Диссертация (1150980), страница 38

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 38)

Для определения чувствительности цены ипотечнойоблигации к любому другому фактору риска k необходимо рассчитывать частичную дюрацию.Если P(  k ) выражает цену ипотечной облигации при изменении фактора риска k на  k иотсутствии изменений любых других факторов риска, то:Dk P(   k )  P(  k ) 100,Pk 2(3.2.31)где D k – это дюрация для фактора k.204О шуме подробнее см.: Лупырь А.

А. Влияние случайных ошибок на скорость досрочного погашения ипотечныхкредитов // Предпринимательство и реформы в России: материалы весенней конференции «Инновации всовременной экономике». 24 апреля 2009 г. СПб.: ОЦЭиМ, 2009. С. 27–28.135В соответствии с равенствами 3.2.30, 3.2.31 частичную дюрацию к k можно записать какDk  1 2P1 P, а частичную выпуклость к k как C k . Согласно этим допущениям,P k 2P kуравнение 3.2.30 принимает следующий вид:P N 1IS2    Dk  k i  C k  k i  .iP2 i HEi 1 (3.2.32)Если учитывать только риск изменения эталонной ставки, волатильность, спред текущейставки процента и спред с учѐтом опциона, а также элиминировать величины более высокогопорядка, за исключением выпуклости кривой доходности государственных ценных бумаг, тоуравнение 3.2.32 можно записать как:P1  Ds  s  Dv  v  Dc  c   Dr  ri   C r (  ri ) 2 ,iiP2(3.2.33)где s – спред с учѐтом опциона; v – волатильность; с – спред текущей ставки процента; ri –ключевые точки кривой доходности государственных ценных бумаг.Представим эффективную дюрацию и выпуклость символами Dr и Cr соответственно принекоторой r.

Пренебрегая величинами более высокого порядка, Dr   Dr и C r   C r .iiТаким образом, уравнение 3.2.33 записываем как:P1  Ds  s  Dv  v  Dc  c  Dr  r  C r  r 2   Dr (  ri   r ),iP2(3.2.34)где элиминируем член (  ri2   r 2 ). Заметим, что (  ri   r )  ( ri  r ) необходим для оценкиизменения формы кривой доходности государственных ценных бумаг.Если эффективная дюрация равна, к примеру, 4,5, то считается, что при сниженииставок, например, на 100 б.п. цена ипотечной облигации повысится приблизительно на 4,5%.Движение цены для других сдвигов определяют путѐм линейной интерполяции.

Так, еслиставки возрастают на 20 б.п., то цена ипотечной облигации понижается приблизительно на0,2  4,5%  0,90% 205. Стандартный расчѐт эффективной дюрации производится следующимобразом: 1) для данной Р рассчитывается спред с учѐтом опциона; 2) кривая доходностисдвигается параллельно вверх наrи ипотечная облигация переоценивается попервоначальному спреду с учѐтом опциона (цена Р+); 3) кривая доходности сдвигаетсяпараллельно вниз на  r и ипотечная облигация переоценивается по первоначальному спреду сучѐтом опциона (цена Р–). Таким образом, формула эффективной дюрации записывается как:D EF 205(P   P  ) 100.Pr2(3.2.35)Ценные бумаги, обеспеченные ипотекой и активами / Под ред. Л.

Хейра. Пер. с англ. М.: Альпина Бизнес Букс,2007. С. 356.136Однако следует помнить, что уровень колебания рыночных цен ипотечных облигацийдовольно часто не соответствует прогнозам, сделанным на основе OAS. Обусловливается этотем, что при определении эффективной дюрации используется большой ряд допущений,основными из которых являются: параллельность сдвига кривой доходности государственныхценных бумаг, постоянство спреда с учѐтом опциона при изменении процентных ставок,элиминирование выпуклости цен ипотечных облигаций, симметричность изменения ценыипотечной облигации, константность волатильности при движении процентных ставок,неизменность текущих спредов ипотечных процентных ставок к процентным ставкам погосударственным ценным бумагам.Поскольку мера эффективной дюрации всѐ же имеет широкое применение для анализадвижения цен ипотечных ценных бумаг, мы считаем целесообразным использовать отклонениефактического изменения цены от изменения, спрогнозированного на основе эффективнойдюрации.

