Диссертация (1150683), страница 9
Текст из файла (страница 9)
[86].632.7.2.Ìîäåëü òðåéñåðàÄëÿ ìîäåëè òðåéñåðà êðèòè÷åñêèå ðàçìåðíîñòè îïåðàòîðîâ θn ëèíåéíû ïî n: ∆[θn ] = n∆θ , ñì. óðàâíåíèå (2.39). Òîãäà çàâèñèìîñòü îò ðàññòîÿíèÿ r â àñèìïòîòè÷åñêîì âûðàæåíèè (2.61) èñ÷åçàåò: ãëàâíûå ÷ëåíû âèíåðöèîííîì èíòåðâàëå ïîñòîÿííû. Áîëåå ÿðêèìè âåëè÷èíàìè ÿâëÿþòñÿîäíîâðåìåííûå ñòðóêòóðíûå ôóíêöèè, îïðåäåëåííûå êàêSn (r) = h[θ(t, x) − θ(t, x0 ]2n i = (νµ2 )−n η(µr, mr, c/(µν)),r = |x0 = x|;(2.62)âòîðîå ðàâåíñòâî ñ áåçðàçìåðíûìè ôóíêöèÿìè η ñëåäóåò èç ñîîáðàæåíèéðàçìåðíîñòè. Ðåøåíèå óðàâíåíèÿ Ðà äà¼ò àñèìïòîòè÷åñêîå âûðàæåíèå äëÿµr 1:Sn (r) = (νµ2 )−n (µr)−2n∆θ ζ(mr, c(r)),(2.63)c(r) âçÿòî èç (2.54) è íåêîòîðûõ ñêåéëèíãîâûõ ôóíêöèé ζ .
Âàæíî, ÷òîïàðíûé êîððåëÿòîð hθp θk i ñ k + p = 2n, ïîÿâëÿþùèéñÿ â áèíîìèàëüíîìðàçëîæåíèè Sn , èìååò ïîõîæèå íà (2.55) àñèìïòîòè÷åñêèå ïðåäñòàâëåíèÿ ñòåìè æå êðèòè÷åñêîé ðàçìåðíîñòüþ ∆k + ∆p = 2n∆θ , à âìåñòå îíè îáðàçóþò åäèíóþ àñèìïòîòèêó (2.63). Ãëàâíûå ÷ëåíû äëÿ ýòèõ êîððåëÿòîðîâ,ñâÿçàííûå ñî âêëàäàìè îïåðàòîðà θn â ñîîòâåòñòâóþùåå îïåðàòîðíîå ðàçëîæåíèå, êîìïåíñèðóþò äðóã äðóãà â ñòðóêòóðíîé ôóíêöèè.
Èç-çà ýòîãîñòðóêòóðíàÿ ôóíêöèÿ â èíåðöèîííîì èíòåðâàëå ïðèîáðåòàåò íåòðèâèàëüíóþ çàâèñèìîñòü îò r.Äåéñòâèòåëüíî, îáå ôóíêöèè (2.62) è äåéñòâèå (2.8) äëÿ òðåéñåðà (íåäëÿ ïëîòíîñòè!) èíâàðèàíòíû îòíîñèòåëüíî ñäâèãà íà ïîñòîÿííóþ θ(x) →θ(x) + const. Òîãäà îïåðàòîðû, âõîäÿùèå â ñîîòâåòñòâóþùåå îïåðàòîðíîå64ðàçëîæåíèå[θ(t, x) − θ(t, x0 ]2n 'XFCF (mr, c(r)) F (t, x),r → 0,x = (x + x0 )/2,(2.64)äîëæíû òàêæå áûòü èíâàðèàíòíûìè, òàê ÷òî îíè ìîãóò âêëþ÷àòü ïîëå θòîëüêî â âèäå ïðîèçâîäíûõ.
