Диссертация (1150683), страница 11
Текст из файла (страница 11)
óðàâíåíèå (3.24) â [88]. Ïîõîæåå ñîâïàäåíèå ìåæäó ïàññèâíûìñêàëÿðíûì è ìàãíèòíûì ïîëåì â êèíåìàòè÷åñêîì ïîäõîäå ðàíåå íàáëþäàëîñü äëÿ íåñæèìàåìîãî ñëó÷àÿ (ñì. íàïðèìåð, [43]); èíîãäà òàêîå ñõîäñòâîîñòà¼òñÿ è äëÿ äâóõïåòëåâîãî ïðèáëèæåíèÿ [35].803.3.Ðà óðàâíåíèÿ, íåïîäâèæíàÿ òî÷êà è êðèòè÷åñêèå ðàçìåðíîñòè ýòîé ðàáîòå ìû òîëüêî ïîâåðõíîñòíî îáñóæäàåì âûâîä èíôðàêðàñ-íîãî ñêåéëèíãîâîãî ïîâåäåíèÿ èç óðàâíåíèé ðåíîðìãðóïïû; âñ¼ ïî÷òè òî÷íî òàê æå, êàê è äëÿ ñêàëÿðíîãî ñëó÷àÿ, îáñóæä¼ííîãî â [88] â ïîäðîáíîñòÿõ.Ìóëüòèïëèêàòèâíàÿ ðåíîðìèðóåìîñòü òåîðåòèêî-ïîëåâîé ìîäåëè (3.8)ïîçâîëÿåò íàì ïîëó÷èòü ñòàíäàðòíûì ïóò¼ì Ðà óðàâíåíèÿ äëÿ ðåíîðìèðîâàííûõ ôóíêöèé ÃðèíàG(e, µ, .
. . ) = hΦ . . . ΦiR .Çäåñü e = {g, ν, u, v, w, c, m, α} ýòî ïîëíûé íàáîð ðåíîðìèðîâàííûõ ïàðàìåòðîâ, µ õàðàêòåðíûé ìàñøòàá èìïóëüñîâ, à ïîä ìíîãîòî÷èåì ìûïîíèìàåì äðóãèå àðãóìåíòû (âðåìåíà/÷àñòîòû è êîîðäèàíòû/èìïóëüñû).Äëÿ óäîáñòâà ìû ââåëè çäåñü òðè áåçðàçìåðíûõ îòíîøåíèÿ: u0 = µ0 /ν0è v0 = χ0 /ν0 , ñâÿçàííûå ñ êîýôôèöèåíòàìè âÿçêîñòè è äèôôóçèè ìîäåëè(3.1), (3.2); w0 = κ0 /ν0 îòíîñèòñÿ ê ìàãíèòíîìó êîýôôèöèåíòó äèôôóçèè;u, v, w èõ ðåíîðìèðîâàííûå àíàëîãè.Óðàâíåíèå ðåíîðìãðóïïû ïîêàçûâàåò íåçàâèñèìîñòü ðåíîðìèðîâàííûõ ôóíêöèé Ãðèíà îò ê èçìåíåíèÿ ìàñøòàáà µ, ïðè ôèêñèðîâàííûõ çàòðàâî÷íûõ ïàðàìåòðàõ e0 :(eµ +D)XNΦ γΦG(e, µ, . .