Если выразить параллельный сдвиг кривой доходности государственных ценныхбумагипостоянстводругихфактороврискакак ri   r,  s  0,  c  0,  v  0иэлиминировать величины более высокого порядка, то уравнение 3.2.34 принимает вид:P1  Dr  r  C r  r 2 .P2(3.2.36)Допустим  r  0. Тогда, если ставки снижаются на  r , то уравнение 3.2.36 можнозаписать как:P  P1  Dr  r  C r  r 2 .P2(3.2.37)Если ставки поднимаются на  r , то уравнение 3.2.36 преобразуется в:P  P1 Dr  r  C r  r 2 .P2(3.2.38)Разность между уравнением 3.2.38 и уравнением 3.2.37 равна:P  P 2 Dr  r.P(3.2.39)Тогда эффективную дюрацию можно представить как: P  P   1 1 P P   2 r   Dr   P  r .(3.2.40)Таким образом, для  r прогнозируемое процентное изменение цены на основеэффективной дюрации составит: Pˆ  D EF  r  Dr  r.P(3.2.41)137Отклонение фактического изменения цены от изменения, спрогнозированного на основеэффективной дюрации, приблизительно оценивается посредством вычитания равенства 3.2.34из равенства 3.2.41: P  Pˆ1  Ds  s  Dv  v  Dc  c  C r  r 2   Dr (  ri   r ).iPP2(3.2.42)При эффективной дюрации вклад каждого фактора риска в отклонение цены ипотечнойоблигации равен изменению этого фактора, умноженному на частичную дюрацию для этогофактора.

Что касается эмпирической дюрации, предполагается, что прошлые взаимосвязимежду изменением доходности и изменением факторов риска ипотечной облигациисохраняются и в будущем. Иными словами, при данном изменении доходности факторы рискаизменяются на величину, определяемую прошлыми взаимосвязями (прошлое – это периодвремени, за который рассчитывается эмпирическая дюрация). Таким образом, ошибкипрогнозирования будут связаны с отклонением изменения факторов риска от величины,спрогнозированной на основе прошлых данных. Кроме того, ошибки могут возникатьвследствие изменения дюрации на протяжении выбранного периода времени и шума 206.Определение эмпирических дюраций обычно осуществляется с использованиемлинейной регрессионной модели по формуле:Yt     X t   t ,где Yt (3.2.43) P Pt  Pt 1, или пропорциональное изменение цены, или дневное изменениеPPt 1доходности; X t   rt  rt  rt 1 .Минимизация по наименьшим квадратам даѐт формулу оценки наклона:ˆ  Y XtX2t1 Yt  X tN,12  X t Nt(3.2.44)где N – число наблюдений.

После этого ˆ принимается за эмпирическую дюрацию.Следует обратить внимание, что выражения 3.2.28207 и 3.2.43 демонстрируютконстантность  и  . В противоположность такому подходу приведѐм уравнение 3.2.34.Исходя из этого уравнения и элиминируя величины более высокого порядка, следует:P 1  Ds  s  Dv  v  Dc  c  C r  r 2   Dr (  ri   r )  Dr  r.iP2206207Там же. С. 366.Возвращаясь к равенству 3.2.28, мы возвращаемся к оценкеи.(3.2.45)138Пусть  t является значением члена в квадратных скобках для дня t, а  t  Dr .Следовательно:Yt   t   t X t   t ,(3.2.46)где  t представляет иное влияние на  P / P , чем то, которое показано в равенстве 3.2.45.Если Y t из выражения 3.2.46 подставить в равенство 3.2.44, то числитель принимает вид:Y Xtt1NY  Xtt  ( t   t  rt   t )  rt 1   t  rt    t (  rt )    t  rt N21N (1  t   rt  Nt  t  rt   t )  r t 1  t  rt  N   r .t(3.2.47)tПусть  выражает текущее значение  t , т.е.

