Диссертация (1150887), страница 13

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 13)

Как известно, малое затухание возможно только в области нормальнойsgn  d  d    sgn( ) . Как видно, мыдисперсии диэлектрической проницаемости, гдедействительно получаем, что sgn  Im( ( )   sgn( ) , если   0 . Аналогичное рассуждениесправедливо и для магнитной проницаемости.Пустьрассматриваемыеособыеточкивотсутствиедиссипацииуравнениемопределяются F ( )  0 , и это уравнение имеет некоторое вещественное решение   0 . Длятого, чтобы выяснить, в какую сторону сместится данная точка относительно вещественной осипри учете слабой диссипации, достаточно сделать указанную замену частоты, то естьрассмотреть уравнение F (  i )  0 .

Его решением будет   0  i    i 0 . Таким образом,особые точки, вещественные при отсутствии диссипации, всегда располагаются нижевещественной оси, если учесть хотя бы бесконечно малое затухание. Иными словами, контуринтегрирования обходит эти точки "сверху".2Таким образом получаем, что при учёте бесконечной малой диссипации сред Bn   1содержит 2 точки ветвления n   i 0 , соответствующие точкам ветвления функции hn    ,2и 2 точки ветвления n   n c a  i 0 , соответствующие точкам ветвления функции hn    .Для наших целей удобно провести разрезы по линиям, соединяющим особые точки, то есть  12фактически по линиям, где Re hn   0 и Re hn   0 .

Такие разрезы не нарушают требований86  12Im hn   0 , Im hn   0 , так как эти требования относятся только к вещественной оси, ауказанные разрезы располагаются ниже нее.На рисунке 2.2 показаны исходный контур интегрирования, седловые точки, точкиветвления и полюсы, а также проведенные разрезы.Для упрощения последующих расчетов удобно ликвидировать две из четырех точекветвления с помощью перехода от переменной  к новой переменной  по следующемуправилу (аналогичная замена делалась в других задачах, например, в статьях [19, 34, 69, 89]):  n ch    ,(2.2.18)где n  n c a .

Такого рода замена позволяет избавиться от разреза, проведенного междуточками n , а разрез, проведенный между точками ветвления n  , перейдет в разрез междуточками  n 1  и  n 2  (см. рисунок 2.3).Рис. 2.2. Расположение исходного контура интегрирования  на комплексной плоскости  ; n 1,2 – седловые точки; n , n  – точки ветвления; 1,2,3,4– полюса; I, II, III, IV –sномера квадрантов.ch87После перехода к новой переменной интегрирования выражение (2.2.9) принимает видbE2 rn  r2f  sh   J1 n   Bn     e n  d .ch   a a 2nn(2.2.19)гдеf n     itn ch     iznsh    .c(2.2.20)На комплексной плоскости    '  i  '' в области  ''   0,   имеются две седловые точки,которые соответствуют точкам (2.2.12): ct  ,  2  1  i .R1  arch (2.2.21)Поскольку на комплексной плоскости  имеются две седловые точки, то КНС будет состоятьиз двух ветвей, проходящих через 1 и  2 соответственно.Рассмотрим ветвь КНС, проходящую через седловую точку 1 .

Из вида 1 вытекает, чтоверны следующие выражения: t  c 1Rch  1  , z  Rsh  1  . Подставляя их в (2.2.20), получаемfn     in Rch    1  .c(2.2.22)Как известно, в методе перевала КНС определяется уравнением Im  f n      Im  f n  1   инеравенством Re  f n      Re  f n  1   . Использование данных условий приводит к следующейсистеме:    ch  '   cos  ''  1,1sh  '  1 sin  ''  0.(2.2.23)Ее решением является выражение для ветви КНС, проходящей через седловую точку 1 :. ch  '   1  ''   sgn  '  1 arccos 1(2.2.24)88Аналогичным образом может быть получена вторая ветвь КНС, проходящая через седловуюточку  2 :1    sgn   1 arccos  ch  '  1'''.(2.2.25)На рисунке 2.3 представлен исходный контур интегрирования  , седловые точки 1 и  2 ,2 ch  ch полюса функции Bn     , обозначенные 1,2,3,4и соответствующие точкам 1,2,3,4, а также двеветви КНС  КНС .

Отметим, что переход от контура  к контуру  КНС возможен, так как в IIIи IV областях комплексной плоскости  выполнено условие Re  f n      0 при    , тоесть подынтегральная функция экспоненциально стремится к нулю при    в данныхобластях.Как видно из рисунка 2.3, при трансформации исходного контура к КНС возможнопересечение полюсов подынтегрального выражения (2.2.9), которые совпадают с полюсамиch2функции Bn    и, как было показано ранее, расположены в точках k   k  1, 2... .  не пересекаются при трансформации контура, полюса 1,4–Например, полюса  2,3chchпересекаются. Вследствие этого вклад полюса с номером k имеет место при выполненииусловияchn s   k  .(2.2.26)Рассмотрим условие (2.2.26).

Как видно из выражения для групповой скорости (2.2.11),grvn    возрастает с ростом  . Следовательно, при выполнении условия (2.2.26) верно то, chgrsgrчто vn  n   vn  k  . С учетом уравнения (2.2.10) получаемchgrz  vn  k  t.(2.2.27)Таким образом, мы приходим к важному выводу: граница области существования вкладаchполюса k  движется с групповой скоростью рассматриваемой моды «свободного» поля.892Подчеркнем, что вклад полюсов функции Bn    определяет черенковско-переходноеизлучение.Рис.

