Диссертация (1150887), страница 16

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 16)

Основное внимание былоуделено изучению выхода черенковского излучения в однородно заполненную область (такназываемому черенковско-переходному излучению (ЧПИ)), причем в таком случае, когда каналв двухслойной области и однородная область являются вакуумными.Проведено асимптотическое исследование «свободного» поля и получены аналитическиевыражения для компонент поля ЧПИ, которое является основной частью поля излучения ввакуумнойобласти.Вчастности,показано,чтоЧПИсостоитизнабораволн,распространяющихся на черенковских частотах, а граница области существования каждоймоды движется с групповой скоростью. Представлены выражения для усредненной мощностиизлучения ЧПИ. Результаты численного решения задачи показывают, что выбором размераканала и других параметров задачи можно достичь генерации как одночастотного и108одномодового излучения, так и мультичастного и мультимодового излучения в вакуумнойобласти волновода.Решение задачи для точечного источника было обобщено на случай пучка частиц спренебрежимо малым поперечным размером и гауссовым продольным профилем.

Для такихпучков было проведено сравнение результатов, полученных на основе аналитического решениязадачи, с результатами прямого численного моделирования, выполненного в пакете CST ParticleStudio. Проведенное сравнение демонстрирует высокую точность разработанного намиалгоритма расчета.Проведена также оценка влияния малой диссипации в диэлектрическом слое нахарактерную длину моды ЧПИ. В частности, было показано, что для таких материалов, какискусственный алмаз или фторопласт (ПТФЭ), которые часто применяются на практике,характерная длина волнового пакета моды ЧПИ, как правило, намного превышает длину волны.109Глава 3. Излучение заряда, движущегося из однороднозаполненной области волновода в двухслойную область3.1 Вывод основной системы уравненийВ данной главе будет рассматриваться задача, сходная с задачей предыдущей главы, ноотличающаяся направлением движения заряда: теперь заряд влетает в двухслойную частьволновода (рисунок 3.1).

Как и ранее, используется цилиндрическая система координат, ось zкоторой совмещена с осью волновода, а поперечная граница расположена при z  0 . Областьz  0 однородно заполнена диэлектриком с характеристиками 1 , 1 . Область z  0 являетсядвухслойной с характеристиками  2 , 2 при 0  r  b,2   c d при b  r  a c при 0  r  b. d при b  r  a2  Как и в предыдущей главе, считаем, что все среды заполнения являются однородными,изотропными и недиспергирующими.

Считаем также, что среды, вообще говоря, могутобладать диссипацией, т.е. Im 1,c,d   0 при   0 . Вдоль оси волновода с постояннойскоростью v  c e z ( c – скорость света в вакууме) движется точечный заряд. Объемнаяплотность заряда и объемная плотность тока имеют вид  q q  r  z  vt  , j  v  q  e z .2 r(3.1.1)Как и ранее, будем интересоваться случаем, когда скорость заряда больше фазовой скоростиволн в веществе цилиндрического слоя, но меньше фазовой скорости в веществе канала и воднородной области, т.е.

