Диссертация (1150887), страница 18

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 18)

В отличии от ранее рассмотренного случая влета заряда ввакуумную область волновода, когда был получен явный вид решения уравнения на седловые2точки, теперь зависимость продольного волнового числа hn  от частоты должна бытьопределена из дисперсионного уравнения (1.1.31). Поэтому не удается разрешить уравнение(3.2.33) аналитически. Однако, как и в главе 2, мы можем ограничиться «нулевымприближением», т.е. учесть только вклад полюсов подынтегрального выражения, пренебрегаявкладом седловых точек.

Такое приближение достаточно для определения наиболеесущественных особенностей волнового поля в двухслойной области. ch  2Найдем вклад полюсов kфункции Bk   в интеграле (3.2.32) с помощьютеоремы о вычетах. При суммировании вкладов полюсов учтем, что из вещественностиbbbфизического поля E2 rk следует соотношение E2 r k   E 2 r k   . Также используем то, что, 124  2   ch  ch hk k kv . В итоге для радиальной компонентысогласно формуле (3.2.6),дискретной части «свободного» поля получаем   2 ch    bw  4 c gr   ch E2 rk k t  z Im  Resch Bk    Fk  r,k  exp  ik    .  t   vk 2vv  k    gr   ch Функция  vkk t  z(3.2.34)в выражении (3.2.34) введена из следующих соображений.  gr   ch Напомним, что, как следует из (3.2.33), условие vkk t  z  0 означает совпадениеседловой точки с полюсом подынтегрального выражения в (3.2.32).

Поэтому имеется толькодваварианта:притрансформации контураполюсchk захватываетсялибопри  gr   ch  gr   ch vkkt  z , либо при vkkt  z . Очевидно, однако, что в момент наблюдения t доточки с продольной координатой z успеют добежать только волны с достаточно большойгрупповой скоростью, точнее говоря, волны, удовлетворяющие первому из этих неравенств.Аналогичный эффект имел место в предыдущей главе при рассмотрении черенковскопереходного излучения в вакууме: там излучение от границы достигало точки наблюдения привыполнении такого же неравенства, причем это было показано на основании строгогорассмотрения пересечения полюсов при трансформации контура интегрирования.Объединяя формулы (3.2.31) и (3.2.34), получаем bw E2 r   4 c ch    2 gr   ch   t  Im   Resch Bk   Fk  r,k   vkk t  z exp  ik    . 2vv  k 1 k(3.2.35)Аналогичным образом из выражений (3.1.17) и (3.1.19) с помощью теоремы о вычетахопределяются вклады полюсов в остальных компонентах «свободного» поля: 2Bk   Res ch  k  ch    bw  4 c gr   ch   t  Re  E2 z exp  ikk t  z   vkch2vk k 1 ch    F r,  ch Fk r,kkk ,rr   (3.2.36)125 bw H 2      ch    2 ch  gr   ch  4  t  Im   Resch Bk   Fk r,kexp  ikk t  z  .  vkv k 1 k(3.2.37)В итоге, дискретная часть «свободного» поля представляется набором мод, частоты которыхсовпадают с черенковскими частотами.

Граница области существования каждой модыопределяется групповой скоростью данной моды. Отметим, что при достаточно больших    gr   ch значениях z имеет место ситуация, когда все функции  vkkt  z равны 0, то естьвклад полюсов в «свободное» поле отсутствует.После подстановки (3.2.22) в (3.2.35) – (3.2.37) и ряда громоздких математическихпреобразований можно показать, что вклады полюсов в «свободное» поле отличаются толькознаком от мод кильватерного поля, то есть E  qw   E  bw  2 zk  2z    bw    qw   gr   ch k t  z , E2 r     t    E2rk   vkk 1   qw    bw   H 2  H 2 k    (3.2.38) qw   qw   qw определены формулами (3.2.25) – (3.2.27).

