Диссертация (1150887), страница 14

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 14)

Отметим, что далее будут приведенырезультаты численных расчетов полного поля, которые подтвердят корректность нашиханалитических результатов.2.3 Усредненная мощность черенковско-переходного излученияДля анализа ЧПИ удобным оказывается рассмотрение усредненной мощности излучения  z .Усреднение проводится по интервалу времени, много большему, чем период всех мод. Приэтом предполагается, что процесс шел достаточно долго (заряд улетел достаточно далеко), такчто ЧПИ успело сформироваться, то есть количество длин волн на всех значимых частотахЧПИ велико.Найдем мощность ЧПИ  z , проходящую через поперечное сечение волновода:c    CTR    CTR  c,H2z E2dS 4 42 a CTR   CTR H 2 rdrd .  E2r(2.3.1)0 0Подставим в формулу (2.3.1) выражения (2.2.30), (2.2.32) и учтем аксиальную симметриюкомпонент поля:93     N p Nka  r   r grch z  2      J1 n  J1 m  rdr   vn   p  t  z a p 1 k 1 n1 m1  0  a   a  ch 2chch2hm  k i p t  ihn   p  ch 2gr t  z nmIm  Res Bn   e vm kch    ch k p4 c 2     ch  2 ik t  ihm2 Im  Res Bm   e    ch kz    z  .(2.3.2)chkПользуясь свойством ортогональности функций Бесселя [84], то есть формулойara2 2 r JJrdrJ1 n   nm , получаем 1  n a  1  m a 20           J  Np ch grchgr z  4 2 c 2    vn   p  t  z  vn  ktzp 1 k 1 n12 Im  Res Bn    e    ch p ch 2hn  kchk ch  ik Im  Res Bn 2    e     ch k chch2 i p t  ihn   p  z 2 2n 1n   2 ch  t  ihn  kz(2.3.3).Так как мы полагаем, что ЧПИ полностью сформировалось, то момент времени t достаточновелик, так что для всех существенных распространяющихся мод выполнено условие chgrvn  k  t  z  0 .

Поэтому далее тэта-функции в выражениях для мощности излучениябудем заменять на 1 .Проведем теперь усреднение величины (2.3.3) по интервалу времени, много большему,чем период любой моды: z  lim1  t   z dt.(2.3.4)tНетрудно показать, что при проведении усреднения (2.3.4) ненулевой вклад дадут толькоте моды, которые имеют одну и ту же частоту.

С учетом этого получаем следующий вид дляусредненной мощности ЧПИ: Nkk 1k 1 n 1 z    k     kn ,(2.3.5)94 kn 2 2 c 2n2 J12n   ch 2hn  kchk Resch k 2Bn   2.Отметим, что в выражении (2.3.5) первое суммирование производится по всему наборучеренковских частот, второе суммирование – по всем распространяющимся модам,существующим при заданной черенковской частоте.2.4 Численный анализ частотно-модового распределения мощностиЧПИДальнейший анализ ЧПИ проводится с помощью численного нахождения вычетов функции2Bn    на черенковских частотах. Отметим, что частота входит в систему уравнений (2.1.34),определяющуюResch k коэффициенты2Bn    ,вкачествепараметра,идлянахождения B    достаточно решить эту систему только на черенковских частотах.

Для этого2nперейдем от исходной системы M mn   Bn 2    Ym   , m  1, 2(2.4.1)n 1к её более удобному для данной цели виду.chКак было показано ранее, функции Ym   имеют полюс при   m  . Выделим вchYm   функцию Pm   , регулярную при   m  :Ym   Pm  2 cm   k 2  ,(2.4.2)где вид функции Pm   определяется из выражения (2.2.4). Отметим, что знаменатель вchформуле (2.4.2) обращается в ноль только при   m  , на всех остальных черенковскихчастотах функции Ym    k  m  особенностей типа полюс не имеют.95Подставляя (2.4.2) в систему (2.4.1) и умножая всю систему на величину2 ck    k 2   , получаем2 ck    k  2, m  1, 2 M mn   Bn 2    ck    k 2    Pm   22 cm    k  n 12(2.4.3)chВ отличие от (2.4.1), такую систему можно рассматривать систему и при   k  .