выполнены условия: nd   1 , nc   1 и n1  1 , где ni   i i i  1, c, d  .В такой ситуации излучение Вавилова-Черенкова присутствует только вдвухслойной области волновода.Уравнение для электромагнитного поля имеет вид110 n 2  2 E i  4   q  4 v   q    ez , E i  i2 2c2ztc tcc(3.1.2)где  – оператор Лапласа, i  1 для области z  0 , i  2 для области z  0 . Его необходимодополнить соответствующими граничными условиями, подобными (2.1.3) – (2.1.5):E 1z 0 E 2z 0E 1, 2E 1 r b 0,  E 1 r b 0, ,z 0z 0,r aH1z 0 H 2z 0,0,(3.1.3)(3.1.4)H  1 r b 0,  H  1 r b 0, ,z 0(3.1.5)z 0где  – тангенциальные относительно соответствующей границы компоненты поля.Рис. 3.1. Вылет заряда из однородно заполненной области волноводаКак и ранее, представим электромагнитное поле в каждой из областей в виде суммы«вынужденного» поля (обозначается индексом q ) и «свободного» поля (обозначается индексомb ):   q    b     b    q E1  E1  E1 , H 1  H 1  H 1 .(3.1.6)Напомним, что «вынужденное» поле есть поле источника, движущегося в бесконечномрегулярном волноводе со свойствами области z  0 или z  0 , а «свободное» поле описываетвлияние поперечной границы волновода.111Выражения для Фурье-образа компонент «вынужденного» поля известны [14, 67], онисодержат только ТМ поляризацию и аналогичны формулам (2.1.7) – (2.1.11):qE1z  q2v 21qE1rn12  21 1H 0  s1a  i z  1 H 0  s1r  J 0  s1r   exp ,J 0  s1a v 1H 0  s1a iqs1  1 i z  H1  s1r  J1  s1r   exp ,2v1 J 0  s1a v (3.1.7)(3.1.8)qqH1  1E1r(3.1.9)в однородно заполненной области z  0 и nc2  2  1qK 0  kr      I 0  kr  при r  b,c i z   q  iq(3.1.10)E2 z  2 exp 1 v   nd2  2  1 i  q   1vH 0  sa J 0  sr   при b  r  a,  H 0  sr   J 0  sa 2dkq  K1  kr    I1  kr  при r  b,q i z   cqexp E2 r 1H 0  sa v v   i s  q   1H1  sr  J1  sr   при b  r  a, 2 dJ 0  sa (3.1.11)qqH 2   2 E2 r(3.1.12)в двухслойной области z  0 .Здесь k v1  nc2  2 Re  k   0  , s  v q nd2  2  1  Im  s   0  , s1 v c sK1  kb  1  s    d kK 0  kb  0  s , c sI1  kb  1  s    d kI 0  kb  0  s J 0  sa 2 k. q   d bs  c sI1  kb  1  s    d kI 0  kb  0  s n12  2  1  Im  s1   0  ,(3.1.13)112  E, H Поскольку полное электромагнитное поледолжно удовлетворять условиюнепрерывности (3.1.3), а «вынужденное» поле не содержит ТЕ поляризацию, то неизвестное«свободное» поле также обладает только ТМ поляризацией.

Представим «свободное» поле ввиде разложения по собственным функциям каждой из областей волновода.Фурье-образ «свободного» поля в области z  0 представляется в виде разложения пофункциям Бесселя первого рода:icbE1z 1Bn 2 2 n1 a n1bE1r   n2 J 0 nr1 exp ihn z ,a(3.1.14)111B     hn n J1 n  exp  ihn  z ,2  n an ac1n1r(3.1.15)1  1 rb1H1 Bn  n J1 n  exp ihn  z ,1a n1 a21где n – корень уравнения J 0  x   0 , hn   k12  n2a(3.1.16)Im  h    0 при    , k  n1n11c.Фурье-образ «свободного» поля в области z  0 представляется набором собственныхмод, определенных формулами (1.1.35) – (1.1.38):bE2 z ic Fn  r,  Fn  r,   2 exp ihn z ,rr Bn 2     2 n1cbE2 r  Bn 2    hn 2  Fn  r,  exp ihn 2  z ,(3.1.17) 2 n1b22H 2   Bn    Fn  r,  exp ihn  z .n1Здесь(3.1.18)(3.1.19)222Fn  r,  задаются выражением (1.1.30), hn   kc2   cn k d2   dn, где корень 2фиксируется требованием: Im hn   0 при    .

Отметим, что знаки в аргументах функций1131exp ihn  z2и exp ihn  zопределены из требования затухания амплитуды моды с ростомрасстояния от границы.1,2Неизвестные коэффициенты разложения Bn    определим с помощью условийнепрерывности (3.1.3), которые можно записать в видеH    H   q1b1z 0qb H 2  H 2z 0qb, E1r  E1rz 0qb E2 r  E2 rz 0. (3.1.20)Подставляя выражения для компонент поля (3.1.9), (3.1.12), (3.1.16), (3.1.19) и (3.1.8), (3.1.11),(3.1.15), (3.1.18), получаем1 H s riqs1  1r H1  s1r   0 1 J1  s1r     Bn1   n J1 n   n12c 1a  a J 0  s1r  k K  kr     q  I  kr  при r  b11q 1q Bn 2   Fn  r, , c  i s  H 1  sr   H 0  sa  J  sr   при r  b n11 1J 0  sa  2(3.1.21)1H 0  s1a iqs1  1c  1 r1 H1  s1r  J1  s1r    2  Bn    hn n J1 n    n1 a n1J 0  s1a 2v1  akq(3.1.22)  K1  kr    I1  kr  при r  bcq c22Bn    hn  Fn  r, .1q H  sa  v  i 2 n11s  H1  sr   0J1  sr   при r  b 2 d J 0  sa В дальнейшем основной интерес будет представлять анализ электромагнитного поля вдвухслойной области волновода.