. ) = 0.(3.29)Φeµ åñòüÇäåñü è äàëåå ìû ñ÷èòàåì, ÷òî Dx ≡ x∂x äëÿ ëþáîé ïåðåìåííîé x, Dîïåðàöèÿ Dµ ≡ µ∂µ ïðè ôèêñèðîâàííûõ e0 .  òåðìèíàõ ðåíîðìèðîâàííûõ81ïåðåìåííûõ, îíà ïðèíèìàåò çíà÷åíèå :eµ = Dµ + βg ∂g + βu ∂u + βv ∂v + βw ∂w − γν Dν − γc Dc .D(3.30)Àíîìàëüíàÿ ðàçìåðíîñòü γF âåëè÷èíû F (ïîëå èëè ïàðàìåòð) îïðåäåëÿåòñÿ ñîîòíîøåíèåìeµ ln ZF ,γF = D(3.31)è β -ôóíêöèè äëÿ áåçðàçìåðíûõ ïàðàìåòðîâ (êîíñòàíò ñâÿçè):eµ g = g [−y − γg ],βg = Deµ u = −uγu ,βu = D(3.32)òî æå áóäåò è äëÿ βv , βw . Âòîðîå âûðàæåíèå ñëåäóåò èç îïðåäåëåíèÿ èñîîòíîøåíèé òèïà (3.14).Çàìåòèì, ÷òî èç îïðåäåëåíèÿ w0 ñëåäóåò, ÷òî Zκ = Zν Zw , òàê ÷òîβw = w[γν − γw ].(3.33)Âîçìîæíûå òèïû ÈÊ àñèìïòîòè÷åñêîãî ïîâåäåíèÿ ñâÿçàíû ñ ÈÊ ïðèòÿãèâàþùåé íåïîäâèæíîé òî÷êîé â Ðà óðàâíåíèÿõ.
Êîîðäèíàòû g∗ = {gi∗ }ôèêñèðîâàííîé òî÷êè íàéäåíû èç óðàâíåíèéβi (g∗ ) = 0,(3.34)eµ gi ñîîòâåòñòâóþùèåãäå g = {gi } ïîëíûé íàáîð êîíñòàíò ñâÿçè, à βi = Dèì β -ôóíêöèè. Ñâîéñòâà ôèêñèðîâàííîé òî÷êè îïðåäåëÿþòñÿ ìàòðèöåéΩij = ∂βi /∂gj |g=g∗ .(3.35)Äëÿ ÈÊ íåïîäâèæíîé òî÷êè ìàòðèöà Ω ïîëîæèòåëüíî îïðåäåëåíà (ïîòîìóêàê âåùåñòâåííûå ÷àñòè âñåõ ñîáñòâåííûõ ÷èñåë ïîëîæèòåëüíû).82Àíàëèç ïðåäñòàâëåí â [64] (ñì. òàêæå [88]): â ïðèáëèæåíèè ãëàâíîãîïîðÿäêà (îäíîé ïåòëè) ïîêàçàíî, ÷òî Ðà óðàâíåíèÿ äëÿ ìîäåëè Sv , ñîîòâåòñòâóþùåé ñòîõàñòè÷åñêîé çàäà÷å Íàâüå-Ñòîêñà (3.1), (3.2), èìåþò åäèíñòâåííóþ ÈÊ ïðèòÿãèâàþùóþ íåïîäâèæíóþ òî÷êó â ôèçè÷åñêîé îáëàñòèïàðàìåòðîâ (g, u, v > 0):ĝ∗ =4dy+ O(y 2 ),3(d − 1)u∗ = 1 + O(y),v∗ = 1 + O(y).(3.36)Äëÿ îïðåäåë¼ííûõ ñîîòíîøåíèé ìåæäó ðåíîðìàëèçàöèîííûìè êîíñòàíòàìè [64], òî÷íûé ðåçóëüòàòγν∗ = y/3(3.37)(áåç ïîïðàâîê ïîðÿäêà y 2 è âûøå). Çäåñü è äàëåå, γi∗ çíà÷åíèå àíîìàëüíîéðàçìåðíîñòè γi â íåïîäâèæíîé òî÷êå.Òåïåðü ïîäñòàâèì îäíîïåòëåâûå âûðàæåíèÿ (3.28), (3.36) è òî÷íûéðåçóëüòàò (3.37) â óðàâíåíèå (3.33).
