Диссертация (1150683), страница 10
Текст из файла (страница 10)
 îðèãèíàëüíîé çàäà÷å ïîëå v óäîâëåòâîðÿåò óðàâíåíèþÍàâüå-Ñòîêñà ñ äîáàâî÷íîé ñèëîé Ëîðåíöà ∼ (B × curl B).  íàøåì êèíåìàòè÷åñêîì ïðèáëèæåíèè îáðàòíûì âëèÿíèåì ìàãíèòíîãî ïîëÿ íà äèíàìèêó ñêîðîñòè æèäêîñòè ìîæíî ïðåíåáðå÷ü. Îíà îïèñàíà ñòîõàñòè÷åñêèìè71óðàâíåíèÿìè (3.1)(3.5).3.1.3.Òåîðåòèêî-ïîëåâàÿ ôîðìóëèðîâêàÕîðîøî èçâåñòíî, ÷òî ëþáóþ ñòîõàñòè÷åñêóþ çàäà÷ó òèïà (3.1)(3.5)ìîæíî ïåðåôîðìóëèðîâàòü ñòàíäàðòíûì îáðàçîì â âèäå òåîðåòèêî-ïîëåâîéìîäåëè; ñì. [41, 80].
Òàêèì îáðàçîì, ðàçëè÷íûå êîððåëÿöèîííûå ôóíêöèèèçíà÷àëüíîé ñòîõàñòè÷åñêîé çàäà÷è ìîãóò áûòü ïðåäñòàâëåíû â âèäå ôóíêöèîíàëüíûõ èíòåãðàëîâ ïî óäâîåííîìó íàáîðó ïîëåé Φ ñ âåñîì exp S(Φ),ãäå S(Φ) åñòü, òàê íàçûâàåìûé, ôóíêöèîíàë äåéñòâèÿ Äå Äîìèíèñèñàßíññåíà. Ôóíêöèîíàë äåéñòâèÿ Sv (Φ) äëÿ çàäà÷è (3.1)(3.5) ñ Φ = {v 0 , φ0 , v, φ}âûãëÿäèò ñëèøêîì ãðîìîçäêî, òàê ÷òî ìû íå áóäåì âîñïðîèçâîäèòü åãîçäåñü, òàêæå, êàê è ýëåìåíòû ñîîòâåòñòâóþùåé äèàãðàììíîé òåõíèêè (çàòðàâî÷íûå ïðîïàãàòîðû è âåðøèíû); ìîæíî èõ íàéòè â [64, 88].
Äàëåå íàìáóäåò íóæåí òîëüêî ïðîïàãàòîð ñêîðîñòü-ñêîðîñòü ïðè c0 = 0; â èìïóëüñíî÷àñòîòíîì (ω k) ïðåäñòàâëåíèè îí èìååò âèä:(hvi vj i0 = D0kαPij (k)Pij⊥ (k)+ω 2 + ν02 k 4 ω 2 + u20 ν02 k 4).(3.7)Ïîëíîìàñøòàáíàÿ ñòîõàñòè÷åñêàÿ çàäà÷à (3.1)(3.6) îïèñûâàåòñÿ ôóíêöèîíàëîì äåéñòâèÿS(Φ) = Sv (v 0 , φ0 , v, φ) + Sθ (θ 0 , θ, v),(3.8)Sθ = θi0 −∂t θi − ∂k (vk θi − θk vi ) + κ0 ∂ 2 θi + nk ∂k vi(3.9)ãäåýòî äåéñòâèå Äå Äîìèíèñèñà-ßíññåíà äëÿ çàäà÷è (3.6) ïðè ôèêñèðîâàííîì72v . Ïîÿâëÿåòñÿ íîâûé ïðîïàãàòîðhθi0 θj i0Pij⊥ (k)=−iω + w0 ν0 k 2(3.10)è íîâàÿ âåðøèíà Vijl θi0 θj vl ñ âåðøèííûì ìíîæèòåëåìVijl (k) = i(δij kl − δil kj ).(3.11)Äàëåå ñëåäóåò íåñêîëüêî çàìå÷àíèé. Âî-ïåðâûõ, ïðîèçâîäíóþ â âåðøèíåâ (3.9) ìîæíî ïåðåáðîñèòü íà ïîëå θ 0 èíòåãðèðîâàíèåì ïî ÷àñòÿì; òàê÷òî k â (3.11) ýòî èìïóëüñíûé àðãóìåíò ïîëÿ θ 0 . Âî-âòîðûõ, âåðøèííûéìíîæèòåëü óäîâëåòâîðÿåò óñëîâèþ ïîïåðå÷íîñòèki Vijl (k) = 0,(3.12)êîòîðîå ñëåäóåò èç ÿâíîãî âèäà âåðøèíû (3.11).
