение цены при небольшом колебании доходности, необходимо определить производнуюуравнения 3.2.16 по требуемому уровню доходности:ΔP ( 1)C( 2)C( n )C( n ) M.23n 1Δr (1  r )(1  r )(1  r )(1  r ) n 1(3.2.17)Преобразовав уравнение 3.2.17, получаем:ΔP1  1C2CnCnM .2nΔr1  r 1  r (1  r )(1  r )(1  r ) n (3.2.18)Выражение, заключѐнное в скобки, представляет собой средневзвешенный срок допогашения (взвешивание осуществляется по приведѐнной стоимости денежного потока). Еслиразделить части равенства 3.2.18 на Р, то можно вычислить значение приблизительногопроцентного изменения:ΔP 11  1C2CnCnM  1 .2nΔr P1  r 1  r (1  r )(1  r )(1  r ) n  P(3.2.19)Выражение в скобках, делѐнное на Р, принято называть дюрацией Маколея, такимобразом:1C2CnCnM2n1  r (1  r )(1  r )(1  r ) nДюрация Маколея PилиnДюрация Маколея tC (1  r)t 1tPnM(1  r ) n.(3.2.20)Дюрация Маколея199 представляет взвешенную по времени стоимость денежныхпотоков.

Относительно ценных бумаг, выплаты по которым не изменяются при колебании199Фредерик Маколей ввѐл термин «дюрация» в исследовании, которое было опубликовано в 1938 г. Ониспользовал эту меру вместо срока до погашения для выражения приблизительного значения среднейпродолжительности времени, в течение которого инвестиция в облигацию находится в обращении (Macaulay F.131процентных ставок, дюрация Маколея связывает процентное изменение рыночной цены спроцентным изменением уровня доходности:Дюрация Маколея 1  WAM Ti  CF P  i 1 1  r 2Ti,(3.2.21)где Ti – время, прошедшее с момента поставки до фактических выплат; r – доходность,выраженная в форме BEY; CF – поток платежей.Если подставить величину дюрации Маколея в равенство 3.2.19 для определенияприблизительных процентных изменений цены, то получим:ΔP 11 дюрация Маколея.Δr P1 r(3.2.22)Отношение дюрации Маколея к 1 + r получило название модифицированной дюрации.Таким образом:Модифицированная дюрация Дюрация Маколея.1 r(3.2.23)Формула для вычисления модифицированной дюрации отличается от формулы дюрацииМаколея тем, что она выражает процентное изменение цены в зависимости от измененияуровня доходности, выраженного в базисных пунктах, а не в процентах.

Если подставитьуравнение 3.2.23 в равенство 3.2.22, то получим:ΔP 1  Модифицированная дюрация.Δr PВыражение3.2.24демонстрирует,чтомодифицированная(3.2.24)дюрациясвязанасприблизительным процентным изменением цены при данном изменении уровня доходности.Поскольку для всех облигаций без встроенных опционов модифицированная дюрация являетсяположительным числом, равенство 3.2.24 устанавливает обратную зависимость междумодифицированной дюрацией и приблизительным процентным изменением цены при данномизменении уровня доходности. Это закономерный результат, так как «фундаментальныйпринцип движения цен на облигации гласит, что цены изменяются в направлении,противоположном направлению движения процентных ставок»200. Значения дюрации Маколеяи модифицированной дюрации в годах для шести предполагаемых облигаций представлены втабл.

3.2.2.Some Theoretical Problems Suggested by the Movement of Interest Rates, Bond Yields, and Stock Prices in the UnitedStates since 1856. New York: National Bureau of Economic Research, 1938). Исследуя чувствительность финансовыхинститутов к колебаниям процентных ставок, Редингтон и Сэмюэльсон, независимо друг от друга, также пришли квыводу о необходимости введения дюрации (Redington F. M. Review of the Principal of Life-Office Valuation // TheJournal of the Institute of Actuaries. 1952. Vol. 78. pp. 286–340; Samuelson P. A. The Effect of Interest Rates Increases onthe Banking System // The American Economic Review. 1945.

Vol. 35. No. 1. pp. 16–27).200Фабоцци Ф. Д. Рынок облигаций: анализ и стратегии / Пер. с англ. М.: Альпина Бизнес Букс, 2005. С. 97.132Таблица 3.2.2Значения дюрации Маколея и модифицированной дюрации в годахОблигацияСрок обращения (лет)Ставка процента (%)Значение дюрацииМаколея5255255259966004,1310,334,3511,10525Каквидноизуравнений3.2.20, 3.2.23,исчислениеЗначениемодифицированнойдюрации3,969,884,1610,624,7823,92дюрацииМаколеяимодифицированной дюрации является достаточно трудоѐмкой задачей.

В целях упрощениявычислений можно предложить альтернативное выражение. Если мы выразим P черезприведѐнную стоимость процентных выплат и приведѐнную стоимость номинала, то:11  (1  r ) nPCrM.n (1  r )(3.2.25)Для того чтобы вывести новую формулу модифицированной дюрации, необходимо взятьпервую производную уравнения 3.2.25 и поделить результат на Р:CnM  C 1 r1 2 n n 1r  (1  r ) (1  r )М одифицированная дюрация ,P(3.2.26)где Р выражена как процент номинальной стоимости.Дюрацию Маколея можно исчислить путѐм умножения результата модифицированнойдюрации 3.2.26 на (1 + r).3.3.

