Диссертация (1150887), страница 15

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 15)

Учитывая вид объемной плотностизаряда (2.1.1) и (2.5.1), получаем для параметра    следующее выражение:  2 2 .    exp  2  2v (2.5.3)12Элементы вектора Ym  и Ym  системы уравнений (2.1.34) также приобретают вид   Ym1 и    Ym 2  . Из этого следует, что коэффициенты мод «свободного» поля гауссоваg 2пучка Bn     будут связаны с коэффициентами мод для точечного заряда аналогичнымобразом:g 22Bn         Bn    .

Тогда из (2.2.30) – (2.2.32) получаем следующиевыражения для поля ЧПИ в случае движения гауссова пучка частиц пренебрежимо малой"толщины":102 ch 2  2  N m14 c   rchch2E2 rIm  m  exp  im t  m 2  n J1 n  Res Bn     m1a a   m ch 2v n1chchgrch22hn  m  exp ihn  m  z  vn  m  t  z  ,(2.5.4) ch 2  2  N m1chchm n2 J 0 n r  Res Bn 2    E2 zexp  im t  2 Re   m2 n1 a   m ch a2v m1chgrch2 exp ihn  m  z  vn  m  t  z  ,(2.5.5)  ch 2  2  N m4 rch2H 2Im   exp  im t  m 2  n J1 n  Res Bn     m1 n1a a   m ch 2vchgrch2 exp ihn  m  z  vn  m  t  z  .(2.5.6) CTR   4 c CTR           CTR       Проведенное обобщение для случая движения гауссовых пучков частиц позволяет сравнитьрезультаты нашего алгоритма, основанного на аналитическом рассмотрении задачи, срезультатами численного моделирования, проведенными в пакете CST Particle Studio.На рисунке 2.7 представлено сравнение продольной компоненты поля ЧПИ,вычисленной на основе выражения (2.5.4), и продольной компоненты полного поля, найденнойс помощью моделирования в программе CST.

Рассматривается следующая волноведущаяструктура: a  1 см, b  0.5 см,  c   2  1 ,  d  3 , c  d  2  1 . Вдоль оси волновода спостоянной скоростью v  0.85c движется гауссов пучок частиц с зарядом q  1 нКл и длиной  0.6 см. При решении системы (2.4.5) в «свободном» поле принимались во внимание тримоды. В рассматриваемом случае большая часть поля ЧПИ возбуждается на первой ch черенковской частоте 1 CTR  CTR  1.46  104  .

На даннойmax E2rm 11.9 ГГц  max E2 rmm1m 2частоте в области z  0 «свободное» поле обладает одной распространяющейся модой. Дляпроведения численного моделирования в пакете CST Particle Studio использовалась модель,описывающая приграничный к границе раздела участок с длиной двуслойной области 200 см идлиной вакуумной области 35 см. Верхняя граница рассчитываемого диапазона частот(  14.5 ГГц) определяется спектром рассматриваемого пучка. На этой частоте он уменьшаетсяв 10 раз по сравнению с максимумом (в нуле). Плотность расчётной сетки (используемой103применяемым методом конечных элементов) была определена исходя из стабильностиполучаемого решения при её вариации, для конечных расчётов она равнялась 60 делениям наминимальную длину волны.Нарисунке2.10пикрадиальнойкомпонентыполногополясоответствуетквазикулоновскому полю движущегося пучка.

За ним происходит некоторый переходнойпроцесс. После окончания переходного процесса полное поле практически совпадает с полемЧПИ.Отметим, что, согласно аналитически результатам, поле ЧПИ появляется в моментgrвремени t1  z v1   1.2 нс. Нетрудно видеть, что истинная амплитуда волны в этот моментравна половине от максимальной, а последняя практически полностью совпадает с нашимрасчетом. Этот факт математически объясняется тем, что в данный момент времени седловаяточка совпадает с полюсом. В такой точке асимптотика метода перевала дает половину отвклада полюса [87].В таблице 2.1.

представлены частота и амплитуда компоненты поля после завершенияпроцесса формирования ЧПИ. Приведены значения, найденные на основе моделирования впакете CST, и значения, полученные из нашего алгоритма. Сравнение проводится во временнойобласти от 3.5 до 5.5 нс с помощью аппроксимирования зависимости E2 rCST функцией видаA sin  t    , где A - амплитуда волны,  – ее частота.

Приведенное сравнение показываетвысокую точность результатов, основанных на аналитическом решении задачи.104Рис. 2.7. Временная зависимость радиальной компоненты полного поля E2 rCST (синяясплошная линия), полученной при моделировании в пакете CST, и радиальной компонентыполя ЧПИ E2 rCTR (красная линия), полученной на основе аналитических результатов.Координаты точки наблюдения: r  0.3 см, z  10 см. Параметры волновода и пучка:a  1 см, b  0.5 см,  c   2  1 ,  d  3 , c  d  2  1 , q  1 нКл,   0.6 см, v  0.85c ;количество существенных мод ЧПИ N  3 .Таблица 2.1. Сравнение основных параметров радиальной компоненты полного поля E2 rCST ,полученной с использованием системы CST, и радиальной компоненты поля ЧПИ E2 r,CTR полученной на основе аналитических результатов.Частота, ГГцполное поле E2 rCST 11.918Амплитуда, МВ/мполе ЧПИ E2 rCTR 11.920полное поле E2 rCST 0.0190поле ЧПИ E2 rCTR 0.01921052.6 Оценка влияния малой диссипации в диэлектрическом слоеРанее предполагалось, что диэлектрический слой не обладает диссипацией.