Таким образом, в областигде E2 z , E2 r , H 2  gr   ch z  vkk tволноваячастьмоды«свободного»поляполностьюкомпенсируетсоответствующую моду кильватерного поля. Подобный эффект компенсации наблюдался дляслучая, когда канал в диэлектрической области отсутствует [34]. Именно по этой причинесумма (3.2.23) была названа "редуцированным кильватерным полем" (РКП). Его компоненты,согласно (3.2.38), имеют следующий вид wE2 z    z      Re   ch exp  ich   R r,ch4 q n22  2  1 2v2 k 1kkvk   z  v     t  ,grkchk(3.2.39) wE2 r4q ch   z      Im   exp  ik v 2v k 1chR r, k r  z  v     t  ,grkchk(3.2.40)126 wH 24q ch     z      Im   exp  ik cv k 1chR r, k   z  v     t  ,grkrchk(3.2.41) ch где R r,kопределено выражением (3.2.28). grchТаким образом, мода РКП существует только в области vk  k  t  z  vt , а еевеличина совпадает с величиной моды кильватерного поля, то есть черенковского излучения вволноводе с диэлектрическим слоем.

Естественно, РКП не является полным волновым полем,так как в него не включено переходное излучение. Тем не менее, редуцированное кильватерноеполе представляет собой наиболее существенную часть волнового поля, что будетподтверждено далее рядом расчетов. Отметим, что при достаточно больших значениях z имеет  gr   ch место ситуация, когда все функции  z  vkktравны 1, то есть РКП совпадает скильватерным полем в бесконечном регулярном волноводе (зона полностью сформированногокильватерного поля).3.3 Численный анализ редуцированного кильватерного поля wСтрого говоря, волновое поле E2 z , согласно (3.2.39), обладает бесконечным наборомчеренковских частот и соответствующих черенковских мод.

Однако для дальнейшего анализамы будем использовать конечное число мод N . Их количество определяется методомпоследовательных приближений. На первом шаге данного метода считаем, что есть одначеренковская мода. На каждом следующем шаге метода в волновое поле добавляет по одноймоде до тех пор, пока величина  wmax E2 zNw max E2 z wmax E2 zN 1не станет меньше заданногоNзначения  max (для приведенных ниже расчётов было выбрано, что  max  103 ). Здесьwmax E2 z – амплитуда продольной компоненты волнового поля, N и N  1 обозначаютколичество черенковских мод на данном и предыдущем шаге метода последовательных127приближений. Данный метод вычисления РКП на основе выражений (3.2.39) – (3.2.41) былреализован в программном пакете Matlab. Результаты его применения представлены нарисунках 3.2 – 3.5.Рисунок 3.2 демонстрирует зависимость продольной компоненты РКП от времени вточке наблюдения r  0 см, z  30 см в случае движения точечного источника с зарядомq  1 нКл, скоростью v  0.9c .

В представленном случае радиус вакуумного канала занимает20% радиуса волновода, диэлектрический слой обладает характеристиками  d  5.7 , d  1 .Описанный выше алгоритм показал, что при данных параметрах задачи в РКП достаточноучитывать 12 мод. Как следует из (3.2.39) – (3.2.41), в фиксированной точке наблюдения zкаждаямодаРКПсномеромkсуществуеттолькововременномдиапазоне  gr   ch z v  t  z vkk.

Соответственно, в зависимости от момента времени РКП содержитразличное количество мод. На рисунке 3.2 число k обозначает количество черенковских мод всоответствующем интервале времени. Нулевой момент времени соответствует моменту влетаисточника в двухслойную область волновода. В представленном случае во временноминтервале 1.11  t  4.67 нс РКП содержит набор резких экстремумов, что характерно длякильватерного поля, используемого в кильватерных ускорителях [40]. С ростом временивследствие компенсации кильватерного поля дискретной частью «свободного» поля количествомод в составе РКП уменьшается. При t  5.1 нс поле становится одномодовым и далеепрактически сразу  t  5.13 нс  исчезает.На рисунке 3.3 представлена зависимость относительной групповой скорости  c от номера черенковской моды k gr   ch vkkпри тех же параметрах задачи.

Как видно,групповая скорость первой моды близка к групповой скорости первой моды в случае однородно  gr   ch 1 c 2  v d   c  d  0.18c . Это может быть объясненозаполненного волновода, т.е. v1тем фактом, что характерный масштаб изменения первой моды велик по сравнению с радиусомканала, так что наличие канала мало влияет на данную моду. Отметим также, что при заданныхпараметрах поведение групповой скорости учитываемых мод относительно простое: онамонотонно возрастает с ростом номера моды. Это приводит к тому, что в РКП моды дискретнойчасти «свободного» поля последовательно компенсируют моды кильватерного поля, т.е.

Характеристики

Список файлов диссертации