Как видно,при этом правая часть системы (2.4.3) будет равна нулю, если m  k . Введем обозначение        n2    ch   B  2    ch   2ck   ch   k 2   ch Bnkkkk(2.4.4)chи перепишем (2.4.3) при   k  в следующем виде: M mn kn 1ch  B       P   2nchkmchkmk ,m  1, 2(2.4.5)Решение данной системы будет далее проводиться численно. После определения из нее n2    ch  нетрудно получить найти вычеты функций B 2    :коэффициентов BnkResch k  B    2n n2    ch  2BkBn   Res  222dch k   ck    k 2   ck    k   d.(2.4.6)ch k Поскольку дисперсионное уравнение (1.1.31) можно рассматривать как уравнение, задающеесвязь величины  c и частоты  , то производную по частоте в выражении (2.4.6) от функции ck   можно найти как производную неявной функции2Fdisp 2ddk2k2 ck    k 2    2 ck  2  2 ck2 ,ddFdisp  ck(2.4.7)где Fdisp имеет вид (1.1.31).Преимущество системы (2.4.5) по сравнению с исходной системой (2.4.1) состоит в том,chчто все величины, входящие в неё, регулярны на частоте k  , что делает возможным ее96численное решение на таких частотах.

Для численного решения системы (2.4.5) учитываетсяконечное количество N мод «свободного» поля, т.е. используется система с квадратной размера N  N . Число N выбирается методом последовательных приближений изматрицей Mследующего требования: на каждой черенковской частоте, при которой решается система(2.4.5), необходимо учитывать количество мод не меньше номера рассматриваемойчеренковской частоты и количества распространяющихся мод на данной частоте. Таким n2    ch  . Далее определяются значенияобразом находятся коэффициенты BkRes ch  k B     2nсогласно формуле (2.4.6).

На каждом следующем шаге метода последовательных приближенийв систему добавляется по одной эванесцентной моде и производится её решение до тех пор,Resпока величина   ch  k B     2nmax Res ch  kNResch k B 2nmax  B     2nmaxN 1не будет меньше заданного числаN 1  2  max (для расчетов используется  max  0.01 ). Здесь nmax есть номер элемента вектора Bнаибольшим значениемитерационныйRes ch  kшагс  2 Res  B    , N и N  1 обозначают текущий и предыдущийch k  соответственно.Данныйалгоритм,позволяющийопределить B    , реализован в программном пакете Matlab.2nНа рисунках 2.4 – 2.9 представлены частотные и частотно-модовые распределенияусредненной мощности ЧПИ, найденные с помощью вышеописанного алгоритма решения ch системы уравнений (2.1.34).

На графиках указаны черенковские частоты  k  k 2  .Рисунок 2.4а демонстрирует частотный состав ЧПИ со второй по четырнадцатуючеренковскую частоту в случае, когда вакуумной канал занимает четверть полного радиусаволновода. Использовались следующие параметры волноведущей структуры:a  1 см,b  0.25 см,  c   2  1 ,  d  5.7 , c  d  2  1 , v  0.9c . Первая черенковская частота надиаграмме не представлена, так как на данной частоте в области z  0 все моды являютсяэванесцентными и, следовательно, данные моды не вносят вклада в ЧПИ. Как видно, в случае97относительно узкого вакуумного канала ЧПИ имеет мультичастотный характер, т.е.

нанескольких частотах усредненная мощность ЧПИ имеет сравнимые между собой значения.Максимальная мощность излучения приходится на пятую черенковскую частоту. На рисунке2.4б для тех же параметров задачи представлено в логарифмическом масштабе частотномодовое распределение усредненной мощности ЧПИ (для каждой черенковской частотыпоказан ее модовый состав). Как следует из графика, на высоких частотах присутствуетнесколько мод, которые переносят большую часть энергии на данной частоте и имеютсравнимые величины  kn , т.е. излучение на таких частотах является мультимодовым. В целомизлучение можно охарактеризовать как мультичастотное и мультимодовое.Рисунок 2.5а демонстрирует распределение мощности ЧПИ по черенковским частотамсо второй по седьмую в случае, когда вакуумной канал занимает половину полного радиусаволновода (остальные параметры прежние).

