Диссертация (1150887), страница 11

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 11)

Решениестроилось методом сшивания, в основе которого лежит представление отраженного ипроходящего поля в виде набора собственных мод.Преждевсего,былопроведеноисследованиесобственныхмодбесконечногорегулярного двухслойного волновода. Показано, что соответствующая граничная задачаявляется самосопряженной. Представлены выражения для компонент поля моды.Далее рассматривались две указанные задачи о падении моды на поперечную границу. Вобоих случаях получены бесконечные системы уравнений на амплитуды возбуждаемыхволноводных мод. Найдены их приближенные аналитические решения в случае тонкогодиэлектрического слоя. Показано, что трансформация падающей моды является эффектомпервого порядка малости по отношению к толщине слоя.Для анализа трансформации мод при произвольной толщине слоя был разработанчисленный алгоритм определения с заданной точностью коэффициентов отражения ипрохождения мод, а также их потоков энергии.

Алгоритм реализован в пакете Matlab. Показано,в частности, что генерация распространяющихся мод в отраженном и проходящем полевозможна даже при взаимодействии эванесцентной моды с границей раздела. В случае падениямоды со стороны однородно заполненной области проходящее поле содержит, главнымобразом, только одну распространяющую моду, номер которой зависит от радиуса канала.

Вслучае падения моды со стороны двухслойной области возможна ситуация, похожая на эффектполного внутреннего отражения, когда коэффициент отражения падающей моды близок кединице, и ее поток энергии на порядок превосходит поток энергии всех проходящих мод.Было проведено тестирование разработанного алгоритма путем сравнения S-параметров,найденных с его помощью, и S-параметров, определенных путем численного моделирования впакете Comsol Multiphysics. Продемонстрирована высокая точность результатов, получаемыхна основе аналитического решения задачи.71Глава 2.

Излучение заряда, движущегося из двухслойнойобласти волновода в однородно заполненную область2.1 Вывод основной системы уравненийРассмотрим электромагнитное поле точечного заряда, движущегося вдоль оси круглоговолновода, содержащего поперечную границу. Область волновода z  0 является двухслойнойс диэлектрической и магнитной проницаемостями  c , c соответственно при 0  r  b и  d , dпри b  r  a .

Область z  0 заполнена средой с проницаемостями  2 , 2 (рисунок 2.1.).Считаем, что все среды являются однородными, изотропными и не обладают дисперсией (вотличие от предыдущей главы, частотная дисперсия здесь не учитывается, равно как ипространственная). Будем полагать, чтоRe   c,d ,2   0иRe  c,d ,2   0 , то есть мырассматриваем только обычные ("правые") среды, исключая из рассмотрения так называемые"левые" среды. Вообще говоря, среды могут обладать малой диссипацией, т.е. Im   c,d ,2   0при   0 .

Однако мы будем учитывать диссипацию только для установления положенияособенностей подынтегральных выражений на комплексной плоскости, а при проведенииконечных расчетов будем считать ее пренебрежимо малой.Источником поля является точечный заряд, который движется с постоянной скоростьюv  c ( c – скорость света в вакууме) и пересекает поперечную границу волновода z  0 внулевой момент времени t  0 . Его объемные плотности заряда и тока соответственно равны q q  r   z  vt  ,2 r qj  e z v   .(2.1.1)Мы будем рассматривать случай, когда выполнены условия nd   1 , nc   1 , n2   1 nc,d ,2  c,d ,2 c,d ,2 .

