Диссертация (1150887), страница 7

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 7)

Будемсчитать, что волноведущая структура обладает теми же свойствами, что и в предыдущихразделах: внешнее покрытие волновода является идеально проводящим, среды заполненияоднородные, стационарные, изотропные и без пространственной дисперсии.Рис. 1.3. Падение моды со стороны двухслойной области волновода1.3.1 Вывод системы уравненийСогласно выражениям (1.1.36) – (1.1.38) для собственных мод круглого двухслойноговолновода, электромагнитное поле падающей моды может быть записано в видеic  Fi  r ,   Fi  r ,   ii E z  exp ih z ,1 rr(1.3.1)36c i iiEr h Fi  r ,   exp ih  z ,1(1.3.2) i   F r ,  exp ih i  z .Hi(1.3.3)Здесь i – номер падающей моды, функции Fn  r ,   определены выражением (1.1.30), 1   ci2.при r  b , 1   d при b  r  a , h   kc2   ci2  kd2   diКак и в предыдущей задаче, представим Фурье-образ отраженного поля в области z  0 ввиде набора собственных мод двухслойной области волновода, которые согласно (1.1.35),(1.1.37) и (1.1.38), имеют видicrE z  Fn  r ,   Fn  r ,   r exp ihn z ,rr R n   1 n1crEr   R n   hn r  Fn  r ,   exp  ihn r  z ,1 n1r  H R n   Fn  r ,   exp ihn r  z ,n 1(1.3.4)(1.3.5)(1.3.6)r22 kd2   dn.где hn   kc2   cnПроходящее поле при z  0 также представим в виде разложения по собственным модамоднородно заполненной области волновода T n  n J 0 n a  exp ihn t  z ,(1.3.7) T n   hnt  J1 n a  exp  ihnt  z ,(1.3.8)ictE z  a cctEr  crn1rn 1 rttH   T n   J1 n  exp ihn  z , an 1(1.3.9)37где hn   kc2  n2 a 2 .

Физический лист римановой поверхности для функции корня вti ,r ,tпродольных волновых числах h  фиксируется требованием убывания амплитуды полей помере их распространения, откуда следует условие Im hni ,r ,t   0 при    . n   и T n   неизвестны. Уравнения, их определяющие, могут бытьКоэффициенты Rполучены аналогично предыдущей задаче из условий непрерывности (1.2.10) тангенциальныхкомпонент электромагнитного поля на поперечной границе z  0 rFi  r ,     R n Fn  r ,     T n J1 n , an 1n 1i n h  r  F  r ,    1h  Fi  r ,     Rnncn 1(1.3.10)r T n hnt  J1 n a .(1.3.11)n 1Равенство (1.3.10) соответствует условию непрерывности магнитной компоненты поля,равенство (1.3.11) – условию непрерывности радиальной компоненты электрического поля.Перейдем от данных уравнений к системе, содержащей только неизвестную величину n .