 1 / P  P /  r , а  t   t   . Допустим,что  t является шумом. Далее предположим, что  t и  rt имеют очень низкую корреляцию.Если определитьКовариантность выборки  cov( A, B) Дисперсия выборки  var( A) 1 1( Ai Bi ) NN1 12AiN N A  B  ,i A   ,2ii(3.2.48)(3.2.49)тогда:ˆ     cov( ,  r ) NO,var(  r )(3.2.50)где  – среднее значение  t за выбранный период, или средняя разность между текущейэффективной дюрацией и дюрациями за период выборки; NO – шум, или  t .Из уравнения 3.2.4512(3.2.51)cov(U ,V )  UV U ,var(V )V(3.2.52) t   Ds  st  Dv  vt  Dc  ct  Cr (  rt ) 2   .Теперь для любых переменных U и Vгде  UV – корреляция между U и V;  U – стандартное отклонение U;  V – стандартноеотклонение V.Результат равенства 3.2.52 позволяет выразить уравнение 3.2.50 как:ˆ      Ds   s  rгде   k  r является корреляциями выборки. s v Dv   v  r   NO, r r(3.2.53)139Таким образом, если мы имеем набор факторов риска (согласно равенству 3.2.33)208, то:ˆ      Ds  Corr(  s,  r ) Vol (  s )Vol (  v ) Dv  Corr(  v,  r ) ,Vol (  r )Vol (  r )(3.2.54)где ˆ – оценка эмпирической дюрации;  – текущая эффективная дюрация; Corr(  k ,  r ) –корреляция между изменением фактора риска k и изменением r в течение выбранного периода;Vol (U ) – стандартное отклонение дневного изменения переменной U в течение выбранногопериода.Согласно мнению некоторых учѐных, наибольшую практическую значимость как факторриска представляет спред с учѐтом опциона209.

Если пренебречь другими факторами риска,шумом и принять, что на протяжении выбранного периода времени дюрация довольностабильна, то:ˆ    Ds  Corr(  s,  r ) Vol (  s ).Vol (  r )(3.2.55)Для того чтобы найти эквивалент эмпирической дюрации, скорректированной наколебание дюрации в выбранный период времени, необходимо объединить значениеэмпирической дюрации со значением эффективной дюрации. Если эффективную дюрациюскорректировать на корреляцию между изменением уровня доходности и изменением факторовриска в соответствии с текущей рыночной информацией, то:AD EM  D EM      Ds  Corr(  s,  r ) Vol (  s )Vol (  v ) Dv  Corr(  v,  r ) , (3.2.56)Vol (  r )Vol (  r )где AD EM – уточнѐнная эмпирическая дюрация; D EM – эмпирическая дюрация.Как правило, значение уточнѐнной эмпирической дюрации очень близко к значениюэмпирической дюрации.

Отклонение составляет текущая рыночная информация, котораяприводит к устареванию эмпирической дюрации. Когда процентные ставки на ипотечныеоблигации падают, значение уточнѐнной эмпирической дюрации снижается быстрее, чемзначение эмпирической дюрации. Если ставки растут, значение уточнѐнной эмпирическойдюрации повышается быстрее.Таким образом, на основании проведѐнного в гл. 3 исследования можно заключить, чтостатистическоемоделированиедосрочныхвозвратовначинаетсясустановлениястатистических отношений между факторами, оказывающими влияние на темпы досрочного208В целях упрощения можно считать, что существует одна волатильность и только те факторы риска, которые мыучитываем, хотя позволительно включить в систему столько волатильностей и факторов риска, скольконеобходимо.209См., напр.: Дэвидсон Э., Сандерс Э.

Секьюритизация ипотеки: мировой опыт, структурирование и анализ / Пер.с англ. М.: Вершина, 2007. С. 283–305; Bykhovsky M., Hayre L. Fact and Fantasy about Collateral Speeds // The Journalof Portfolio Management. 1992. Summer. Vol. 18. No. 4. pp. 63–66.140погашения.

Для учѐта и анализа были предложены четыре основных фактора досрочногопогашения ипотечных кредитов: оборот недвижимости, рефинансирование кредитов, дефолты,частичное досрочное погашение или полная выплата. Каждый из факторов представляет собоймодуль влияния, состоящий из совокупности подмодулей.

Характеристики

Список файлов диссертации