Òîãäà óðàâíåíèå βw = 0 ñâîäèòñÿ (ïîñëåíåêîòîðûõ ïðîñòûõ àëãåáðàè÷åñêèõ ïðåîáðàçîâàíèé) ê óðàâíåíèþ(w − 1)[(d − 1)(w + 1)(w + 2) + 2α] = 0,(3.38)êîòîðîå èìååò òîëüêî îäíî ïîëîæèòåëüíîå ðåøåíèå w∗ = 1, ñ âîçìîæíûìèïîïðàâêàìè òèïà O(y) è âûøå.Òàê êàê ôóíêöèÿ βg,u,v íå çàâèñèò îò w, íîâîå ñîáñòâåííîå ÷èñëî ìàòðèöû (3.35) ñîâïàäàåò ñ äèàãîíàëüíûì ýëåìåíòîì∂βw /∂w|g=g∗ = y {3(d − 1) + α} /6(d − 1) > 0;òàê ÷òî íåïîäâèæíàÿ òî÷êà (3.36) è w∗ = 1 ïîëíîé ìîäåëè îñòà¼òñÿ ÈÊïðèòÿãèâàþùåé.83Ñóùåñòâîâàíèå ÈÊ ïðèòÿãèâàþùåé íåïîäâèæíîé òî÷êè â ôèçè÷åñêîéîáëàñòè ïàðàìåòðîâ ïîäðàçóìåâàåò íàëè÷èå ñêåéëèíãîâîãî ïîâåäåíèÿ â ÈÊîáëàñòè.
Êðèòè÷åñêàÿ ðàçìåðíîñòü íåêîòîðîé âåëè÷èíû F (ïîëå èëè ïàðàìåòð) îïðåäåëÿåòñÿ ñîîòíîøåíèåì (ñì. [41, 43])∆F = dkF + ∆ω dωF + γF∗ ,∆ω = 2 − γν∗ = 2 − y/3.(3.39)Çäåñü dkF è dωF êàíîíè÷åñêèå ðàçìåðíîñòè âåëè÷èíû F , γF∗ çíà÷åíèåàíîìàëüíîé ðàçìåðíîñòè γF â íåïîäâèæíîé òî÷êå, à ∆ω êðèòè÷åñêàÿðàçìåðíîñòü ÷àñòîòû.Êðèòè÷åñêèå ðàçìåðíîñòè ïîëåé è ïàðàìåòðîâ ìîäåëè, îïèñàííîé äåéñòâèåì Sv èç óðàâíåíèÿ (3.8), ïðåäñòàâëåíû â [64]; ñì.
òàêæå [88].  äîáàâîê,íàøà ïîëíàÿ ìîäåëü âêëþ÷àåò â ñåáÿ åù¼ äâå êðèòè÷åñêèå ðàçìåðíîñòè:∆θ = −1 + y/6,∆θ0 = d + 1 − y/6.Ýòè âûðàæåíèÿ òî÷íûå, ïîòîìó êàê ïîëÿ θ è θ0 íå ðåíîðìèðóþòñÿ.(3.40)843.4.Ñîñòàâíûå ïîëÿ è èõ ðàçìåðíîñòèÂàæíóþ ðîëü â ïîñëåäóþùèõ ðàññóæäåíèÿõ áóäóò èãðàòü ñîñòàâíûåïîëÿ (ñîñòàâíûå îïåðàòîðû â êâàíòîâî-ïîëåâîé òåðìèíîëîãèè).  îáùåìñëó÷àå ëîêàëüíûé ñîñòàâíîé îïåðàòîð ýòî ìîíîì èëè ïîëèíîì, ïîñòðîåííûé èç íà÷àëüíûõ (îáû÷íûõ) ïîëåé Φ(x) è èõ ïðîèçâîäíûõ êîíå÷íîãî ïîðÿäêà â îäíîé òî÷êå ïðîñòðàíñòâà-âðåìåíè x.  ôóíêöèÿõ Ãðèíà ñ òàêèìèîáúåêòàìè íîâûå ÓÔ-ðàñõîäèìîñòè ïîÿâëÿþòñÿ èç-çà ñîâïàäåíèÿ àðãóìåíòîâ ïîëåé.
