Диссертация (1150887), страница 17

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 17)

В таком случае существенно упрощается вид правой части системы(3.1.31):U m   гдеq ak vc k 2 a 2  m2 s2 a 2  m2 b bsaJ1 m  1  s  Q3m  m J 0 m  0  s  Q4 m a a,Fch  Fch    sI1  kb  1  s    d kI 0  kb  0  s  . Как известно, корни уравнения ch являются черенковскими частотами k(3.2.1)Fch    0 k  1,2 , то есть частотами излучения Вавилова-Черенкова, генерируемого в двухслойной области волновода. Как следует из выражения (3.2.1),элементы вектора U m   содержат особенности типа полюса, которые находятся на ch черенковских частотах k k  1,2 .117Покажем, что отсутствуют вещественные полюса функции U m   , определяемыеусловиямиk 2   a 2  m2  0,(3.2.2)s2   a 2  m2  0.(3.2.3)Равенство (3.2.2) не может быть выполнено на вещественной оси, так как величинаk 2 a 2  m2 является строго положительной в силу определения коэффициента, который навещественной оси равен k     1   2 v .

Нетрудно увидеть, что выполнение равенства(3.2.3) приводит к следующим тождествам:     b bQ3m  Q4 m ,  0   m    J1 m  N 0  m  ,  1   m   J 0 m  N 0  m  . a a a  a (3.2.4)Из (3.2.4) следует, что числитель в формуле (3.2.1) равен нулю.

Следовательно, полюса причастотах, удовлетворяющих условию (3.2.3), отсутствуют.Таким образом, в случае вакуумной области при z  0 и вакуумного канала при z  0правая часть системы (3.1.31) имеет полюса, совпадающие с черенковскими частотами.Отметим, что элементы матрицы A , согласно выражению (3.1.34), могут иметь полюсана частотах, при которых выполняются условия22 cn  a 2  m2  0,  dn  a 2  m2  0.(3.2.5)Как было показано в предыдущей главе, равенства (3.2.5) могут быть выполнены только впредельном случае однородно заполненной области при z  0 .

Тогда, как следует из выражениядля определителя матрицы (2.2.5), при наличии канала в двухслойной области волноводаопределитель матрицы A не имеет полюсов на черенковских частотах.2Исходя из вышесказанного, получаем, что функции Bn    могут обладать полюсамина черенковских частотах. Далее будет показано, что полюс присутствует только на однойчеренковской частоте.1183.2.1 Анализ функции Bn 2    ch Как было показано в предыдущей главе, на черенковских частотах kрешениедисперсионного уравнения имеет вид  ch  ck k ch i k21  ,v  ch  dk kchk vnd2  2 1, 2hk   ch kchk v.(3.2.6)Для удобства дальнейшего изложения представим функцию U m   в следующем виде:U m   Pm  ,Fch  (3.2.7)где Pm   , согласно (3.2.1), определяется выражениемPm   q ak2 2 vc k a m2 s a2 2 m2 b b saJ1 m a  1  s  Q3m  m J 0 m a  0  s  Q4 m  .(3.2.8) ch Отметим, что, в отличии от U m   , функция Pm   не имеет полюсов при   k k  1,2 .2Ранее было показано, что функция Bn    может имеет полюса на черенковскихчастотах.

Представим её в виде n2   B2,Bn   Fch  (3.2.9)2где все полюса функции Bn    соответствуют нулям знаменателя Fch   . После вычисления n2    можно определить вычеты функции B  2    на черенковской частотекоэффициентов Bnследующим образом: 2 n2    ch   dFch Resch Bn     Bk d  k1. k ch Подставляя (3.2.7) и (3.2.9) в исходную систему (3.1.31), получаем(3.2.10)119 2 Amn B nn1 Pm   .(3.2.11)Полученная система обладает важным преимуществом по сравнению с исходной системой n2  и P   регулярны на черенковских частотах.(3.1.31) – теперь функции BmРешение системы (3.2.11) будем проводить методов Крамера, согласно которому n2    n ,B(3.2.12) где   det A ,  n – определитель матрицы A , в которой столбец с номером n замещенвектором P . ch Рассмотрим столбец матрицы A с номером k на черенковской частоте k .

Для неговыполнены следующие равенства:ch chchQ1mk k   k Q4m k  ,d v  ch chchQ2mk k   k Q3m k  .v  (3.2.13)Подставляя (3.2.13) в выражения для элементов матрицы A (3.1.34), получаем    v k a ch Amk kd2 2 ch iabk m2 s2 a 2  m2  b ch  akJ1 m a  I 0  kb   d Q3m k  .(3.2.14) b ch m J 0 m  I1  kb  Q4 m k a ch Отметим, что в формуле (3.2.14) функции k   и s   вычисляются при   k .chВоспользуемся теперь, тем что, согласно (2.2.1), при   n  выполнено равенствоk d I 0  kb   sI1  kb 1  s . 0  sПодставляя (3.2.15) в (3.2.14), для элементов Amk получаем следующее выражение:(3.2.15)120  ch Amk k        ch I1 k kbi cb ch .Pm kch chq d k k 0 s k  ch (3.2.16)столбец матрицы A с номером kКак следует из (3.2.16), на черенковской частоте k  ch пропорционален Pm k. n2    при     ch  , причем k  n .