Для этого умножим уравнения (1.3.10) и (1.3.11) на собственную функцию однородноRзаполненной области волновода J1 m r a  и проинтегрируем их по радиальной переменной от0 до 1 с весовой функцией r , используя свойство ортогональности функций Бесселя (1.2.13). n и T n :Таким образом, получаем выражение, связывающее между собой коэффициенты Rm J 0 m b a  J1  ci b  Q5  a ci J1 m b a  J 0  ci b  Q6 mi J12 m  a  ci2 a 2  m2  di2 a 2  m2 n  J  b a  J  b  Q  a J  b a  J  b  Q   Rm 0 mcncn 1 mcn1506 mn ,2 222 22 cn a  m  dn a  mn 1T m 2b(1.3.12)и бесконечную систему линейных алгебраических уравнений для коэффициентов разложенияотраженного поля по собственным модам Amn R n  Ym ,n 1(1.3.13)38A и вектора правой части системы Y задаются следующимигде матрица системывыражениями:Amn 12 2a cn m22 2a dn m2 b bm J 0 m a  J1  cnb  Q1mn   cn aJ 0  cnb  J1 m a  Q2 mn  ,(1.3.14)Ym 1ci2 a2 m2  di2 a2 m2  b bm J 0 m a  J1  ci b  Q3mi   ci aJ 0  ci b  J1 m a  Q4 mi  .(1.3.15)Здесь введены следующие обозначения tt r 2 2 r 2 2  c rQ1mn   dna hn  hm    cna  hn  hm    m2 hn   1  c  , d d dtt  2 2 r2 2  d  c r 2 t  Q2 mn   dna hn  hm    cna hn  hm   m hm 1 c  d citit i 2 2Q3mi   dia h   hm    ci2 a 2  c h   hm    m2 h  1  c d d(1.3.16),,(1.3.17)(1.3.18)  iitt t 2 2Q4 mi   dia h   hm    ci2 a 2 d  c h   hm    m2 hm   d  1 ,c  d c(1.3.19) 2 d 2  2  d Q5  a 2 kd2  kc2 , Q6 mn  a 2   dn  cn   m 1   .c c (1.3.20)Дальнейшее рассмотрение задачи включает в себя численное решение системы (1.3.13). n и T n вОднако возможно приближенное аналитическое определение коэффициентов Rспециальном случае, когда слой диэлектрика в области z  0 является тонким.1.3.2 Случай тонкого диэлектрического слояРассмотрим случай, когда d a  1 , где d  a  b есть ширина диэлектрического слоя.

Ранеебыло получено приближенное решение дисперсионного уравнения (1.1.31) для собственных39мод электромагнитного поля в двухслойной области волновода и приближенные значения(1.2.24), (1.2.25) для коэффициентов  cn и  dn .Представим продольное волновое число отраженного поля в виде разложения постепеняммалогопараметра:2 d3 rr 0r 1 dr 2 dhn   hn    hn    hn   2  O  3  .a aa Коэффициентыr2разложения найдем, подставляя (1.2.22) в выражение hn   kc2   cn1  0 121  0   12   0 22 cn cn cnr  0 r 1r  2 2 ncncn kc  2 , hn cn cn3 .hn, hnt  0 t  0 t  0 t 0ahnhn2hn2hn  (1.3.21)rЗная разложения для величин  cn,dn и hn  , нетрудно получить приближенное выражение дляA:элементов матрицы системы 2 0   d A1  O  d  ,Amn  Amnmn a 2 a (1.3.22) 0   h t  J 2   ,Amnm 1  m  mn(1.3.23) h r 1  t 2hm J1 m   m c  при n  m,t d  2hm1 Amn  1 a   0  J1 m  J1 n 2  02cn QQ  при n  m.m 1mnn 1 2 2 mn  22   0 22 n n  m   dn a  m  (1.3.24)Из полученных выражений следует, что, как и в предыдущей задаче о падении моды на границусо стороны однородно заполненной области волновода, матрица системы может бытьпредставлена в виде суммы:2  A1 d  O  d  ,A D a2 a(1.3.25)1 – диагональная матрица, состоящая из элементов A 0  , , A 0  , , а матрица Aгде Dnn11состоит из элементов (1.3.24).40В выражениях (1.3.23), (1.3.24) используются следующие обозначения:0tr 0t r 0  0 2 2  r  0 Q1mn   dna hn hm   n2  c hn    hm    m2 hn   1  c d d,  0 0 2r 0tr 0t t Q2 mn   dn a 2 hn    hm   n2 d  c hn    hm    m2 hm   1  d  .c  d c Аналогичным образом получаем приближенный вид вектора правой части системыуравнений (1.3.13) d2 1 dYm  Ym   O  2  ,a a(1.3.26) J12 i    r 1 r 0  2hi   1  c   при m  i, hi 2   d 1 Ym    1 a J1 i  J1 m m2 Q3 0mi  i2 1  ci  Q4 0mi  при m  i,2i  22   0 22 im di a  m  (1.3.27)где0r 0r 0 tt  0 2 2  r  0 Q3 mi   dia hi hm   i2  c hi    hm    m2 hi   1  c d d, 0r 0tt t  0 2 2  r  0 Q4 mi   dia hi hm   i2 d  c hi    hm    m2 hm   d  1 .c  d cРешение системы (1.3.13) определим согласно методу Крамера n  n ,R(1.3.28)A ,  n – определитель матрицы A,где, как и в предыдущей задаче,  – определитель матрицы у которой столбец с номером n заменен на Y .A (1.3.25) и вид для Y (1.3.26), нетрудноИспользуя приближенный вид матрицы получить следующие выражения для используемых в методе Крамера определителей:41 d 2  0d001   Amm   All  Amm  O  2  , A00  1,a a l 1m 0m 0(1.3.29)m ln 2d 1 0  O  d  .Yn  Amm 2 am 0a (1.3.30)m n n приобретают видПосле применения правила (1.3.28) коэффициенты R12 n  d Yn  O  d  .R a2  0a Ann (1.3.31) n наиболее простой вид имеет коэффициент с номером падающейИз всех коэффициентов Rмоды  r 1 i  d  hiR1  cda  2h r  0  i d2  O. a 2 (1.3.32)Применяя разложения (1.3.31), (1.3.21) и решение дисперсионного уравнения (1.2.24)-(1.2.25),получаем  0 2 2 0 2 22  2a1 d 2 J    dim  i2di a  c  d Yd1 i  +O  d  при m  i,mT m  2 2 0  a J1 m a Amm0a i2  m2  a 2 di   m2 (1.3.33) r 1d hT i  1   i1  ca  2h r  0 d i(1.3.34) d2  Oпри m  i. a 2 Таким образом, в случае тонкого диэлектрического слоя аналитически найдено решение задачис точностью до линейного порядка малости.421.4 Об энергетических соотношениях в задачах о падении моды напоперечную границуВыше мы анализировали только компоненты электромагнитного поля.

