Диссертация (1150980), страница 34

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 34)

Этот показатель (single monthly mortality, SMM)определяется как доля месячных досрочных возвратов в процентах от ожидаемого остатказадолженности в данном месяце (согласно исходному графику):SMM  100 ( Ati - Bti ),Atiгде Ati – ожидаемый остаток задолженности в месяц t.(3.1.15)117Для того чтобы привести показатель SMM к годовому значению, необходимо найтигодовой условный коэффициент досрочных возвратов (conditional prepayment rate, CPR).

CPR –это отношение суммы досрочно погашенного в течение года основного долга к остаткузадолженности по кредиту:12 SMM  CPR  100  1  1  .100   (3.1.16)С помощью уравнений 3.1.12–3.1.16 показано, как можно рассчитать долю досрочныхвозвратов при погашении ипотечного кредита. Само же решение о досрочном погашенииможно формализовать посредством уравнений 3.1.17.1, 3.1.17.2:pti*   0i  x t 1i   ti ,(3.1.17.1)гдеp ti  100еслиp ti*  100;p ti  p ti*если0  p ti*  100;p ti  0еслиp ti*  0.(3.1.17.2)Как и в уравнении 3.1.14, переменная pti представляет единицу измерения фактическихдосрочных возвратов. В целях упрощения мы принимаем, что если p ti*  100, то это полноедосрочное погашение; если p ti*  0, то досрочные возвраты не производятся.

Переменная p ti*выражает мысленно конструируемое желание досрочно погасить кредит. В противоположностьфактическим досрочным возвратам, конструкт является непрерывной переменной, котораяможет быть отрицательной или превышать 100%. Если конструкт имеет положительноезначение, но меньше 100%, то заѐмщик будет вносить досрочные платежи частично. Вуравнении 3.1.17.1 желание досрочно погасить кредит определяется системным фактором xt,представляющим рыночные условия.

Для упрощения мы принимаем xt за скалярныймножитель, посредством которого выражаем четыре основных фактора досрочного погашенияипотечных кредитов: оборот недвижимости, рефинансирование кредитов, дефолты, частичноедосрочное погашение или полная выплата. Факторы  1i и 0i характеризуют кредит.Предполагается, что заѐмщики с ограниченными возможностями взять кредит или обеспечитьего в среднем имеют небольшой положительный угловой коэффициент  1i , потому как онименее чувствительны к xt.

Множитель  ti обозначает случайную ошибку, которая принимаетвсе необъяснимые отклонения в решении досрочно погасить ипотечный кредит. Мыпредполагаем, что ошибка исходит из нормального распределения с нулевым значением иотклонением  2 . Уравнения 3.1.17.1, 3.1.17.2 составляют двупредельную цензурированную118регрессионную модель. В противоположность обычной регрессионной модели, вклад месячныхдосрочных возвратов в двупредельной модели детерминируется использованием какдискретных, так и континуальных переменных.

Вероятности трѐх различных исходовдосрочного погашения определяются как:Р (заѐмщик досрочно и полностью погашает кредит в месяц t) = 1  (uti ),Р (заѐмщик вносит частичные досрочные платежи в месяц t) = (uti )  ( ti ),(3.1.18)Р (заѐмщик не производит досрочных платежей в месяц t) = 1  (ti ),где ti  (  0i  x t 1i ) /  и uti  (100 /  )  ti .Функция ( ) является стандартным нормальным интегральным распределениеммежду  и  . Все три вероятности в сумме составляют единицу.Вцензурированнойрегрессионноймоделивероятностьдосрочногопогашенияопределяется характеристиками заѐмщика, а также условиями процентной ставки. Однакоцензурированное содержание индивидуальных досрочных возвратов усложняет структуруслучайной ошибки.

Мы можем показать это как:( ti )   (ti )   (uti )  h (  0i ,  1i , x t )   h (ti ),(uti )  (ti )(3.1.19.1) ( uti )22Var ( ti )   2 1  h (ti ) 2  100    (  0i ,  1i , x t )    (ti ). (3.1.19.2)u()()titi Ошибка в модели досрочного погашения ипотечных кредитов имеет ненулевое значениеи еѐ колебание носит гетероскедастический характер ( Var ( ti ) есть функция от xt). Не сложнопонять, почему эти необычные характеристики индивидуальных досрочных возвратов оченьважны. Поскольку функция, выражающая решение заѐмщика досрочно погасить кредит, имеетгетероскедастическое свойство, постольку это свойство может быть переложено на функцию,определяющую досрочные возвраты по переводным ипотечным ценным бумагам.В начале жизни (t = 0) ипотечный пул состоит из n0 ипотечных кредитов сфиксированной ставкой и имеет срок погашение T.

После того как переводные ипотечныеценные бумаги выпущены, количество ипотечных кредитов в пуле может снизиться (например,nt   nt  n0 ). Общий размер пула в начальном периоде есть B0. Каждый ипотечный кредитдобавляет в пул B0i, так что B0   B0i . В начале жизни пула средневзвешенная ипотечнаяпроцентная ставка (weighted-average coupon, WAC)191 составляет r   0i ri , а средняя191WAC представляет собой взвешенный по текущим остаткам ипотечных кредитов валовой процентный платѐж,выплачиваемый заѐмщиками.119срочность кредитов (weighted-average maturity, WAM)192 есть T месяцев.