Èõ íóæíî óñòðàíÿòü äîïîëíèòåëüíîé ïðîöåäóðîé ðåíîðìèðîâêè. Êàê ïðàâèëî, îïåðàòîðû ïðè ðåíîðìèðîâêå ñìåøèâàþòñÿ: ðåíîðìèðîâàííûå îïåðàòîðû (÷üè ôóíêöèè Ãðèíà ÓÔ-êîíå÷íû) çàäàþòñÿ êîíå÷íîéñóììîé èçíà÷àëüíûõ ìîíîìîâ. Êàê áû òî íè áûëî, â íàøåì ñëó÷àå èìååò ìåñòî òîëüêî ñàìûé ïðîñòîé ñëó÷àé, êîãäà íà÷àëüíûé îïåðàòîð F (x) èåãî ðåíîðìèðîâàííûé àíàëîã F R (x) ñâÿçàíû ìóëüòèïëèêàòèâíîé ðåíîðìèðîâêîé F (x) = ZF F R (x) ñ åäèíñòâåííîé ðåíîðìàëèçàöèîííîé ïîñòîÿííîéZF . Òîãäà êðèòè÷åñêàÿ ðàçìåðíîñòü ∆F îïåðàòîðà F çàäà¼òñÿ òåì æå ñàìûì âûðàæåíèåì (3.39) è, â îáùåì ñëó÷àå, îòëè÷àåòñÿ îò ïðîñòîé ñóììûðàçìåðíîñòåé ïîëåé è ïðîèçâîäíûõ, ñîñòàâëÿþùèõ îïåðàòîð.Ìû ñêîíöåíòðèðóåìñÿ íà íåïðèâîäèìîì òåíçîðíîì îïåðàòîðå, ïîñòðîåííîì òîëüêî èç ïîëåé θ. Îí èìååò âèäFnl ≡ θi1 (x) · · · θil (x) (θi (x)θi (x))s + .
. . ,(3.41)ãäå l 6 n ÷èñëî ñâîáîäíûõ òåíçîðíûõ çíà÷êîâ, è n = l + 2s ÷èñëî ïîëåé θ âõîäÿùèõ â îïåðàòîð; òåíçîðíûå çíà÷êè è àðãóìåíò x âåëè÷èíû Fnlîïóùåíû. Ìíîãîòî÷èå ïîäðàçóìåâàåò ïîäõîäÿùèå âû÷èòàíèÿ, â êîòîðûõåñòü äåëüòà-ñèìâîëû Êðîíåêåðà, êîòîðûå äåëàþò âûðàæåíèå áåññëåäîâûì85ñ ó÷¼òîì âñåõ ñâ¼ðòîê ïî ïàðíûì èíäåêñàì. Íàïðèìåð, θi θj − δij (θk θk /d) èòàê äàëåå.Ïîëíàÿ êàíîíè÷åñêàÿ ðàçìåðíîñòü ëþáîé 1-íåïðèâîäèìîé ôóíêöèèÃðèíà Γ ñ îäíèì îïåðàòîðîì F (x) è ïðîèçâîëüíûì ÷èñëîì íà÷àëüíûõ ïîëåé (ôîðìàëüíûé èíäåêñ ÓÔ-ðàñõîäèìîñòè) îïðåäåëÿåòñÿ âûðàæåíèåìδΓ = d F −XNΦ dΦ ,(3.42)Φãäå NΦ ÷èñëî ïîëåé, âõîäÿùèõ â Γ, dΦ èõ ïîëíûå êàíîíè÷åñêèå ðàçìåðíîñòè, è dF êàíîíè÷åñêàÿ ðàçìåðíîñòü îïåðàòîðà.
Ïîâåðõíîñòíûå ÓÔðàñõîäèìîñòè ìîãóò ïîÿâèòüñÿ òîëüêî â ôóíêöèÿõ Γ ñ íåîòðèöàòåëüíûìöåëûì δΓ . Äëÿ îïåðàòîðîâ (3.41) èç Òàáëèöû 1 â [88] ëåãêî ïîíÿòü, ÷òîdF = −n. Ëèíåéíîñòü óðàâíåíèÿ (3.6) ïî ïîëþ θ íàêëàäûâàåò îãðàíè÷åíèå: Nθ â (3.42) íå ìîæåò ïðåâûøàòü ÷èñëî ïîëåé θ â îïåðàòîðå F . Ïðÿìîéàíàëèç ïîêàçûâàåò, ÷òî ïîâåðõíîñòíûå ÓÔ-ðàñõîäèìîñòè (δΓ > 0) äëÿ Fnlìîãóò ïîÿâèòüñÿ òîëüêî â 1-íåïðèâîäèìûõ ôóíêöèÿõ ñ Nθ0 = Nv = 0 èNθ = n; âñå îíè ëîãàðèôìè÷íûå: δΓ = 0. Ïðîñòàÿ ïðîâåðêà ïîêàçûâàåò, ÷òîñìåøàííûé ïðîïàãàòîð hθvi0 íå ïîÿâëÿåòñÿ â íóæíûõ äèàãðàììàõ Ôåéíìàíà; äðóãèìè ñëîâàìè, ïîñëåäíèé ÷ëåí â ïðàâîé ÷àñòè óðàâíåíèÿ (3.6) äëÿíàñ íå âàæåí. Áåç ýòîãî ñëàãàåìîãî ìîäåëü ñòàíîâèòñÿ O(d)-èíâàðèàíòíîé. ñâîþ î÷åðåäü, ýòî îçíà÷àåò, ÷òî íåïðèâîäèìûå îïåðàòîðû ñ ðàçíûì ÷èñëîì l íå ìîãóò ñìåøèâàòüñÿ äðóã ñ äðóãîì.