Согласно (3.2.12)Рассмотрим Bk  n2    ch    nBk k ch (3.2.17),где определитель  n имеет вид A11 A21 n  det   AN 1A12A1kA1 n1P1A1 n1A1NA22A2kA2 n1P2A2 n1A2 NAN 2  ANkИз (3.2.16) следует, что AN  n1   ch  ch Amk k C  Pm kAN  n1  ANNPN m  1,2 N  , . (3.2.18)где C – некоторыйкоэффициент. Тогда в матрице в формуле (3.2.18) содержится два столбца, с номером k иномером n , которые пропорциональны друг другу. Откуда следует, что в случае k  n  ch  n k 0 . Следовательно,  n2    ch   0 при k  n.Bk(3.2.19)Рассмотрим теперь случай, когда k  n : найдем выражения для коэффициента  n2    ch  .

Поскольку B n2    ch   0 при k  n , то система (3.2.11) с учетом формулы (3.2.16)Bnkпереходит в уравнения ch   2  ch   P   ch  , m  1,2Amn n  Bn nmn(3.2.20)121Подставляя выражения (3.2.8) и (3.2.16) в уравнение (3.2.20), получаем n2    ch   Bn    . cbI  k     b chchiq d k n   0 s n 1chn(3.2.21)В итоге, используя результаты (3.2.19) и (3.2.21), из выражения для вычетов функции2Bn    (3.2.10) получаем2Resch Bn    k0 при k  n,1  iq d  k 0  s   dFch  при k  n.  cb  I  kb   d  1 ch  k(3.2.22)2Откуда следует, что функции Bn    обладают полюсами не на всем наборе черенковских ch частот k k  1,2 , а только двумя полюсами при   n ch  .3.2.2 Редуцированное кильватерное полеОбратимся теперь к анализу волнового поля в двухслойной области волновода.

Посколькурассматривается случай, когда выполнено условие nd   1 , то в данной области существуетизлучение Вавилова-Черенкова или, иначе говоря, кильватерное поле. (Следуя традиции, мыпонимаем под "кильватерным полем" волновую часть поля излучения заряда в бесконечномрегулярном волноводе со слоем диэлектрика, иначе говоря, поле излучения ВавиловаЧеренкова в такой структуре.) С другой стороны, существует также дискретная часть«свободного» поля.

Сумму кильватерного поля и дискретной части "свободного" поля мыназовем "редуцированным кильватерным полем" (смысл этого термина прояснится вдальнейшем):  w    qw    bw E2  E2  E2 ,  w    qw    bw H2  H2  H2 ,(3.2.23)где верхним индексом  w  помечено редуцированное кильватерное поле ,  qw  – собственнокильватерное поле,  bw  – дискретная часть «свободного» поля.122Как уже указывалось ранее, «вынужденное» поле точечного источника, движущеговнутри бесконечного регулярного двухслойного волновода, было подробно изучено [14, 67]. Вчастности, было показано, что Фурье-образы «вынужденного» поля (3.1.10) – (3.1.12) обладаютполюсами, определяемыми уравнением (2.2.1).

Решением уравнения (2.2.1) являются ch черенковские частоты k, k  1,2 . Вклады данных полюсов вычисляются с помощьютеоремы о вычетах и определяют кильватерное поле источника: E  qw   E  qw  2 zk  2z    qw    qw   E2 r     z        E2 rk ,k 1   qw    qw   H 2  H 2 k  qw E2 zk  Re   ch exp  i  ch   R r,  ch  ,4q n22  2  1 2v 2(3.2.24)kvkk(3.2.25)  ,(3.2.26)  ,(3.2.27) ch R r,k4q  ch   qw E2 rk  Im  exp  ikv 2vr ch R r,k4q  ch   qw H 2 k   Im exp  ikcvrгде   z  vt ,   x  – функция Хевисайда,  I  kr  Res   q  при r  b, 01R  r,    H  sa iq  H 01  sr   0J 0  sr   Res    при r  b,J 0  sa  2 (3.2.28)sK  kb  1  s    d kK 0  kb  0  s qRes     1,dFch d(3.2.29)  2 k J 0  sa qRes      d. bs dFch d (3.2.30)123Рассмотрим второе слагаемое в выражении (3.2.23), представляющее собой дискретнуючасть «свободного» поля.

Перейдем от выражений для Фурье-образов «свободного» поля(3.1.17) – (3.1.19) к выражениям для физического поля в области z  0 . Тогда, например,радиальная компонента представляется в виде набора модbbE2 r   E2 rk ,(3.2.31)k 1где каждое слагаемое определяется выражениемbE2 rk c 2  2Bk  2hk  Fk  r,  exp  f k    d ,(3.2.32) 2где f k    i t  ihk   z .Аналогично предыдущей главе проанализируем интеграл (3.2.32) с помощью методаперевала. Как видно из (3.2.32), седловые точки определяются из условия df k d  0 , котороетождественно уравнению gr z  vk   t  0.Здесь gr  2 2vk     hk  hk 1естьгрупповая(3.2.33)скоростьсобственноймодыдвухслойной области волновода.

Характеристики

Список файлов диссертации