Однако зачастую важнеезнать энергетические характеристики излучения. Отметим некоторые их особенности врассматриваемых задачах.Обратимся сначала к задаче о падении моды со стороны однородной области волновода.Рассмотрим средний за период поток энергии  z 0 , переносимый в единицу времени черезпоперечное сечение волновода в вакуумной области:2 a z 0   Sz0 rdrd ,(1.4.1)0 0гдеS z 0 ci r  irRe  Er  Er  H   H   8(1.4.2)есть проекция на ось z усредненной по периоду плотности потока энергии падающего иотраженного поля.

Напомним, что вертикальная черта означает операцию комплексногосопряжения. Воспользуемся тем фактом, что отраженное поле представляется в виде наборамод, вследствие чего r     i    r    i r ir   i Er  Er  H   H     Er   Er n  H    H  k  . n1k 1(1.4.3)Перепишем выражение (1.4.3), выделив в отраженном поле моду с номером падающей моды,равным i :r r r  i r rir   i i  i i riEr  Er  H   H    Er H   Er H i  Eri H   Eri H i  Er  H  k k 1k ii n1nin1n ik 1k irrr H   Ern   Ern  H  k .(1.4.4)43ri   riСлагаемые Er  H  k и H   Ern в формуле (1.4.4) при проведении интегрированияk 1k in1ni(1.4.1) не дадут вклада в поток  z0 вследствие соотношения ортогональности (1.2.13). По тойже причине в последнем слагаемом дадут вклад только члены двойной сумы с одинаковымииндексами n  k .Вклады первых четырех слагаемых в (1.4.4) принципиально зависят от того, является липадающая волна распространяющейся или местной (эванесцентной).

Характеристики

Список файлов диссертации