Îñòàåòñÿ çàìåòèòü, ÷òîäðóãîé íîâûé ñìåøàííûé ïðîïàãàòîð hθvi0 íå ïîÿâèòñÿ â äèàãðàììàõ.733.2.ÓÔ ðàñõîäèìîñòè è ðåíîðìèðîâêà3.2.1.Êàíîíè÷åñêèå ðàçìåðíîñòè, êîíòð÷ëåíû è ðåíîðìèðóåìîñòüÍà îñíîâàíèè àíàëèçà êàíîíè÷åñêèõ ðàçìåðíîñòåé òåîðåòèêî-ïîëåâîéìîäåëè, ïîñòðîåííîé ïî óðàâíåíèÿì Íàâüå-Ñòîêñà è óðàâíåíèþ íåðàçðûâíîñòè, â 1.3 áûëè ñäåëàíû ñëåäóþùèå çàêëþ÷åíèÿ:(i) Âñå 1-íåïðèâîäèìûå ôóíêöèè Ãðèíà áåç ïîëåé îòêëèêà (øòðèõîâàííûõ) èñ÷åçàþò, è, ïîýòîìó, íå òðåáóþò êîíòð÷ëåíîâ.(ii) Åñëè íåñêîëüêî âíåøíèõ èìïóëüñîâ, ïîÿâëÿþòñÿ êàê îáùèé ìíîæèòåëü âî âñåõ äèàãðàììàõ êàêîé-ëèáî ôóíêöèè Ãðèíà, òî ðåàëüíûé èíäåêñ ðàñõîäèìîñòè δΓ0 ìåíüøå, ÷åì δΓ íà ñîîòâåòñòâóþùåå ÷èñëî åäèíèö. ìîäåëè Sv ïîëå φ âõîäèò â ñîîòâåòñòâóþùóþ âåðøèíó òîëüêî â ôîðìåïðîñòðàíñòâåííîé ïðîèçâîäíîé, ÷òî óìåíüøàåò ðåàëüíûé èíäåêñ ðàñõîäèìîñòè:δΓ0 = δΓ − Nφ .(3.13)(iii) Ãàëèëååâà èíâàðèàíòíîñòü ìîäåëè ïîäðàçóìåâàåò, ÷òî êîíòð÷ëåíû òîæå èíâàðèàíòíû.
 ÷àñòíîñòè, ýòî çíà÷èò, ÷òî êîâàðèàíòíàÿ ïðîèçâîäíàÿ (3.3) ïîÿâëÿåòñÿ â êîíòð÷ëåíàõ òîëüêî êàê öåëîå.Ýòè óñëîâèÿ çàïðåùàþò ÓÔ ðàñõîäèìîñòè â íåêîòîðûõ ôóíêöèÿõÃðèíà, õîòÿ ðàíüøå îíè áûëè ðàçðåøåíû ðàçìåðíûì àíàëèçîì. È, ïîýòîìó,êîëè÷åñòâî êîíòð÷ëåíîâ, íåîáõîäèìîå äëÿ ðåíîðìèðîâêè ìîäåëè, óìåíüøàåòñÿ.Àíàëèç òåîðåòèêî-ïîëåâîé ìîäåëè ñ ôóíêöèîíàëîì äåéñòâèÿ Sv â(3.8), ïðåäñòàâëåííûé â [64] (ñì. òàêæå [88]), ïîêàçàë, ÷òî òåîðèÿ ìóëüòè-74ïëèêàòèâíî ðåíîðìèðóåìà (ïîñëå íåêîòîðîãî åñòåñòâåííîãî ðàñøèðåíèÿ).Ýòî çíà÷èò, ÷òî âñå ÓÔ ðàñõîäèìîñòè â ôóíêöèÿõ Ãðèíà ìîæíî óñòðàíèòüðåíîðìèðîâêîé ïîëåé φ → Zφ φ, φ0 → Zφ0 φ0 è ïàðàìåòðîâ:g0 = gµy Zg ,ν0 Zν ,c0 = cZc ,(3.14)è òàê äàëåå.