При этом излучение Вавилова-Черенкова генерируется в области z  0 ине генерируется в области z  0 .72Использование уравнений Максвелла (1.1.1) и материальных соотношений (1.1.5)позволяет получить следующие уравнения для электромагнитного поля в каждой из областейволновода: n 2  2 E i  4   q  4 v   q   i ez ,Ei  2 2c2t c tc  c z(2.1.2)где  – оператор Лапласа; i  1 в двухслойной области z  0 ; i  2 в однородной области z  0 .Здесь введены обозначенияni2   i i , при 0  r  b,1   c d при b  r  a c при 0  r  b. d при b  r  a1  Рис. 2.1. Вылет заряда из двухслойной области волноводаОдновременно с выполнением уравнений (2.1.2) необходимо удовлетворить граничнымусловиямE 1z 0 E 2z 0,E 1, 2E 1 r  b  0  E 1 r  b  0 ,z 0z 0H 1r az 0 H 2z 0,0,(2.1.4)H  1 r b0  H  1 r b 0 ,z 0(2.1.3)z 0где  обозначает тангенциальные составляющие поля к соответствующей границе.(2.1.5)73Представим электромагнитное поле в каждой из областей волновода в виде суммы«вынужденного» поля (с индексом q ) и «свободного» поля (с индексом b ):  q    b E1,2  E1,2  E1,2 ,  q    b H 1,2  H 1,2  H 1,2 .(2.1.6)«Вынужденное» поле представляет собой частное решение неоднородных уравнений (2.1.2) сиспользованием граничных условий на продольных границах (2.1.4), (2.1.5).

Оно описываетэлектромагнитное поле источника, движущегося внутри бесконечного регулярного волновода схарактеристиками либо области z  0 , либо области z  0 . «Свободное» поле являетсярешением уравнений (2.1.2) с нулевой правой частью и удовлетворяет граничным условиям напродольных границах (2.1.4), (2.1.5), а также условию экспоненциального убывания с ростомрасстояния от поперечной границы при учете диссипации в среде.

Сумма «вынужденного» и«свободного» поля должна удовлетворять условию непрерывности тангенциальных компонентполя на поперечной границе (2.1.3).«Вынужденное» поле точечного источника, движущегося в цилиндрическом волноводе сканалом и в однородно заполненном волноводе, хорошо известно [14, 67]. Оно содержит толькоqqqTM (поперечно-магнитную) поляризацию с ненулевыми компонентами E z  , Er  , H  (другиекомпоненты равны нулю).

Представим здесь Фурье-образы компонент «вынужденного» поля(вид преобразования Фурье определен правилом (1.1.3)): nc2  2  1qK 0  kr      I 0  kr  при r  bciq i z  q,E1z  2 exp 1H 0   sa  v   nd2  2  1 i  q   1v  H 0  sr  J 0  sr   при b  r  a 2J 0  sa dkq  K1  kr    I1  kr  при r  b,q i z   cqexp E1r 1H 0   sa v v   i s  q   1H1  sr  J1  sr   при b  r  a, 2 dJ 0  sa qE2 z  q2v 2 2n22  21 1H 0   s2 a  i z  1  H 0  s2 r  J 0  s2 r   exp ,J 0  s2 a v (2.1.7)(2.1.8)(2.1.9)74qE2r1H 0   s2 a iqs2  1 i z  H1  s2 r  J1  s2 r   exp ,2v 2 J 0  s2 a v (2.1.10)qqH1,2  1,2 E1,2 r ,(2.1.11)1где J 0,1  x  - функции Бесселя первого рода, H 0,1 x  - функции Ханкеля первого рода, I 0,1  x  -модифицированные функции Бесселя первого рода, K 0,1  x  - модифицированные функцииБесселяs2 v q второгоkрода,1  nc2  2v Re  k   0  ,svnd2  2  1  Im  s   0  ,n22  2  1  Im  s2   0  , c sK1  kb  1  s    d kK 0  kb  0  s   q J 0  sa 2 k,   d.