Î÷åâèäíî, ãëàâíûé ÷ëåí ïðè ìàëûõ m îïðåäåëÿåòñÿ ñêàëÿðíûì îïåðàòîðîì ñ ìàêñèìàëüíî âîçìîæíûì ÷èñëîì ïîëåé θ(à èìåííî 2n äëÿ äàííîé Sn ) è ìèíèìàëüíî âîçìîæíûì ÷èñëîì ïðîñòðàíñòâåííûõ ïðîèçâîäíûõ (à èìåííî, 2n: ïî îäíîé ïðîèçâîäíîé íà êàæäîå ïîëåθ). Íè÷åãî, êðîìå îïåðàòîðà F (2n,0) = (∂i θ∂i θ)n èç (2.40) íå ïîäîéä¼ò. Òîãäà èíòåðåñóþùèé íàñ ãëàâíûé ïîðÿäîê âûðàæåíèÿ äëÿ Sn â èíåðöèîííîìèíòåðâàëå:Sn (r) ∼ (νµ2 )−n (µr)−2n∆θ (mr)∆(2n,0) ,(2.65)ãäå ðàçìåðíîñòü ∆(2n,0) çàäàíà â (2.51).
Îïåðàòîðû F (2p,0) ñ p < n îïðåäåëÿþò ãëàâíûå ïîïðàâêè ê (2.65), îïåðàòîðû ñ äîïîëíèòåëüíûìè ïðîèçâîäíûìè è/èëè äðóãèå òèïû ïîëåé îòíîñÿòñÿ ê áîëåå äàëüíèì ïîïðàâêàì (îíèâñå äîëæíû áûòü èíâàðèàíòíûìè îòíîñèòåëüíî ãàëèëååâûõ ïðåîáðàçîâàíèé è ñäâèãà θ).Äëÿ òðåéñåðà ìóëüòèôðàêòàëüíîå ïîâåäåíèå âûðàæàåòñÿ ñåìåéñòâîìîïåðàòîðîâ F (n,0) à íå ïðîñòî ïðîèçâåäåíèåì θn . Äåéñòâèòåëüíî, ëåãêî ïîíÿòü, ÷òî â èíåðöèîííîì èíòåðâàëå ïîâåäåíèå ïàðíîé êîððåëÿöèîííîé ôóíêöèè hF (p,0) F (k,0) i äâóõ òàêèõ îïåðàòîðîâ îïðåäåëÿåòñÿ âêëàäîì â îïåðàòîðíîå ðàçëîæåíèå îò èõ ñòàðøåãî áðàòà F (n,0) ñ óñëîâèåì n = p + k è èìååòâèä (îïóñêàÿ çàâèñèìîñòü îò ÓÔ ïàðàìåòðîâ µ è ν )hF (p,0) (t, x)F (k,0) (t, x0 )i ∼ r−∆(p,0) −∆(k,0) +∆(n,0) .(2.66)65Òðåáóåìîå íåðàâåíñòâî ∆(n,0) < ∆(p,0) + ∆(k,0) [86] ñëåäóåò èç ÿâíîãî îäíîïåòëåâîãî âûðàæåíèÿ (2.51).
Îñòà¼òñÿ çàìåòèòü, ÷òî îïåðàòîð F (2,0) ìîæíîèíòåðïðåòèðîâàòü êàê ëîêàëüíóþ ñêîðîñòü äèññèïàöèè ôëóêòóàöèé íàøåãî ñêàëÿðíîãî ïîëÿ.2.8.Âëèÿíèå êðóïíîìàñøòàáíîé àíèçîòðîïèèÒåïåðü ðàññìîòðèì âëèÿíèå àíèçîòðîïèè, ââåä¼ííîé â ñèñòåìó íàáîëüøèõ ìàñøòàáàõ ∼ L êîððåëÿöèîííîé ôóíêöèåé ñëó÷àéíîãî øóìà (2.3). êà÷åñòâå èëëþñòðàöèè ðàññìîòðèì ïåðâûé ñëó÷àé îäíîîñíîé àíèçîòðîïèè: ïðåäïîëîæèì, ÷òî ôóíêöèÿ C(r/L) â (2.3) çàâèñèò òàêæå îò ïîñòîÿííîãî åäèíè÷íîãî âåêòîðà n = {ni }, ÷òî âûäåëÿåò íåêîòîðîå íàïðàâëåíèå.Òîãäà òåíçîðíî íåïðèâîäèìûé ñîñòàâíîé îïåðàòîð ïðèîáðåòàåò íåíóëåâîå ñðåäíåå çíà÷åíèå ñ òåíçîðíûìè ìíîæèòåëÿìè, ïîñòðîåííûìè èç âåêòîðà n. Íàïðèìåð, ñðåäíåå çíà÷åíèå îïåðàòîðà (2.41) ïðîïîðöèîíàëüíîíåïðèâîäèìîìó òåíçîðó ni nj − δij /d.  îáùåì, ñðåäíåå çíà÷åíèå ëþáîãîíåïðèâîäèìîãî îïåðàòîðà ðàíãà l ïðîïîðöèîíàëüíî òåíçîðó ni1 .