È, íàêîíåö, ìû çàêëþ÷àåì, ÷òîRîïåðàòîðû (3.41) ðåíîðìèðóþòñÿ ìóëüòèïëèêàòèâíî: Fnl = Znl Fnlè ïå-ðåõîäèì ê îäíîïåòëåâîìó ðàñ÷¼òó ðåíîðìàëèçàöèîííûõ ïîñòîÿííûõ Znl èêðèòè÷åñêîé ðàçìåðíîñòè îïåðàòîðà (3.41), êîòîðóþ ìû îáîçíà÷èì çà ∆nl .Ïóñòü Γ(x; θ) ýòî ïðîèçâîäÿùèé ôóíêöèîíàë 1-íåïðèâîäèìûõ ôóíê-86öèé Ãðèíà ñ îäíèì ñîñòàâíûì îïåðàòîðîì F (x) = Fnl è ëþáûì ÷èñëîìïîëåé θ.
Çäåñü x = {t, x} ýòî àðãóìåíò îïåðàòîðà, à θ ôóíêöèîíàëüíûéàðãóìåíò, êëàññè÷åñêèé àíàëîã ñëó÷àéíîãî ïîëÿ θ. Íàñ èíòåðåñóåò n-ûé÷ëåí ðàçëîæåíèÿ Γ(x; θ) ïî θ, êîòîðûé ìû îáîçíà÷èì çà Γn (x; θ). Ìîæíîçàïèñàòü åãî òàê:ZΓn (x; θ) =dx1 · · ·Zdxn θ(x1 ) · · · θ(xn ) hF (x)θ(x1 ) · · · θ(xn )i1−ir .(3.43) îäíîïåòëåâîì ïðèáëèæåíèè ôóíêöèþ (3.43) äèàãðàììíî ìîæíî èçîáðàçèòü òàê:Γn (x; θ) = F (x) +12(3.44)Ïåðâîå ñëàãàåìîå ýòî äðåâåñíîå (áåñïåòëåâîå) ïðèáëèæåíèå, à æèðíàÿ òî÷êà ñ äâóìÿ âûõîäÿùèìè ëèíèÿìè íà äèàãðàììå îáîçíà÷àåò îïåðàòîð âåðøèíû, ìû åãî îáñóäèì ïîçæå.Ðåíîðìàëèçàöèîííàÿ êîíñòàíòà Znl äëÿ îïåðàòîðà (3.41) íàõîäèòñÿ−1èç óñëîâèÿ, ÷òî ðåíîðìèðîâàííûé àíàëîã ΓRn = Znl Γn ôóíêöèè (3.43) ÓÔ-êîíå÷åí â òåðìèíàõ ðåíîðìèðîâàííûõ ïàðàìåòðîâ.Äëÿ ïðàêòè÷åñêèõ ðàñ÷¼òîâ óäîáíî ñâåðíóòü òåíçîðû (3.41) ñ ïðîèçâîëüíûì ïîñòîÿííûì âåêòîðîì λ = {λi }.