Скалярный фактор  0iпредставляет соответствующий вес каждого кредита в t = 0, или ti  Bti / Bt . В своейотправной точке поток платежей по ценным бумагам составляет денежные средства, исходящиеот n0 ипотечных кредитов. К концу – поток платежей определяется досрочными возвратами впуле. Чтобы сформировать модель, мы допустим, что индивидуальные досрочные возвратывыражаются уравнениями 3.1.17.1, 3.1.17.2.

Досрочное погашение кредитов в пуле в любоммесяце – это сумма всех индивидуальных досрочных возвратов. Агрегированная величинадосрочных возвратов в пуле алгебраически может быть определена как:Pt   0t  1t x t   t ,(3.1.20)так что Pt   ti p ti* ,  kt   ti  ik (k = 0,1) и  t   ti  ti .Следует заметить, что факторы 0t и  1t являются временными вариациями,означающими, что наклон и пересечение функции досрочного погашения со временемменяются. Поскольку заѐмщики не заменяются, когда они за счѐт досрочного погашениявыходят из пула, состав пула претерпевает изменения. В нашей простой модели, где величинадосрочных возвратов определяется общим фактором xt, наклон функции досрочного погашениябудет небольшим, если существует незначительное влияние факторов досрочного погашения.

Вэтом диапазоне мы можем наблюдать малые досрочные возвраты, исходящие из нестандартныхслучаев. Наклон функции возрастает по мере того, как увеличивается влияние факторов.Например, большой положительный спред между средневзвешенной процентной ставкой пулаи текущими рыночными ставками запускает быстрое и резкое рефинансирование ипотечныхкредитов, так как заѐмщики с большей склонностью досрочно погашать (с высокимположительным значением  1i ) в таком случае находятся в выигрыше. В конечном итогенаклон функции досрочного погашения уменьшается, причѐм это может происходить и с оченьвысокими значениями спреда.

Такой вариант возможен потому, что пул выгорает. Это означает,что в пуле преимущественно остаются такие заѐмщики, которые не способны рефинансироватькредиты при любой процентной ставке (заѐмщики с низким бета-коэффициентом). Посколькуиндивидуальные досрочные возвраты имеют гетероскедастическое свойство и ненулевоезначение, то досрочные возвраты будут иметь аналогичную структуру.

В уравнениях 3.1.21,3.1.22 это показано.t 192nti 1tih(ti ),(3.1.21)Средневзвешенный срок, оставшийся в соответствии с условиями договоров до полного погашения кредитов,составляющих покрытие. Веса определяются на основе текущего остатка задолженности по основному долгу покаждому кредиту.120ntVar ( t )   2  ti (ti ).(3.1.22)i 1Структура ошибки досрочных возвратов также является гетероскедастической в томсмысле, что вариация зависит от xt.

Уравнения 3.1.21, 3.1.22 могут быть упрощены путѐмлинеаризации функций h * (ti , ti )  ti h(ti ) и  * (ti , ti )  ti (ti ). Используя правилоТейлора о многомерном приближении, мы можем модифицировать эти функции в:( t )   [ 0  1 x1   2 x t2     k x tk ]   h( x t ),(3.1.23)Var ( t )   2 [ 0   t x t   2 x t2     k x tk ]   2 ( x t ),(3.1.24)где k представляет многочленный порядок разложения в ряд Тейлора.Таким образом, аддитивная форма гетероскедастичности, которая зависит от скалярноговнешнего фактора, может приближать структуру ошибки функции досрочного погашения xt.Уравнение3.1.24открываетинтереснуюнаходку.Вариацияошибкиприпрогнозировании досрочного погашения также зависит от xt.

Под этим отношениемпредполагается, что статистический вывод при большом влиянии факторов досрочногопогашения тем неопределѐннее, чем шире доверительный интервал для прогноза досрочныхвозвратов. Мы можем использовать аппроксимацию Тейлора тем же образом, чтобыопределить теоретическую структуру функции досрочного погашения. Агрегированнаявеличина досрочных возвратов в пуле может быть выражена как:( t )  [ 0  1 x t   2 x t2     k x tk ].(3.1.25)Таким образом, агрегированная функция досрочного погашения является нелинейной.Но что более важно, эта нелинейная функция может быть легко приближена с помощьюмногочленной регрессионной модели, если считать, что xt полностью известен.

Наширассуждения можно обобщить в том случае, где решение заѐмщика о досрочном погашенииипотечного кредита находится под влиянием нескольких переменных, представленныхвекторным рядом x t   (1, x t1 , x t 2 ,, x tp ). В этом многофакторном случае мы можем показать,что ошибки при прогнозировании досрочного погашения будут иметь гетероскедастическоесвойство, хотя функциональная форма аддитивной гетероскедастичности более сложна.

Характеристики

Список файлов диссертации