Диссертация (1150887), страница 8

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 8)

Подчеркнем, что мы неисключаем из рассмотрения тот случай, когда падающая волна – местная, то есть онаэкспоненциально убывает с ростом z . Обычно такая ситуация не рассматривается вволноводных задачах. Однако для нас она важна в виду вопросов, которые будутрассматриваться в двух следующих главах.Рассмотрим четыре первых слагаемых в формуле (1.4.4) сначала в случае, когдападающая мода является распространяющейся. Используя выражения для компонент поля(1.2.2) – (1.2.3) и (1.2.5) – (1.2.6), нетрудно показать, что верно следующее равенство:i  r r  i  r   r  chi  i i rEr H   Er H i  Eri H   Eri H i J12 i  1  Ri c aii 2ich  2  r  J1 i  Im  R i e2ih z  . c a 2(1.4.5)Второе слагаемое в формуле (1.4.5) является мнимой величиной и, как следует из (1.4.2), невносит вклад в усредненную плотность потока энергии. Подставляя выражения (1.2.5) и (1.2.6)для компонент отраженного поля в (1.4.4) и пользуясь ортогональностью мод, получаем z 0ic 2 h  a 21  Ri8 c2J12c2a 2i  8 cNr hn r  Rnn1n i2J12 n .(1.4.6)Здесь N r – число распространяющихся мод в отраженном поле.

Как видно из (1.4.6), в случае,когда падающая мода является распространяющейся, поток энергии в левой области волноводаразделяется на поток энергии падающей моды и поток энергии распространяющихсяотраженных мод:ir z 0  z   z  ,(1.4.7)44гдеic 2 h  a 2 2iz  J1 i  ,8 cNrrrz    zn ,n1rc 2 hn a 22r zn  Rn J12 n  .8 c(1.4.8)Пусть теперь падающая мода является эванесцентной. Согласно правилу фиксации iiiIm h   0 , продольное волновое число падающей моды имеет вид h   i h  .

Используявыражения для компонент падающего (1.2.2) – (1.2.3) и отраженного поля (1.2.5) – (1.2.6),нетрудно показать, что первые четыре слагаемые в выражении (1.4.4) приобретают следующийвид:ic  i  2 i r r  i r riiEr H   Er H i  Eri H   Eri H i h J1 i c2c ci hi i r   2 h z2 2h z eReia  (1.4.9) rJ12 i  Im  Ri  . aКак видно, первое слагаемое в (1.4.9) является величиной мнимой и, согласно (1.4.2), не вноситвклад в усредненную плотность потока энергии. Таким образом, учитывая результат (1.4.9),последнее слагаемое в (1.4.4) и свойство ортогональности мод, получаем z 0c2a 2 i c2a 22h Im  Ri  J1 i  4 c8 cNr hn r  Rn2n1niJ12 n ,(1.4.10)где N r – количество распространяющихся мод в отраженном поле. Таким образом, полныйпоток энергии, вообще говоря, не является суммой потоков энергии отдельных мод, еслирассматривается эванесцентная падающая мода.

Первое слагаемое в (1.4.10) показывает, чтовзаимодействие падающей эванесцентной моды и отраженной эванесцентной моды с тем женомером i в случае, когда Im  Ri   0 приводит к возникновению положительного потокаэнергии (то есть направленного в сторону границы раздела). Второе слагаемое в (1.4.10)совпадаетсrz (1.4.8)иописываетусредненныйпотокэнергии,переносимыйраспространяющимися модами отраженного поля.Аналогичным образом легко рассмотреть поток энергии z  в области z  0 . Для него,tвследствие отсутствия "встречных" эванесцентных мод в этой области, результат оказывается45вполнетрадиционным:потокэнергииразбиваетсянапотокиэнергииотдельныхраспространяющихся мод, а местные моды вклада не вносят.

Формула для потока имеет видNtttz    zn ,n1 c2 ht tn zn  Re T 8 n22a d  Fn  r,  002 c2 ht 2ndr  Tn Gn   , 4r(1.4.11)где N t – количество распространяющихся мод проходящего поля, Gn   определяетсяформулами (1.1.33) и (1.1.34).Аналогичное рассмотрение можно провести для случая падения моды со стороныдвухслойной области волновода.

Тогда для распространяющейся падающей моды получаемразделение полного потока  z 0 на потоки энергии, переносимые падающей модой ираспространяющимися модами отраженного поля:ir z 0  z   z  ,Nrric 2 hn   2c 2 h irrrz Gi   ,  z    zn ,  zn  R n Gn   .44n1(1.4.12)В случае же, когда падающее поле представляется эванесцентной модой, получаем z 0Nc2 i c2 r  r  n 2.h Gi   Im R i hn Gn   R24 n1 (1.4.13)niКак и в задаче о падении моды со стороны однородной области волновода, взаимодействиепадающей местной моды и отраженной местной моды с тем же номером приводит к i  0возникновению направленного к границе (положительного) потока энергии, если Im R(первое слагаемое в выражении (1.4.13)).