. . nil + . . .(ìíîãîòî÷èå îçíà÷àåò âêëàäû ñ ñèìâîëàìè Êðîíåêåðà, êîòîðûå äåëàþòýòîò òåíçîð íåïðèâîäèìûì). Ïîñëå ïîäñòàíîâêè â îïåðàòîðíîå ðàçëîæåíèå (2.64), òåíçîðíûå çíà÷êè ñâîðà÷èâàþòñÿ ñî çíà÷êàìè êîýôôèöèåíòíûõôóíêöèé CF (r). Ýòî ïðèâîäèò ê ïîÿâëåíèþ (d-ìåðíîãî îáîáùåíèÿ) ïîëèíîìîâ Ëåæàíäðà Pl (cos ϑ), ãäå ϑ óãîë ìåæäó âåêòîðàìè r è n.Èòàê, îïåðàòîðíîå ðàçëîæåíèå ïî íåïðèâîäèìûì ñîñòàâíûì îïåðàòîðàì äà¼ò ðàçëîæåíèå ïî íåïðèâîäèìûì ïðåäñòàâëåíèÿì ãðóïïû SO(d).Ãëàâíûé âêëàä â îáîëî÷êó ñ çàäàííûì l îïðåäåëÿåòñÿ îïåðàòîðîì ðàíãàl ñ ìèíèìàëüíîé êðèòè÷åñêîé ðàçìåðíîñòüþ (êîíå÷íî, ñèììåòðèÿ ìîäåëè66äîëæíà óäîâëåòâîðÿòüñÿ è ñ ëåâîé ñòîðîíû). Î÷åâèäíî, äëÿ ñòðóêòóðíîé(2n,l)ôóíêöèè Sn ïðè l 6 2n íóæíûé îïåðàòîð Fi1 ...il èç (2.40). Äëÿ l > 2níóæíî âçÿòü îïåðàòîð, ñîäåðæàùèé áîëüøå ïðîèçâîäíûõ, ÷åì ïîëåé.Ðàçëîæåíèå, êîòîðîå ó÷èòûâàåò òîëüêî ãëàâíûé ÷ëåí â êàæäîé îáîëî÷êå, èìååò âèä (ñíîâà ìû îïóñêàåì ν è µ):Sn = r−2n∆θ2nXAl (r) Pl (cos ϑ) (mr)∆(2n,l) + .
. .(2.67)l=0ãäå ðàçìåðíîñòü ∆(2n,l) âçÿòà èç (2.50); ìîæíî çàïèñàòü è âêëàäû ñ l >2n. Äëÿ ñàìîé îáùåé àíèçîòðîïèè íà áîëüøèõ ìàñøòàáàõ âñå ñôåðè÷åñêèåãàðìîíèêè Yls ïîÿâÿòñÿ â ðàçëîæåíèè ñ ýêñïîíåíòàìè, çàâèñÿùèìè òîëüêîîò l.Èç ÿâíîãî âèäà ãëàâíîãî ïîðÿäêà ðàçëîæåíèÿ (2.51) ñëåäóåò, ÷òî ðàçìåðíîñòè (2.50), äëÿ ôèêñèðîâàííîãî n, ìîíîòîííî âîçðàñòàþò ñ ðîñòîìl:∆n,l > ∆n,pl > p,(2.68)èëè â äèôôåðåíöèàëüíîé ôîðìå ∂∆n,l /∂l > 0.