2.3. Расположение исходного контура интегрирования  и контура наибыстрейшегоспуска  КНС на комплексной плоскости  ; 1,2 – седловые точки;   n  – точки ch – полюса; I, II, III, IV – номера областей, соответствующих квадрантам наветвления; 1,2,3,4плоскости частоты (рис. 2.2).Обратимся к расчету поля черенковско-переходного излучения, которое представляетсобой часть поля излучения в вакуумной области, обладающую дискретным спектром (начастотах черенковского излучения в двухслойной области). Вернемся для удобства кисходному интегралу по частоте (2.2.9) и рассмотрим, например, радиальную составляющую«свободного» поля в вакуумной области:bE2 r  2c r  Bn    2 2hn   exp i t  ihn  z d. r , z , t     n J 1  n a  n1 a (2.2.28)ch2Определим с помощью теоремы о вычетах вклады полюсов m  функции Bn    , которыевозникают вследствие их пересечения контуром интегрирования при его трансформации в90КНС.

При этом будем учитывать только те полюса, которые дают вещественные значения hn(2) ,то есть определяют распространяющиеся моды. Именно такие моды образуют черенковско CTR переходное излучение (ЧПИ). Выражение для радиальной компоненты этого поля E2 r, сучетом области существования каждого вклада (2.2.27), имеет вид CTR E2 r    Res  B       c  m rgrch 2 i  n J1 n   vn  m  t  za m n1aN m ch 2chhn  m 2nchm(2.2.29)chch2 exp im t  ihn  m  z ,гдеRes m ch  B     2ch– вычет функции Bn    в точке m  .

Здесь функция   x  есть2nфункция Хевисайда:  x  1приx0,  x  0приx0,Nm– количествоchраспространяющихся мод, генерируемых в вакуумной области на частоте m  . В выражении(2.2.29)первоесуммированиепроводитсяповсемчеренковскимчастотам,второесуммирование – по распространяющимся модам «свободного» поля.Поскольку поле E2 r  (2.2.28) является вещественной величиной, то для его Фурье-образаbbbbE2 r выполнено соотношение E2 r   E 2r   (черта означает комплексное сопряжение). В таком случае в формуле (2.2.29) можно провести суммирование вкладов симметричныхchchполюсов m  и m  : ch 4 c   exp im tIm  am ch m1 m12grchch vn  m  t  z exp ihn  m  z  . CTR E2 r CTR E2 rm22chBn    hn  m   n J1 n a   ResNmrchmn1(2.2.30)      Аналогичным образом могут быть получены оставшиеся компоненты поля:  exp i  ch tm  E2 zm  2 Re  E2 zam ch m1 m12chgrch exp ihn  m  z  vn  m  t  z  , CTR  CTR 4 c      2Bn    n2 J 0 n a   Res Nmn1rchm(2.2.31)91 4chH 2Im   exp im t  H 2 m am1 m12chgrch exp ihn  m  z  vn  m  t  z  . CTR  CTR   J Nmn1      n 1nr2Bn     Rescha   m (2.2.32)Как следует из выражений (2.2.30) – (2.2.32), поле ЧПИ представляет набор волн начеренковских частотах.Проведем оценку области применимости полученных результатов.

Для простотырассмотримпредельныйслучайравномерногозаполненияобластиz0средойсхарактеристиками  d , d . В таком случае из системы (2.1.34) можно найти явный вид длякоэффициентов разложения «свободного» поля в вакуумной области волновода:2Bn    2q vcJ12 n n2 1   d   a 2 2 1   2   d   d nd2  21v 2  a 2 hn  nd2  1 vn2  s 2 a 2 n2  k 2 a 2  d hn 2   hn1.(2.2.33)2Как следует из выражения (2.2.33), масштаб существенного изменения функции Bn   определяется условием s   a  m или же, с учетом вида функции s   ,    m v a .Нетрудно показать, что масштаб изменения функции exp  f n    в интеграле (2.2.9)определяется следующим образомf de n   df e n grz  vn    tgrvn   ,(2.2.34)grгде групповая скорость vn    задается выражением (2.2.11).Для применения метода перевала необходимо, чтобы осциллирующая функция меняласьгораздо быстрее, чем другой множитель в подынтегральном выражении.

Поэтому областьприменимости метода перевала определяется следующим неравенством:gravn   gr z  vn   t .n v(2.2.35)92Отметим, что неравенство (2.2.35) автоматически обеспечивает удаленность седловых точек отполюсов.При таком условии в "нулевом приближении" вкладом седловых точек можнопренебречь, ограничившись вкладом полюсов, полученных из-за их пересечения притрансформации контура. Таким приближением мы и воспользовались выше (оно аналогичногеометрооптическому приближению при рассмотрении падения волны на тело с резкимиграницами).

Данное приближение определяет черенковско-переходное излучение, котороепредставляет собой поле, состоящее из черенковских мод, выходящих в вакуумную область.В первом приближении следовало бы учесть вклад седловых точек в первом порядке помалому параметру. Однако из-за того, что подынтегральная функция является решениемсложнойбесконечнойсистемыуравнений,соответствующееисследованиечрезмерногромоздко, и мы не будем здесь его проводить.

Характеристики

Список файлов диссертации