В таком случаеполе ЧПИ в вакуумной области волновода распространяется без затухания. Если же диссипацияв области z  0 присутствует, то поле излучения Вавилова-Черенкова в двухслойной областиволновода затухает со временем (при фиксированном z  0 ). Соответственно, поле ЧПИ такжезатухает с течением времени при фиксированном z  0 вследствие того, что до границы разделасо временем доходят волны все меньшей амплитуды.Проведем оценку влияния малой диссипации на характерную длину L , определяемуюкак расстояние, на котором амплитуда поля ЧПИ уменьшится в e раз. Будем считать, чтоd  1 ,  d   d'  i d'' , где  d''  0 при   0 и выполнено условие  d''   d' .

Поскольку теперь d является комплексной величиной, то черенковские частоты, на которых происходитгенерирование ЧПИ, также будут принимать комплексные значения. В связи с этим представимchchчеренковскую частоту как  m   m   i m , где m( ch) – черенковская частота в случае безchдиссипации. При малой диссипации выполнено неравенство  m  m  .Дисперсионное уравнение, определяющее черенковские частоты, согласно (2.2.1), имеетвидchFch m   i m ,  d'  i d''  0.(2.6.1)Учитывая малость  d'' и  m , можно представить уравнение (2.6.1) в видеFch m(ch ) ,  d'  i d''Fch d m  d'' 0 i mFch m  d'' 0 0.(2.6.2)Учитывая, что Fch m(ch) ,  d'  0 , получаем Fch  d . Fch    m  d'' 0 m   d'' (2.6.3)106CTRКак следует из (2.2.30), каждая мода E2 rm  поля ЧПИ затухает пропорционально   z  .

Соответственно, характерная длина L может представлена в2chexp    m t  Im hn   m   ch2виде L  Im hn   m 12. Используя вид функции hn    , получаем оценкуc2L  ch  mm ch 2c2mm2a2.(2.6.4)Наиболее простой вид оценка приобретает в случае отсутствия канала в левой областиволновода.

Тогда дисперсионное уравнение (2.2.1) имеет видv d  2 1 ma(2.6.5).chchНетрудно показать, что решением уравнения (2.6.5) является величина  m   m   i m соследующими вещественной и мнимой частями:m ch  m va  d'  2  1m  , d''  2m ch 2  d'  2  1.(2.6.6)Получаем, что в случае однородного заполнения области z  0 характерная длина L волновогопакета ЧПИ принимает видL '  2  14 d2a d'' m32 2   d'  2  1.(2.6.7)Отметим, что в случае, когда заряд пересекает поперечную границу в волноводе междудвумя однородно заполненными областями, ЧПИ имеет место в диапазоне скоростей d' 0.5    d'  10.5[34]. Приведем оценку характерной длины L для наиболее частоиспользуемых на практике материалов.

Например, в случае волновода радиуса 1 см сзаполнением из искусственного алмаза с вещественной частью проницаемости  d'  5.69 итангенсом угла потерь tg   d''  d'  22 105 [85] при скорости движения частицы v  0.45c ch характерная длина волнового пакета ЧПИ на первой черенковской частоте 1  13.2 ГГц107будет составлять L  216 см, в то время как длина данной волны составляет около 4.5 см. Еслиже рассматривать волновод радиуса 1 см, заполненный фторопластом (ПТФЭ) с параметрами d'  2.02 , tg  0.8 103 [90], то при скорости частицы v  0.9c характерная длина волнового ch пакета ЧПИ на первой черенковской частоте 1  12.9 ГГц будет составлять L  166 см придлине волны около 5 см.Таким образом, влияние диссипации в материалах, используемых на практике, обычноприводит лишь к незначительному затуханию ЧПИ: расстояние, на котором амплитуда убываетв e-раз, много больше длины волны.ВыводыВ данной главе было проведено аналитическое и численное исследование задачи обэлектромагнитном поле заряда, вылетающего из двухслойной области волновода в поперечнооднородную область.

Решение проводилось с помощью представления неизвестного«свободного» поля в виде разложения по собственным функциям соответствующей области.Задача была сведена к решению бесконечной системы линейных алгебраических уравнений споследующим расчетом вкладов полюсов в «свободном» поле. Анализировался случай, когдаскорость движения заряда и параметры волновода подобраны таким образом, что излучениеВавилова-Черенкова генерируется только в двухслойной области.

Характеристики

Список файлов диссертации