Ïîõîæèå íåðàâåíñòâà áûëè ïîëó÷åíû ðàíåå â ðàçëè÷íûõ ìîäåëÿõ ïàññèâíî ïåðåíîñèìûõ âåêòîðíîãî [13, 14] è ñêàëÿðíîãî [45] ïîëåé. Ýòîò ôàêò èìååò ÿñíóþ ôèçè÷åñêóþèíòåðïðåòàöèþ: â ïðèñóòñòâèè êðóïíîìàñøòàáíîé àíèçîòðîïèè àíèçîòðîïíûå âêëàäû â èíåðöèîííîì èíòåðâàëå âûñòðîåíû â ñâÿçè ñî ñòåïåíüþàíèçîòðîïèè l: ãëàâíûé âêëàä çàäà¼òñÿ èçîòðîïíîé îáîëî÷êîé (l = 0);ñîîòâåòñòâóþùèå àíîìàëüíûå ïîêàçàòåëè òàêèå æå, êàê è äëÿ ÷èñòî èçîòðîïíîãî ñëó÷àÿ.
Ñëàãàåìûå ñ l > 1 äàþò âêëàäû, êîòîðûå ñòàíîâÿòñÿîòíîñèòåëüíî ñëàáûìè ïðè mr → 0 è ïðè óâåëè÷åíèè ñòåïåíè àíèçîòðîïèè l. Ýòî íàáëþäåíèå ïîäòâåðæäàåò ãèïîòåçó Êîëìîãîðîâà î ëîêàëüíîì67âîññòàíîâëåíèè èçîòðîïíîé òóðáóëåíòíîñòè. Ýòà ãèïîòåçà íà ñàìîì äåëåóáåäèòåëüíà è íàáëþäàåòñÿ äëÿ òóðáóëåíòíîñòè â ðåàëüíîé æèäêîñòè [87].Èåðàðõèÿ (2.68) ñòàíîâèòñÿ ìåíåå âûðàæåííîé ñ óâåëè÷åíèåì ñòåïåíèñæèìàåìîñòè α, ÷òî ìîæíî âûðàçèòü ñ ïîìîùüþ íåðàâåíñòâà:∂ 2 ∆n,l /∂l∂α < 0. Èòàê, àíèçîòðîïíûå ïîïðàâêè ñòàíîâÿòñÿ áëèæå äðóã êäðóãó è ê èçîòðîïíûì ÷ëåíàì. Ýòîò ýôôåêò óæå íàáëþäàëñÿ ðàíåå äëÿïàññèâíîãî ñêàëÿðíîãî [56, 57] è âåêòîðíîãî [15] ïîëåé.Íàøè ðåçóëüòàòû ïîêàçûâàþò, ÷òî âñå ýòè ñâîéñòâà àíèçîòðîïíûõâêëàäîâ îñòàþòñÿ â ñèëå íå òîëüêî äëÿ óïðîùåííûõ ìîäåëåé ñ èñêóññòâåííûì àíñàìáëåì ñêîðîñòè, íî è äëÿ áîëåå ðåàëèñòè÷íîé ñèòóàöèè.683.