(2.1.12) c sI1  kb  1  s    d kI 0  kb  0  s  bs  c sI1  kb  1  s    d kI 0  kb  0  s «Свободное» поле является неизвестным. Нетрудно видеть, что в рассматриваемойаксиально симметричной ситуации задача разделяется на две независимые задачи для TM- иTE-поляризаций. В силу отсутствия у падающего поля ТЕ-поляризации «свободное» поле этойполяризации также не возбуждается. Поэтому «свободное» поле, как и «вынужденное»,обладает только TM поляризацией.Поскольку «свободное» поле является решением однородного уравнения (2.1.2), топредставим его в левой и правой областях волновода в виде разложения по собственнымфункциям двухслойного волновода и волновода с однородным заполнением соответственно.Используя (1.1.36) – (1.1.38), для Фурье-образов «свободного» поля в области z  0 получаемследующие выражения:icbE1z  Fn  r ,   Fn  r ,   1 exp ihn z ,rr1 n1b Bn1   E1r  c Bn1  hn1 Fn  r ,   exp  ihn1 z  ,1 n1b11H1   Bn    Fn  r ,   exp ihn  z .n 1(2.1.13)(2.1.14)(2.1.15)75Фурье-образы «свободного» поля в областиz  0 , в соответствии с вышесказанным,представляются в виде разложения по функциям Бесселя первого рода:bE2 z bE2 r 22B   n2 J 0 n  exp  ihn  z  ,2 2  nn a a(2.1.16)(2.1.17)ic2n 1c2Bn 2 n2 a n1r  hn 2n J1 nr 2 exp ihn z ,a22Bn   n J1  n  exp  ihn  z  , a a1bH 2 2r(2.1.18)n 1где n – ноль функции Бесселя J 0  x  , функции Fn  r ,   определены выражением (1.1.25),1,2Bn    – неизвестные коэффициенты разложения.

Продольные волновые числа имеютследующий вид:22hn   kc2   cn kd2   dn,122hn   k22  n2 ,a Im hn   0,1(2.1.19) 2Im hn   0,1где kc,d ,2   nc,d ,2 c . Знаки в аргументах функций exp ihn  z(2.1.20)в (2.1.13) – (2.1.15) и2exp ihn  z в (2.1.16) – (2.1.18) выбраны из требования затухания волн с ростом расстояния отграницы.Сами компоненты поля определятся при вычислении обратных интегралов Фурье:EE e it d  ,ДляопределениякоэффициентовH H eitd .(2.1.21)разложения«свободного»поля1,2Bn   воспользуемся свойством непрерывности тангенциальных компонент полного поля на границеz  0:76H   H  q1b1z 0qb H 2   H 2 z 0, E   E  q1rb1rz 0qb E2 r  E2 rz 0.(2.1.22)Подставляя в условия непрерывности (2.1.22) соответствующие выражения для компонент«вынужденного» и «свободного» поля получаемk K  kr     q  I  kr  при r  b11q 11Bn    Fn  r ,   q i    1Hsac s  H1  sr   0J1  sr   при r  b n1J 0  sa  21 1 H 0   s2 a iqs2  1 r2H1  s2 r  J1  s2 r   Bn   n J1 n , 2 a n1J 0  s2 a 2c  a(2.1.23)kq  K1  kr    I1  kr  при r  bq  cc  11Bn   hn  Fn  r ,    q 1H  sa  v  i1 n11s  H1   sr   0J1  sr   при r  b(2.1.24) 2 d J 0  sa 1H 0   s2 a iqs2  1c  2 r2 H1  s2 r  J1  s2 r    2  Bn    hn n J1 n .  n2 a n1J 0  s2 a 2v 2  aОтметим, что наибольший интерес представляет рассмотрение эффекта выходаизлучения Вавилова-Черенкова из двухслойной области волновода в однородно заполненнуюобласть.