Второе слагаемое описывает поток энергии вдвухслойной области волновода, переносимый распространяющимися модами отраженногополя. Представим также выражение для потока энергии в области z  0 , который складываетсяиз потоков энергии отдельных распространяющихся мод:46Nttc 2 a 2 hn   2 2ttt z    zn ,  zn T n J1 n  .8 cn1(1.4.14)Напомним, что N r и N t обозначают количество распространяющихся мод в отраженном ипроходящем поле соответственно.Проделанный в этом разделе анализ показывает, в частности, что, хотя отдельнаяместная мода и не переносит энергию, однако при наличии двух встречных местных мод(падающей и отраженной) с одним номером поток энергии имеет место. Поэтому, сэнергетическойточкиэванесцентнаязрения,падающаямодаможетпорождатьраспространяющиеся моды в отраженном и проходящем полях.1.5 Алгоритм расчета и численные результаты1.5.1 Алгоритм расчета коэффициентов отражения и прохожденияАнализ трансформации мод в случае произвольного радиуса канала проводился с помощьюалгоритма численного решения системы уравнений видаTn A mn  R n   Ym , m  1, 2..., n 1(1.5.1)где матрица A и вектор Y определены выражениями (1.2.20), (1.2.16) для случая падения модысо стороны однородно заполненной области и выражениями (1.3.14), (1.3.15) для случаяпадения моды со стороны двухслойной области волновода.

Исходные системы вида (1.5.1)состоят из бесконечного числа уравнений, однако для численных расчетов необходимоиспользовать некоторый конечный набор уравнений. Такое усечение системы уравненийозначает, что в отраженном и проходящем полях принимается во внимание конечное числомод.Оптимальное число мод N определяется методом последовательных приближений. Вкачестве минимально допустимого числа мод N выбирается максимальная величина изследующих: номер падающей моды, количество распространяющихся мод в отраженном поле,количество распространяющихся мод в проходящем поле. Далее производится решение47 n , в зависимостисистемы (1.5.1) и таким образом определяется набор коэффициентов Tn или Rот рассматриваемой задачи n  1, 2...N  .Затем, в одной задаче с помощью соотношения(1.2.21) находятся коэффициенты Rn , а в другой задаче с помощью соотношения (1.3.12)находятся коэффициенты T n n  1, 2...N  .На каждом шаге метода последовательныхприближений в систему уравнений добавляется по одной эванесцентной моде отраженного ипроходящего полей, т.е.

система содержит N  1 уравнений.Далее определяются энергетические характеристики мод отраженного и проходящегополей. После вычисления потока энергии каждой распространяющейся моды находитсявеличина  r ,t           r ,tznmaxNr ,tznmaxr ,tznmaxN 1,Nимеющая смысл относительной разности потоков энергии на данном и предыдущем шагеметода последовательных приближений. Здесь nmax – номер моды, которая вносит наибольшийвклад в поток энергии (т.е. nmax соответствует номеру моды с максимальным значениемr ,tzn  ), N и N  1 обозначают данный и предыдущий шаг соответственно. Затем из найденных  r  и   t  определяется максимальная величина  и вышеописанная процедура (добавлениеr ,tмоды, решение системы и определение величин    ) повторяется до тех пор, пока величина не будет меньше заданного значения  max (для расчетов используется  max  103 ).Выбор в качестве критерия для метода последовательных приближений относительногоизменения энергетических характеристик отраженных и проходящих мод обусловлен тем, чтонаибольший интерес представляют именно распространяющиеся моды, в то время какэванесцентные моды быстро затухают с ростом расстояния от границы z  0 .Описанный алгоритм определения амплитуд мод отраженного и проходящего полейреализован в программном пакете Matlab.48Для анализа эффекта трансформации TM 0i моды на поперечной границе далее будутиспользоваться коэффициенты отражения Rzn и прохождения Tzn , определенные следующимобразом: Er Rzn   z n , E i  0z z r 0 E t  Tzn   z n . E i  0z z (1.5.2)r 0Подставляя в выражение (1.5.2) вид отраженных (1.2.4), (1.3.4) и проходящих полей (1.2.7),(1.3.7), получаем связь этих коэффициентов с Rn , Tn , R n , Tn : n Rn iRzn   n  cnR  ci  cn aTn i, Tzn  ,T n n  ci a(1.5.3)где верхняя строка соответствует случаю падения моды со стороны однородно заполненнойобласти волновода, нижняя строка – случаю падения моды со стороны двухслойной области.Отметим, что хотя наличие эванесцентных мод в отраженном и проходящем поляхнеобходимо для удовлетворения граничным условиям (1.2.10), наибольший интерес длядальнейшего анализа представляют распространяющиеся моды и их поведение.1.5.2 Результаты расчетов для случая падения со стороны однороднойобластиНа рисунке 1.4 представлена зависимость абсолютных значений коэффициентов Rzn и Tzn отрадиуса канала при взаимодействии моды частоты     2   30 ГГц, падающей со стороныоднородно заполненной области, с поперечной границей в волноводе с характеристикамиa  1см ,  d  5.7 ,  c  1 , c  d  1 .

Выбранное значение диэлектрической проницаемостисоответствует искусственному алмазу, применяемому в практических задачах [85, 86].Различные цвета обозначают отраженные и проходящие моды с различными номерами,сплошныелиниисоответствуютраспространяющимсямодам,пунктирныелинии–эванесцентным.

Характеристики

Список файлов диссертации