Методические подходы к прогнозированию денежных потоков поипотечным ценным бумагамКак демонстрируют расчѐты, применение дюрации Маколея и модифицированнойдюрации оправдано, когда необходимо связать изменение рыночной цены ипотечнойоблигации с изменением доходности. Но дело в том, что для переводной ипотечной облигацииэти меры мало полезны, когда возникает необходимость управления риском измененияпроцентных ставок. Стандартные показатели дюрации не подходят для анализа переводнойипотечной облигации из-за зависимости денежных потоков от процентных ставок. Ни133модифицированная дюрация, тем более ни дюрация Маколея не способны учитывать товлияние, которое оказывается изменением процентных ставок на выплаты по ипотечнойоблигации в силу колебания частоты досрочных возвратов.

Чувствительность потоков платежейкколебаниюскоростидосрочногопогашениятребуетнахожденияэффективнойиэмпирической201 дюраций. Постановка этого вопроса актуальна и по той причине, чтонекоторыеисследователиполагаютдостаточнымнахождениедюрацииМаколеяимодифицированной дюрации, чтобы перейти к анализу волатильности202.Изменяющиеся цены отражают соответствующее колебание скорости досрочногопогашения. Цены можно определять с помощью моделей оценки рыночной стоимости(например, с учѐтом стоимости встроенных опционов, OAS203), либо путѐм последовательногоприближения коэффициента досрочных возвратов и спредов доходности ипотечной облигациик кривой доходности государственных облигаций.

Для использования аппроксимациипроцентных изменений цены при данных колебаниях требуемой доходности необходимоумножить уравнение 3.2.24 на величину изменения требуемой доходности ( Δr ). Тогда мыполучим следующее соотношение:P  Модифицированная дюрация   r.P(3.2.27)Выражение 3.2.27 позволяет по-новому взглянуть на свойство модифицированнойдюрации.

Если предположить, что доходность некоторой ипотечной облигации изменилась на250 базисных пунктов, то модифицированная дюрация может быть представлена какаппроксимированное процентное изменение цены при изменении уровня доходности на 250базисных пунктов.Если  P / P и  r – это изменение цены и уровня доходности в некоторый день, то изуравнения 3.2.27 следует:201Эмпирические дюрации рассчитываются на основе изменения рыночных цен.

Этой теме посвящены статьи:Pinkus S. M., Chandoha M. A. The Relative Price Volatility of Mortgage Securities // The Journal of PortfolioManagement. 1986. Summer. Vol. 12. No. 4. pp. 9–22; DeRosa P., Goodman L. S., Zazzarino M. Duration Estimates onMortgage-Backed Securities // The Journal of Portfolio Management. 1993. Winter. Vol. 19. No. 2. pp. 32–38;Breeden D. T. Risk, Return, and Hedging of Fixed-Rate Mortgages // The Journal of Fixed Income.

1991. September.Vol. 1. No. 2. pp. 85–107; Breeden D. T. Complexities of Hedging Mortgages // The Journal of Fixed Income. 1994.December. Vol. 4. No. 3. pp. 6–41.202См., напр.: Фабоцци Ф. Д. Рынок облигаций: анализ и стратегии / Пер. с англ. М.: Альпина Бизнес Букс, 2005;Фабоцци Ф. Д., Манн С. Справочник по ценным бумагам с фиксированной процентной ставкой. 7-е изд. Т. 1. Пер.с англ. М.: ООО «И.Д. Вильямс», 2008.203Option-adjusted spread (OAS) – это производная от стандартного спреда к государственным ценных бумагамвеличина, которая учитывает дисперсию и неопределѐнность, связанную с возвратом долга по ипотечнойоблигации. OAS выполняет роль полезного измерителя относительной стоимости, позволяющего оценитьнекоторую ипотечную облигацию относительно еѐ прошлой стоимости и стоимости других ипотечных облигаций.Исследования показывают, что OAS, используемый на протяжении длительного времени, служит хорошиминдикатором недооценѐнных и переоценѐнных ипотечных облигаций (см., напр.: Using OAS to Enhance MortgagePortfolio Returns.

Salomon Brothers Inc. 1989. April).134P      r  NO,P(3.2.28)где  – константа,  – текущая эффективная дюрация, NO – уровень шума204. вводится в формулу 3.2.28 по той причине, что константа элиминирует тренд ипредотвращает искажение  , которое может произойти в результате включения ценовыхизменений, не связанных с изменением уровня доходности. Оценку  и  произведѐм позже.Сейчас обратимся к анализу движения цен ипотечных облигаций и оценке эффективнойдюрации. Символами k1 ,, k n выразим такие факторы риска, как: выпуклость, спред текущейставки процента, волатильность, спред с учѐтом опциона, изменение кривой доходностигосударственных ценных бумаг.

k1 , , k n , влияющие на Р, можно представить с помощьюрасширенного ряда Тейлора:N P1 2PIS2 P   ki k,i22 k iHEi 1  k i(3.2.29)где IS – пересечение, HE – величины более высокого порядка.Если разделить обе части равенства 3.2.29 на Р, то получим процентное изменение цены: P 1 N  P1 2PIS2  ki k.i2PP i 1  k i2 k i HE(3.2.30)Поскольку с помощью эффективной дюрации можно оценивать колебание цен вусловиях параллельного смещения кривой доходности государственных ценных бумаг инеизменности других факторов риска, то еѐ можно рассматривать как меру чувствительностицены ипотечной облигации к параллельному сдвигу кривой доходности. То есть в случае сэффективной дюрацией ошибка прогнозирования будет связана с иным фактором риска, атакже с влиянием второго порядка.

Характеристики

Список файлов диссертации