Диссертация (1150887), страница 12

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 12)

Данный случайпредставляет особый интерес в связи с тем, что на практике движение заряженных частиц вволноведущих структурах почти всегда происходит в вакуумных каналах [46, 55, 56].2.2.1 Анализ функций Bn 2   Как уже отмечалось, «вынужденное» поле точечного заряда в бесконечном регулярномдвухслойном волноводе было исследовано ранее [14, 67].

В частности, было показано, чточеренковское излучение в регулярном двухслойном волноводе определяется полюсамиchk   k  1, 2... Фурье-образов «вынужденного» поля (2.1.7), (2.1.8), (2.1.11). Данные полюса80представляют собой частоты мод черенковского излучения (или просто черенковские частоты).Как следует из выражения (2.1.12), они являются нулями дисперсионного уравненияFch  ,  d   sI1  kb  1  s    d kI 0  kb  0  s   0 .(2.2.1)Для дальнейшего анализа электромагнитного поля в вакуумной области определим вид2chфункций  ck ,dk   и hk    на черенковских частотах k  . Сделаем переобозначение ck    ik   ,  dk    s   и подставим в дисперсионное уравнение для собственных моддвухслойного волновода (1.1.31).

После использования свойств функций Бесселя J 0  ix   I 0  x и J1  ix   iI1  x  , получаем, что дисперсионное уравнение принимает вид     kb  s   kI sI11d 0 kb  0 s  0 .(2.2.2)Полученное выражение совпадает с дисперсионным уравнением, определяющим черенковскиечастоты (2.2.1). Исходя из этого можно сделать вывод, что вид функций s   и k   наchk частоте ch s kchk vсовпадаетnd2  2с ch k k 1,видомs  функцийchk k  исоответственно:1  2 .vchТаким образом, получаем, что на черенковских частотах k  выполнены соотношения ch  ck kichk v2 ch 1   ,  dk kch22hk  k   kd2   dkВернемся к исследованию коэффициентовchk chk vvnd2  2  1,(2.2.3).2Bn    .

В рассматриваемом случаевыполнено равенство s2    ik   . Тогда нетрудно показать, что правая часть системыуравнений (2.1.34) существенно упрощается:12Ym    Ym   Ym  iq kb  cm J 0  cmb  0  ik  Q3m  ikJ1  cmb  1  ik  Q4m.22vcI 0  ka  cm  k 2  2  k 2dm(2.2.4)81Как следует из (2.2.3) и (2.2.4), каждый элемент вектора правой части системы Ym   имеетchполюс первого порядка на черенковской частоте m  . . Далее для численного решения системыРассмотрим определитель матрицы системы M(2.1.34) используется некоторый конечный набор из N уравнений. Определитель матрицыразмера N  N может быть выражен через элементы матрицы следующим образом [83]:  det MK  , ,...  1 12N1 ,2 ,...NM 11M 2 2  M N N ,(2.2.5)где 1, 2  N – все возможные перестановки чисел 1, 2 N , K  1 , 2  N  – число инверсийв перестановке.Покажем, что элементы матрицы не имеют особенностей типа полюс.

Из выражения дляэлементов матрицы (2.1.38) следует, что их возможные полюса должны определяться изравенств2 cm a 2  n2  0,(2.2.6)2 2 dma  n2  0.(2.2.7)Равенство (2.2.6) выполняется при отсутствии диэлектрического слоя в области z  0 . Этоследует из того, что при b  aдисперсионное уравнение (1.1.31) приобретает видJ 0  cn a   0. Его решением являются значения  cn  n a .Равенство (2.2.7) выполнено в случае однородно заполненного диэлектрическоговолновода. Это следует из вида дисперсионного уравнения (1.1.31) в предельном случае b  0 :J 0  dn a   0. Его решением являются значения  dn  n a .Изменение размера канала от описанных выше предельных значений приводит к сдвигузначений  cn или  dn от n a . Таким образом, равенства (2.2.6) – (2.2.7) не могут бытьвыполнены при b  0 или b  a .

Следовательно, при наличии канала в двухслойной области не имеют полюсов. Как следует из формулы (2.2.5), тогда иволновода элементы матрицы Mопределитель матрицы не содержит полюсов.82 , можно заключить,Исходя из описанных свойств вектора Y и определителя матрицы M2что решения Bn    системы уравнений (2.1.34) будут иметь особенности типа полюс наchчеренковских частотах m   m  1, 2... .2.2.2 Асимптотическое исследование поля в вакуумной областиОбратимся теперь к наиболее интересному для нас вопросу о волновом поле в области z  0 .Поскольку при z  0 черенковское излучение отсутствует, то волновое поле представляет собойтолько соответствующую часть «свободного» поля. Радиальная компонента «свободного» поляbв области z  0 может быть записана как сумма мод E2 rnb bE2 r   E2 rn ,(2.2.8)n 1где каждая мода представляется интегралом следующего вида:bE2rn  2 cn  r  Bn    2 f J1 n  hn   e n   d.a a   (2.2.9)2Здесь f n    it  ihn    z .bАсимптотическое поведение моды E2 rn может быть исследовано с помощью методаперевала [87].