Ïåðåíîñ ïàññèâíîãî ìàãíèòíîãî ïîëÿ3.1.Îïèñàíèå ìîäåëè3.1.1.Àíñàìáëü ñêîðîñòèÀíñàìáëü ñêîðîñòè äëÿ äàííîé çàäà÷è áûë îïèñàí ðàíåå. Íî äëÿ óäîáñòâà ÷èòàòåëÿ çäåñü ìû êðàòêî ïîâòîðèì ââîäíóþ ÷àñòü. Êàê è â ðàáîòàõ [64,88], ìû îïèñûâàåì ñòîõàñòè÷åñêóþ äèíàìèêó ñæèìàåìîé æèäêîñòèäâóìÿ óðàâíåíèÿìè:∇t vi = ν0 [δik ∂ 2 − ∂i ∂k ]vk +µ0 ∂i ∂k vk −∂i φ+fi(3.1)∇t φ = −c20 ∂i vi ,(3.2)ãäå ïåðâîå óðàâíåíèå ýòî óðàâíåíèå Íàâüå-Ñòîêñà, à âòîðîå óðàâíåíèå íåðàçðûâíîñòè [58] ñ äâóìÿ óñëîâèÿìè: êèíåìàòè÷åñêèå êîýôôèöèåíòûâÿçêîñòè ν0 è µ0 ïîäðàçóìåâàþòñÿ ïîñòîÿííûìè, òî åñòü íåçàâèñèìûìè îòx = {t, x}; óðàâíåíèå ñîñòîÿíèÿ ðàññìàòðèâàåì â ñàìîé ïðîñòîé ëèíåéíîéôîðìå (p − p̄) = c20 (ρ − ρ̄), ãäå ñâÿçûâàþòñÿ ðàçíîñòè p(x) äàâëåíèÿ æèäêîñòè è ρ(x) å¼ ïëîòíîñòè ñ ñîîòâåòñòâóþùèìè ñðåäíèìè çíà÷åíèÿìè;ïîñòîÿííàÿ c0 èìååò ñìûñë (àäèàáàòè÷åñêîé) ñêîðîñòè çâóêà. óðàâíåíèÿõ (3.1), (3.2), v = {vi (x)} ýòî ïîëå ñêîðîñòè è, âìåñòîïëîòíîñòè, ìû èñïîëüçóåì ñêàëÿðíóþ âåëè÷èíó, îïðåäåë¼ííóþ ñîîòíîøåíèåì φ(x) = c20 ln(ρ(x)/ρ̄).
Òàêæå,∇t = ∂t + vk ∂k(3.3)69ýòî ëàãðàíæåâà (ãàëèëååâî êîâàðèàíòíàÿ) ïðîèçâîäíàÿ, ∂t = ∂/∂t, ∂i =∂/∂xi , è ∂ 2 = ∂i ∂i îïåðàòîð Ëàïëàñà. Çàäà÷à èçó÷àåòñÿ â d-ìåðíîì (äëÿîáùíîñòè) ïðîñòðàíñòâå x = {xi }, i = 1 . . . d, ñóììèðîâàíèå ïî ïîâòîðÿþùèìñÿ ëàòèíñêèì çíà÷êàì çäåñü è äàëåå ïîäðàçóìåâàåòñÿ. óðàâíåíèè Íàâüå-Ñòîêñà (3.1), fi ïëîòíîñòü âíåøíåé ñèëû (íàåäèíèöó ìàññû), îíà èìèòèðóåò ýíåðãèþ, ââåä¼ííóþ â ñèñòåìó íà áîëüøîì ìàñøòàáå. Ñòàòèñòèêà âíåøíåé ñèëû ïðèíèìàåòñÿ ãàóññîâîé ñ íóëåâûì ñðåäíèì, íåêîððåëèðîâàííîé âî âðåìåíè (÷òî ïðîäèêòîâàíî ãàëèëååâîé ñèììåòðèåé) ñ çàäàííûì êîððåëÿòîðîì:00hfi (x)fj (x )i = δ(t − t )dkDijf (k) exp{ik · x},dk>m (2π)Z(3.4)ãäåDijf (k)= D0 k4−d−ynok⊥Pij (k) + αPij (k) .(3.5)kÇäåñü Pij⊥ (k) = δij − ki kj /k 2 è Pij (k) = ki kj /k 2 ýòî ïîïåðå÷íûé è ïðîäîëüíûé ïðîåêòîðû ñîîòâåòñòâåííî, k = |k| ýòî âîëíîâîå ÷èñëî (èìïóëüñ), D0è α ïîëîæèòåëüíûå àìïëèòóäû.