Òîãäà ïîëó÷àåì ñêàëÿðíûéîïåðàòîð:F (n,l) = (λi θi )l (θi θi )s + . . . ,(3.45)ãäå âû÷èòàíèÿ, îáîçíà÷åííûå çà ìíîãîòî÷èÿ, îáÿçàòåëüíî âêëþ÷àþò ìíîæèòåëè λ2 = λi λi .Ñ íåîáõîäèìîé àêêóðàòíîñòüþ ìîæíî çàìåíèòü ðåíîðìàëèçàöèîííûåïîñòîÿííûå â äèàãðàììàõ íà åäèíèöû, òàê ÷òî D0 → gν 3 µy , u0 → u è87òàê äàëåå. Áîëåå òîãî, íàñ èíòåðåñóþò àíîìàëüíûå ðàçìåðíîñòè â êðèòè÷åñêîé òî÷êå, òàê ÷òî ìîæíî â äàëüíåéøåì ïîëîæèòü u = w = 1. Òàê êàêäèàãðàììà ðàñõîäèòñÿ ëîãàðèôìè÷íî, ìîæíî ïîëîæèòü âíåøíèå ÷àñòîòûè èìïóëüñû ðàâíûìè íóëþ.Êàê è äëÿ ðàñ÷¼òà äèàãðàììû ñîáñòâåííîé ýíåðãèè â ðàçäåëå 3.2.2,çäåñü è äàëåå ìû èñïîëüçóåì öèôðû (âìåñòî ëàòèíñêèõ áóêâ) äëÿ îáîçíà÷åíèÿ òåíçîðíûõ çíà÷êîâ. Òîãäà äèàãðàììó â (3.44) ìîæíî ïåðåïèñàòü òàê:(3.46)V12 (θ) C1278 θ7 θ8 ,ãäå V12 (θ) âåðøèííûé îïåðàòîð (íàðèñîâàííûé êàê æèðíàÿ òî÷êà íà äèàãðàììå), ïîëÿ θ7 θ8 (îáîçíà÷åííûå êàê âîëíèñòûå õâîñòû) ïðèñîåäèíåíû êíèæíèì âåðøèíàì (3.11) (ìàëåíüêèå òî÷êè), C1278 ýòî ÿäðî äèàãðàììû.Îíî èìååò âèäZC1278 =dω2πdk gν 3 µy R1278d22 4 2k>m (2π) (ω + ν k )Z(3.47)ñ òåíçîðíûìè ìíîæèòåëÿìè èç âåðøèí (3.11) è ïðîåêòîðàìè èç ïðîïàãàòîðîâ:R1278 =⊥⊥P13(k)P24(k)n⊥P56(k)+okαP56 (k)V375 (k)V486 (k).(3.48)Èíòåãðèðîâàíèå ïî ÷àñòîòå ïðîâîäèòñÿ òàê:Zdω11=.2π (ω 2 + ν 2 k 4 )24ν 3 k 6(3.49)Ñâ¼ðòêà âåêòîðíûõ çíà÷êîâ â (3.48) ïðèâîäèò ê ñëåäóþùèì èíòåãðàëàì ïî èìïóëüñó:dk 1k⊥P(k)P(k)1278d d+yk>m (2π) kZ(3.50)88äëÿ ïîïåðå÷íîãî âêëàäà â (3.7) èdk 1⊥⊥P17(k) P28(k)dd+yk>m (2π) kZ(3.51)äëÿ ïðîäîëüíîãî.
Ñ ïîìîùüþ ñîîòíîøåíèé (3.22), âñå ýòè èíòåãðàëû ñâîäÿòñÿ ê ñêàëÿðíîìó èíòåãðàëó (3.23).Ñëîæèâ âñå ýòè âêëàäû âìåñòå è ñâåðíóâ ðåçóëüòàò ñ ïîëÿìè θ7 θ8 ,ïîëó÷àåì äëÿ (3.46) ñëåäóþùåå âûðàæåíèå:−D0V12 {T12 + αL12 } ,4d(d + 2)ν 3(3.52)ãäåT12 = (d + 1)δ12 θ2 − 2θ1 θ2èL12 = δ12 θ2 + (d2 − 2)θ1 θ2 .Òåïåðü âåðí¼ìñÿ ê âåðøèííîìó ìíîæèòåëþV12δ 2 Fnl (x)=.δθ1 (x1 )δθ2 (x2 )(3.53)Ìîæíî åãî ïåðåïèñàòü â âèäåV12∂ 2 Fnl (w)=δ(x − x1 )δ(x − x2 ),∂w1 ∂w2(3.54)F (n,l) = (λi wi )l (wi wi )s + . .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