Согласно данному методу, анализ поведения интеграла включает определениеседловых точек, построение контура наибыстрейшего спуска (КНС) и переход от исходногоконтураинтегрированиякКНСсучетомвозможныхпересеченийособенностейподынтегрального выражения.Как следует из (2.2.9), седловые точки определяются из уравнения df n d   0 , котороеможет быть записано в видеgrz  vn    t  0,(2.2.10)83гдеgr22vn      hn   hn  1–групповаяскоростьрассматриваемоймоды2«свободного» поля.

Учитывая зависимость продольного волнового числа hn  от частоты(2.1.20), получаем2 2 cgrvn     c 1  2n 2 .a (2.2.11)Как следует из (2.2.10), (2.2.11), решением уравнения (2.2.10) являются две седловые точкиn 1,2  s n c 2taR.(2.2.12)Здесь R  c 2t 2  z 2 , верхний знак в выражении (2.2.12) относится к индексу 1, нижний – киндексу 2 .212Отметим, что функция Bn    зависит от продольных волновых чисел hn  и hn  ,поскольку они входят в систему (2.1.34).

Данные волновые числа имеют следующий вид: 2 nd2 ,c12hn     dn,cn   ,2c 2 nc2 n22hn     2.c2a(2.2.13)Как видим, данные функции имеют по две точки ветвления. Кроме этих особенностей,подынтегральное выражение в (2.2.9) имеет полюсы. Для дальнейшего исследованиянеобходимо установить правило обхода точек ветвления и полюсов в том случае, когдадиссипация в среде пренебрежимо мала.2Рассмотрим функцию hn    .

Уравнение на точки ветвления этой функции имеет видn2 c c n2c2Его решения n  a2 0.(2.2.14)n cявляются вещественными в случае среды без диссипации. Какa  c cбыло указано ранее, вследствие условия экспоненциального убывания поля моды с ростомрасстояния от границы, физический лист римановой поверхности фиксируется условиями84  12Im hn   0 , Im hn   0 , которые должны выполняться на вещественной оси (при    ).Отметим, что выполнение этих требований на всей комплексной плоскости не обязательно, чтоприводит к возможности проведения таких разрезов, которые наиболее удобны дляаналитического исследования (важно только, чтобы они не пересекали вещественную ось).Установим взаимное расположение точек ветвления и контура интегрирования.Учитывая наличие в среде малой диссипации, положим, что  c   c'  i c'' причем  c''  0 при  0 и  c''   c' . Теперь, поскольку диэлектрическая проницаемость является комплекснойвеличиной, то точки ветвления n также будут принимать комплексные значения.

В связи сэтим представим их в следующем виде: n  n'  in'' . В случае малой диссипации выполненонеравенствоn''  n' . Запишем уравнение на точки ветвления, подставив в (2.2.14)комплексный вид  c и nn'  in''   c'  i c''  c  n2  0.2c2(2.2.15)a2Пренебрегая в уравнении (2.2.15) величинами второго порядка малости, получаемn' 2c c'  2nc2a22in' n'' c c'2c i n'2c c''c2 0.(2.2.16)Нетрудно увидеться, что решением уравнения (2.2.16) являются точкиn'  n cac c', n''  n'  c''.2 c'(2.2.17)Поскольку  c''  0 при   0 , то, учитывая нечетность функции  c''   , из (2.2.17) получаем, чтоn''n c  c''2 c' a c c' 0.1Аналогичное рассуждение для функции hn    провести сложнее, так как подкоренноевыражение в (2.2.13) содержит сложную функцию частоты. Однако, так как нам требуется85только установить взаимное расположение особенностей и контура интегрирования, то мыможем воспользоваться следующим общим способом [88].Как известно, знак мнимой части диэлектрической и магнитной проницаемости впассивной среде должен совпадать со знаком частоты: sgn  Im  ( )   sgn  Im  ( )   sgn( ) .

Вто же время, вещественные части проницаемостей всегда четны относительно частоты. В нашейситуации они положительные константы, однако при учете хотя бы слабой дисперсии онистановятся функциями частоты. Легко показать, что правильный знак бесконечно малыхмнимых частей проницаемостей получится, если сделать формальную замену  на   i , где  0 [88]. Действительно, при этом  (  i )   ( ) d  ( )i . Вследствие четности  ( ) ееdпроизводная нечетна.

Характеристики

Список файлов диссертации