Ïàðàìåòð g0 = D0 /ν03 èãðàåò ðîëü êîíñòàíòû ñâÿçè (ïàðàìåòð ðàçëîæåíèÿ â òåîðèè âîçìóùåíèé); ñîîòíîøåíèåg0 ∼ Λy îïðåäåëÿåò òèïè÷íûé óëüòðàôèîëåòîâûé (ÓÔ) ìàñøòàá èìïóëüñîâ. Ïàðàìåòð m ∼ L−1 , îáðàòíûé èíòåãðàëüíîìó òóðáóëåíòíîìó ìàñøòàáó, îáåñïå÷èâàåò ÈÊ ðåãóëÿðèçàöèþ; åãî òî÷íîå çíà÷åíèå íåñóùåñòâåííî.Ñïîñîá îáðåçàíèÿ âûáðàí ñàìûì ïðîñòûì äëÿ âû÷èñëåíèÿ. Ïîêàçàòåëü0 < y 6 4 èãðàåò ðîëü, àíàëîãè÷íóþ ε = 4 − d â Ðà òåîðèè êðèòè÷åñêîãî ïîâåäåíèÿ [41, 80]: îí îáåñïå÷èâàåò ÓÔ ðåãóëÿðèçàöèþ (òàê ÷òî ÓÔðàñõîäèìîñòè áóäóò èìåòü âèä ïîëþñîâ ïî y ) è ðàçëè÷íûå ñêåéëèíãîâûå70ðàçìåðíîñòè âû÷èñëåíû â âèäå ðàçëîæåíèÿ ïî y .
Ñàìîå ðåàëèñòè÷íîå (ôèçè÷íîå) çíà÷åíèå ïîëó÷èòñÿ â ïðåäåëå y → 4: òîãäà ôóíêöèþ (3.5) ìîæíîâûðàçèòü â âèäå ñòåïåíåé ôóíêöèè δ(k), ÷òî îòíîñèòñÿ ê èäåàëèçèðîâàííîéêàðòèíå äëÿ ýíåðãèè, âíåñ¼ííîé íà áîëüøèõ ìàñøòàáàõ.Êàê áûëî íàïèñàíî ðàíåå, áîëåå äåòàëüíàÿ äèñêóññèÿ î ñæèìàåìîéìîäåëè (3.1)(3.5) ïðåäñòàâëåíà â [64, 88].3.1.2.Óðàâíåíèå ÌÃÄ ïðåäñòàâëåíèè ïîñòîÿííîãî ôîíîâîãî ïîëÿ Bi0 = B 0 ni ñ íåêîòîðûìïîñòîÿííûì åäèíè÷íûì âåêòîðîì n = {ni }, äèíàìè÷åñêîå óðàâíåíèå äëÿôëóêòóèðóþùåé ÷àñòè θi = θi (t, x) ïîëíîãî ìàãíèòíîãî ïîëÿ Bi = B 0 (ni +θi ) èìååò âèä:∂t θi + ∂k (vk θi − θk vi ) = κ0 ∂ 2 θi + nk ∂k vi ,(3.6)ãäå κ0 = c2l /4πσ ìàãíèòíûé êîýôôèöèåíò äèôôóçèè. Óðàâíåíèå (3.6) ïîëó÷åíî èç óðàâíåíèé Ìàêñâåëëà, â êîòîðûõ îòáðîøåí òîê ñìåùåíèÿ. Ïðîñòåéøàÿ ôîðìà çàêîíà Îìà äëÿ äâèæóùåéñÿ ñðåäû: j = σ E + c−1l [v, B] ,ãäå σ ïðîâîäèìîñòü, cl ñêîðîñòü ñâåòà; ñì. [89].Ïîñëåäíåå ñëàãàåìîå â ïðàâîé ÷àñòè (3.6) îïðåäåëÿåò ñòàöèîíàðíîåñîñòîÿíèå ñèñòåìû è, ïî ñóòè, ÿâëÿåòñÿ èñòî÷íèêîì àíèçîòðîïèè; â ïðèíöèïå, åãî ìîæíî çàìåíèòü íà èñêóññòâåííûé ãàóññîâûé øóì ñ ñîîòâåòñòâóþùåé ñòàòèñòèêîé.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