В связи с этим запишем систему на коэффициенты мод «свободного» поля в областиz  0 . Для этого умножим равенства (2.1.23) и (2.1.24) на собственную функцию двухслойноговолновода Fm  r ,   (1.1.30) и проинтегрируем по радиусу канала от 0 до a с весовойфункцией r 1 . Воспользовавшись свойством ортогональности собственных мод двухслойноговолновода (1.1.32), получаемiqs1   21  V1  V2   Bm    Gm    2 V3  V4   B  n U1  U 2  ,2 a n1 n2cV1  V2 (2.1.25)iqs2c   2112Bm    hm Gm   VVBn   hn n   cU1   d U 2  . (2.1.26) c 3 d 422v 2 n2 a n1c77Здесьиспользуютсяследующиеобозначения(горизонтальнаячертаозначаеткомплексное сопряжение):b r rU1   F m  r ,   J1 n  dr , a  c0(2.1.27)a r rU 2   F m  r ,   J1 n  dr , a  dbb(2.1.28)qkrqV1  F m  r ,   K1  kr      I1  kr dr ,v 0c(2.1.29)1q a 1 rH 0   sa iqs   dr ,FrHsrJsr, 1  m1  dJ 0  sa 2v b(2.1.30)V2  1 1 rH 0   s2 a V3   F m  r ,   H1  s2 r  J1  s2 r   dr , cJsa0 20(2.1.31)1 1 rH 0   s2 a V4   F m  r ,   H1  s2 r  J1  s2 r   dr. dJ 0  s2 a b(2.1.32)baКоэффициенты Gm   представляют собой квадрат нормы функции Fm  r ,   и определеныформулами (1.1.33) – (1.1.34).Из (2.1.25) следует выражение, связывающее между собой коэффициенты возбуждениямод «свободного» поля в различных областях волновода:Bm    1iqs2Bn   n U1  U 2  V1  V2   2 V3  V4 . aG2cG1Gm2nm(2.1.33)mПерейдем теперь от двойной системы уравнений (2.1.25) – (2.1.26) к бесконечной системе2уравнений на коэффициенты Bn    , подставляя (2.1.33) в (2.1.26): M mn Bn 2    Ym1  Ym 2 , m  1, 2n 1(2.1.34)78 и вектор Y представимы в видегде элементы матрицы системы MM mn  1  d  2   n   1  c  2  U1   hm  hn   U 2   hm  hn   ,2 a  22Ym   1(2.1.35)1 v  V  V ,1  hmc  1 2(2.1.36)iq s2    c21 v   V   d  h1 v   .Ym   V3   hm2vc    2  4   2 m  Интегралы(2.1.27)–(2.1.32)являютсятабличными[84].(2.1.37)Послегромоздкихпреобразований получаются следующие выражения:M mnbbJ  cmb Q1mn  a cm J1 n  J 0  cmb Q2 mn J nba n 0  n a  1 a,22 c cm a 2   2  2 a 2   22Ym  q cm12 vc c k 2   cm2Ym   2 vc 2  cm  s22ndmn1 v  ,1  hm q cm(2.1.38)(2.1.39)  2 1 v q s2b11  hm  2222  2vc 2 J 0  s2 a   cm c s2  dm  s2 ,(2.1.40)  cm J 0  cmb  0  s2  Q3m  s2  2  c J1  cmb  1  s2  Q4m Bm    111q cm k22  kc2qs2b222 c cGm  cm  s2  cm  k 2 2 c cGm J 0  s2 a   cm  s2  2  s2222dm  s2 1  s2  J1  cmb222 s22  c s22    cm 0  s2  J 0  cmb   dm  cm    dm2   c  cm2Bn d nba 2 +2 22 22 cGm n1  cma  n2  dma  n2d bn J 0 n a  J1  cmb  22 2 2  2  b2   dm c  cm  n2  c n2    cmaJ1 n  J 0  cmb  dm  cmd d a  aa,(2.1.41)79где2  1Q2 mn   dm hm 1  d  2   n2 1   chn   2 hm 1  hm 2 a d,(2.1.42) c  2   2  1  d  2   n2  c  2    d  hn    cm  hm h h 1   ,2 2 n  a2  2 n   c (2.1.43)2 c2  1  c  2  Q1mn   dm hm  hn    cm2d 2 1 v  2  d2 Q3m   dm1  hm   cmc c  2 1 v  2   dhm1   s 1   2  c d1 v    2   c   c h1 v   s 2  1   c2  cQ4 m   dmcm   hmm  2  d 2 2 d,(2.1.44) 1 v. hm(2.1.45)Таким образом, решение задачи об электромагнитном поле точечного заряда,движущегося из двухслойной области волновода в однородно заполненную область, сводится крешению системы алгебраических уравнений (2.1.34).2.2 Случай вакуумного канала и вакуумной правой областиволноводаОбратимся теперь к анализу наиболее важного случая, когда правая область волновода z  0 иканал z  0 , r  b являются вакуумными 2   c  1, 2  c  1и рассмотрим эффектпроникновения излучения Вавилова-Черенкова из двухслойной области волновода ввакуумную (так называемое черенковско-переходное излучение (ЧПИ)).

Характеристики

Список файлов диссертации