Çäåñü ðåíîðìàëèçàöèîííûå êîíñòàíòû Zi ïîãëîùàþò âñå ÓÔðàñõîäèìîñòè, òàê ÷òî âñå ôóíêöèè Ãðèíà êîíå÷íû (òî åñòü, êîíå÷íû ây = 0) åñëè îíè âûðàæåíû ÷åðåç ðåíîðìèðîâàííûå ïàðàìåòðû g, u, è ò.ä.;ðåíîðìèðîâî÷íàÿ ìàññà µ ýòî äîáàâî÷íûé ïàðàìåòð ðåíîðìèðîâàííîéòåîðèè. Ðåíîðìèðîâêà ïîëåé v 0 , v è ïàðàìåòðîâ m, α íå òðåáóåòñÿ.Âêëþ÷åíèå íîâîãî âêëàäà Sθ â ïîëíóþ ìîäåëü äîáàâëÿåò òîëüêî îäíóíîâóþ ÓÔ ðàñõîäèìîñòü â 1-íåïðèâîäèìóþ ôóíêöèþ hθ0 θi1−ir ñ êîíòð÷ëåíîì θ0 ∂ 2 θ. È åùå äâà âàæíûõ çàìå÷àíèÿ:(iv) Èñõîäÿ èõ ëèíåéíîñòè èçíà÷àëüíîé ñòîõàñòè÷åñêîé ìîäåëè ïî ïîëþ θ ñëåäóåò, ÷òî Nθ0 − Nθ åñòü íåîòðèöàòåëüíîå öåëîå ÷èñëî äëÿ ëþáîéíåòðèâèàëüíîé 1-íåïðèâîäèìîé ôóíêöèè Ãðèíà: íèêàêèõ äèàãðàìì áîëüøåíàðèñîâàòü íå ïîëó÷èòñÿ. Ýòîò ôàêò çàïðåùàåò ïîâåðõíîñòíûå ðàñõîäèìîñòè âî âñåõ 1-íåïðèâîäèìûõ ôóíêöèÿõ hθ0 θ .
. . θi1−ir , êðîìå ñàìîé ïåðâîé.Ïîýòîìó íàøà ìîäåëü ÿâëÿòñÿ ðåíîðìèðóåìîé, íåñìîòðÿ íà òîò ôàêò, ÷òîìàãíèòíîå ïîëå èìååò îòðèöàòåëüíóþ êàíîíè÷åñêóþ ðàçìåðíîñòü.(v) Äëÿ ïîëíîé ìîäåëè (3.8), ïóíêòû (ii) è (iii) òðåáóþò äîïîëíèòåëüíîãî îáñóæäåíèÿ. Ïðîèçâîäíóþ â âåðøèíå â Sθ ìîæíî ïåðåáðîñèòü ñïîìîùüþ èíòåãðèðîâàíèÿ ïî ÷àñòÿì íà ïîëå θ0 . Òàê ÷òî ðåàëüíûé èíäåêñðàñõîäèìîñòè óìåíüøàåòñÿ, ñîãëàñíî ïóíêòó (ii), è θ0 âõîäèò â êîíòð÷ëåíòîëüêî â âèäå ïðîñòðàíñòâåííîé ïðîèçâîäíîé.
Âûðàæåíèå (3.13) íóæíî çà-75ìåíèòü íàδΓ0 = δΓ − Nφ − Nθ0 .(3.15)Èòîãî, êîíòð÷ëåí θ0 ∂t θ çàïðåù¼í òàê æå, êàê è θ0 (vi ∂i )θ, ñîãëàñíî ãàëèëååâîé ñèììåòðèè (iii).Åäèíñòâåííûé îñòàâøèéñÿ êîíòð÷ëåí θ0 ∂ 2 θ åñòåñòâåííî âîñïðîèçâîäèòñÿ ìóëüòèïëèêàòèâíîé ðåíîðìèðîâêîé ìàãíèòíîãî êîýôôèöèåíòà äèôôóçèè: κ0 = κZκ . Ðåíîðìèðîâêà ïîëåé θ0 , θ íå òðåáóåòñÿ.Ðåíîðìèðîâàííûé àíàëîã ôóíêöèîíàëà äåéñòâèÿ (3.8) èìååò âèäS R (Φ) = SvR (Φ) + SθR (Φ),(3.16)ãäå S R (Φ) ðåíîðìèðîâàííûé àíàëîã äåéñòâèÿ S(Φ), îïèñàííûé â [64, 88], èSθR = θi0 −∂t θi − ∂k (vk θi − θk vi ) + κZκ ∂ 2 θi + nk ∂k vi(3.17)ðåíîðìèðîâàííàÿ ÷àñòü ïîëíîãî äåéñòâèÿ, êîòîðàÿ îïèñûâàåò âçàèìîäåéñòâèå ñ ìàãíèòíûì ïîëåì.3.2.2.Ðàñ÷¼ò ðåíîðìàëèçàöèîííîé ïîñòîÿííîé Zκ â ãëàâíîì ïîðÿäêåÇäåñü ìû ïðåäñòàâèì ïðàêòè÷åñêèé ðàñ÷¼ò ðåíîðìàëèçàöèîííîé ïîñòîÿííîé Zκ â ãëàâíîì îäíîïåòëåâîì ïðèáëèæåíèè, ÷òî ñîîòâåòñòâóåò òî÷íîñòè ðàñ÷¼òîâ â çàäà÷å Íàâüå-Ñòîêñà (3.1), (3.2), ïðîâåä¼ííûõ â [64].