Поэтому перейдем от системы уравнений (3.1.21), (3.1.22) к12системе уравнений на коэффициенты Bn    , исключив из нее коэффициенты Bn    . С этойцелью умножим (3.1.21) и (3.1.22) на собственную функцию однородно заполненной областиJ1 m r a  и проведем интегрирование по радиальной переменной от 0 до a с весовойфункцией r . После применения условия ортогональности функций Бесселя (1.2.13), получаем114 a 1iqs12V1  m Bm    J12 m     cV2   dV3   Bn     N1  N 2  ,2c2 1n1(3.1.23)1cam hm  1iqs1c   2N 2 N2V1 BJVVBn   hn   1  2  .mm1232 n12v12 n1 c d (3.1.24)Здесь введены следующие обозначения1aH s ar1V1    H1  s1r   0 1 J1  s1r   J1 m  rdr,  aJ 0  s1a 0V2  qk v cb  K1  kr   0 q  I kr J  r  rdr,1  1 m  a1q a H 0  sa iqs    1r J1 m  rdr,V3  HsrJsr11  aJ 0  sa 2v d b (3.1.25)(3.1.26)(3.1.27)brN1   Fn  r,  J1 m  rdr, a0(3.1.28)a rN 2   Fn  r,  J1 m  rdr. ab(3.1.29)Из (3.1.23) – (3.1.24) получаем уравнение, связывающее между собой коэффициентыразложения «свободного» поля в разных областях волноводаBm    1 iqs1 2VVV1c 2d 3  Bn    N1  N 2 2maJ1 m   2cn12 1(3.1.30)2и бесконечную систему линейных алгебраических уравнений на коэффициенты Bn  Amn Bn 2     U m , m  1,2 ,n1где элементы матрицы системы A и вектор правой части имеют вид(3.1.31)115 1  2  1 2 Amn  N1  hm   1 hn    N 2  hm   1 hn   ,cdUm (3.1.32)  1 v   iqs1 1 v  1 v V1 1  hm    1 V2 1  c hm    1 V3 1  d hm   . c c2vc  1 1(3.1.33)Отметим, что интегралы (3.1.25) – (3.1.29) могут быть вычислены аналитически [84].После громоздких преобразований получаемAmn ab2 2a cn m22 2a dn m2 b bm J 0 m a  J1  cnb  Q1mn  a cn J 0  cnb  J1 m a  Q2 mn  ,(3.1.34)Um  q am vc s12 a 2  m2  c 1 v q a1mq a1k1 v 1  hm  1  hm     vc c k 2 a 2  m2  1   vc k 2 a 2  m2(3.1.35) b bsaJ1 m  1  s  Q3m  m J 0 m  0  s  Q4 m a a,2 22s a  m  c sI1  kb  1  s    d kI 0  kb  0  s  1Bm  2Bn  ab bm J 0 m  J1  cnb  Q5 2222222 amaJ1 m   n1  cn a  m  dn a  m 2 1q 2ma 3  n12  nc2 qka ba cn J1 m  J 0  cnb  Q6 mn   (3.1.36) a  c3  s12 a 2  m2  k 2 a 2  m2   c  s2 a 2  m2  k 2 a 2  m2 bb c asJ1 m  1  s  Q7 m   dm J 0 m  0  s  Q5 a a c sI1  kb  1  s    d kI 0  kb  0  s .Здесь введены коэффициенты Q1  Q7 , определенные следующим образом: 2 2  2 2  1 1  2  2 2  1Q1mn   dna  hm  hn    cna  hm  1 hn    m2 hn  1  1  ccdc  d,2 2  1 1  2  2 2 dQ2 mn   dna  hm  hn    cnacc, 1 1  2   2 1   d hm  hn   m hm 1 d c116   1 v 1 v 1 v Q3m  k 2 a 2 1  d hm    s2 a 2 1  c hm    m2 d hm   1  c1  d 1 1,     1 v1 v  Q4 m  k 2 a 2 1  d hm    d s2 a 2 1  c hm    m2 1  d  ,  c 1 1 c Q5  2a 2c2 nd2  nc2  ,2 2Q6 mn   dna Q7 m  s2 a 2 d 2 2 2  d cn a  m  1 c cd 2 2 2  dk a  m  1 c c,.Таким образом, задача была сведена к решению системы уравнений (3.1.31) длякоэффициентов разложения «свободного» поля в двухслойной области волновода.3.2 Случай вакуумного канала и вакуумной левой областиволноводаРассмотрим случай, когда область волновода при z  0 и канал являются вакуумными, т.е. c  1  1 , c  1  1 .

Характеристики

Список файлов диссертации