Здесь, как и ранее, излучение на первойчеренковской частоте отсутствует. Как видим, увеличение радиуса канала приводит к тому, чтомаксимум мощности ЧПИ приходится теперь на частоту с меньшим номером. Высокие частоты(шестая и выше) вносят малый вклад в излучение, хотя мультичастотный характер ЧПИсохраняется.Нарисунке2.5бпредставленораспределениемощностиизлученияпораспространяющимся модам, генерируемым на различных частотах. Как видно, на второй,третьей и четвертой черенковских частотах, которые переносят более 93% всей энергии,реализуется практически одномодовой характер излучения.Дальнейшее увеличение радиуса канала до 0.75 см приводит к тому, что, во-первых,присутствует излучение на первой черенковской частоте, и, во-вторых, подавляющая долямощности ЧПИ приходится на одну частоту (рисунок 2.6а).

Рисунок 2.6б демонстрируетмодовое распределение мощности ЧПИ для первой, второй и третьей черенковских частот. Какследует из представленных диаграмм, при достаточно больших размерах канала возможнагенерация одночастотного и одномодового излучения.98Рис. 2.4а. Частотное распределение усредненной мощности ЧПИ  k со второй почетырнадцатую черенковскую частоту  k . Параметры структуры: a  1 см, b  0.25a , c   2  1 ,  d  5.7 , c  d  2  1 , v  0.9c .Рис.2.4б.Частотно-модовоераспределениеусредненноймощностиЧПИ knвлогарифмическом масштабе со второй по четырнадцатую черенковскую частоту  k .Параметры структуры и скорость заряда те же. Различные типы столбцов соответствуютраспространяющимся модам с различными номерами, указанными на графике.99Рис. 2.5а.

Частотное распределение усредненной мощности ЧПИ  k со второй по седьмуючеренковскую частоту  k . Параметры структуры: a  1 см, b  0.5a ,  c   2  1 ,  d  5.7 ,c  d  2  1 , v  0.9c .Рис.2.5б.Частотно-модовоераспределениеусредненноймощностиЧПИ knвлогарифмическом масштабе со второй по седьмую черенковскую частоту  k . Параметрыструктурыискоростьзарядатеже.Различныетипыстолбцовраспространяющимся модам с различными номерами, указанными на графике.соответствуют100Рис.

2.6а. Частотное распределение усредненной мощности ЧПИ  k с первой по третьючеренковскую частоту  k . Параметры структуры: a  1 см, b  0.75a ,  c   2  1 ,  d  5.7 ,c  d  2  1 , v  0.9c .Рис.2.6б.Частотно-модовоераспределениеусредненноймощностиЧПИ knвлогарифмическом масштабе с первой по третью черенковскую частоту  k . Параметрыструктурыискоростьзарядатеже.Различныетипыстолбцовраспространяющимся модам с различными номерами, указанными на графике.соответствуют1012.5 Обобщение на случай движения гауссова пучка частиц итестирование полученных результатовОбобщим полученные результаты для поля ЧПИ в вакуумной области волновода на случайдвижения пучка частиц бесконечно малой толщины с гауссовым продольным профилем.Плотность заряда для него запишем в видеq exp   z  vt g 222 2    r   2r(2.5.1). 0Как видно из уравнения (2.1.2), если в его правую часть подставить вместо плотностизаряда (2.1.1) выражение (2.5.1), то это приведет к тому, что Фурье-образы компонент  g  q    g  q  «вынужденного» поля  E , H для гауссова пучка частиц будут отличаться отсоответствующих величин для точечного заряда лишь домножением на      g  q   q    g  q   q E    E  , H     H  , g  q :(2.5.2)  q   q где, E  и H  определены формулами (2.1.7)-(2.1.11).

Характеристики

Список файлов диссертации