Õîòÿòàêîé ðàñ÷¼ò äîâîëüíî ïðîñòîé, îí ïîõîæ íà ðàñ÷¼ò äëÿ ãàóññîâîãî àíñàìáëÿ ñêîðîñòè [17], ìû êðàòêî îáñóäèì åãî ñ öåëüþ ïîëíîòû èçëîæåíèÿ èîòìåòèì íåêîòîðûå âàæíûå îñîáåííîñòè.Ïîñòîÿííàÿ Zκ íàõîäèòñÿ èç òðåáîâàíèÿ îòñóòñòâèÿ ÓÔ-ðàñõîäèìîñòåé(ïðè y → 0) 1-íåïðèâîäèìîé ôóíêöèè Ãðèíà hθ0 θi1−ir âûðàæåííîé â ðåíîð-76ìèðîâàííûõ ïåðåìåííûõ.  ÷àñòîòíî-èìïóëüñíîì ïðåäñòàâëåíèè îíà èìååòâèä: ⊥hθ10 θ2 i1−ir (Ω, p) = −κ0 p2 + iΩ P12(p) + Σ12 (Ω, p),(3.18)ãäå Σ12 ýòî îïåðàòîð ñîáñòâåííîé ýíåðãèè çàäàííûé áåñêîíå÷íîé ñóììîé1-íåïðèâîäèìûõ ôåéíìàíîâñêèõ äèàãðàìì, è p = |p|.
Èç-çà áîëüøîãî êîëè÷åñòâà òåíçîðíûõ èíäåêñîâ, âõîäÿùèõ â íàøè âûðàæåíèÿ, ìû èñïîëüçóåìöèôðû (âìåñòî ëàòèíñêèõ áóêâ) äëÿ èõ îáîçíà÷åíèÿ. È ïîäðàçóìåâàåì, ÷òîïî ïîâòîðÿþùèìñÿ öèôðàì ïðîâîäèòñÿ ñóììèðîâàíèå (êàê ïî çíà÷êàì).Åäèíñòâåííàÿ îäíîïåòëåâàÿ äèàãðàììà ñîáñòâåííîé ýíåðãèè âûãëÿäèò òàê:Σ12 =(3.19)Çäåñü âîëíèñòàÿ ëèíèÿ îáîçíà÷àåò çàòðàâî÷íûé ïðîïàãàòîð hvvi0 , îáû÷íàÿëèíèÿ ñ ïåðå÷¼ðêíóòûì êîíöîì çàòðàâî÷íûé ïðîïàãàòîð hθθ0 i0 èç (3.10),ïåðå÷¼ðêíóòûé êîíåö ñîîòâåòñòâóåò ïîëþ θ0 .
Òî÷êè ñ òðåìÿ âûõîäÿùèìèïîëÿìè θ0 , θ, v îáîçíà÷àþò âåðøèíó (3.11). ýòîì ïðèáëèæåíèè ðåíîðìàëèçàöèîííàÿ ïîñòîÿííàÿ â çàòðàâî÷íîìñëàãàåìîì â (3.18) âçÿòà â ïåðâîì ïîðÿäêå ïî g , òîãäà êàê â äèàãðàììå(3.19) âñå Z -òû ïðîñòî çàìåíåíû íà åäèíèöû. Áîëåå òîãî, íàì èíòåðåñíàòîëüêî ðàñõîäÿùàÿñÿ ÷àñòü (3.19), êâàäðàòè÷íàÿ ïî p (ñì. ïðåäûäóùèéðàçäåë). Òàê ÷òî ìû ìîæåì ïîëîæèòü Ω = 0 â (3.18) è îñòàâèòü òîëüêîêâàäðàòè÷íûå ïî p ñëàãàåìûå â ðàçëîæåíèè Σ12 (Ω = 0, p). Êàê è â ìîäåëèÍàâüå-Ñòîêñà, èñêîìàÿ ðàñõîäÿùàÿñÿ ÷àñòü íå çàâèñèò îò c0 ∼ c, òàê ÷òîìîæíî ïðîâîäèòü ðàñ÷¼ò ïðè c = 0; ñì. îáñóæäåíèå ýòîãî âîïðîñà [88].Çíà÷èò, ìû ìîæåì èñïîëüçîâàòü âûðàæåíèå (3.7) äëÿ hvvi0 .77Òîãäà àíàëèòè÷åñêîå âûðàæåíèå äëÿ (3.19) ïðèíèìàåò âèä:dω2πdkΣ12 (Ω = 0, p) = D0V (p)V625 (p + k) ×d 143(2π)k>m()k⊥⊥P35 (k)αP35 (k)P46(k + p)+ 2,224224ω +ν kω +u ν k−iω + wν|k + p|2ZZ(3.20)⊥→ δ46 ìîæåò áûòü ñäåëàíà áëàãîäàðÿ óñëîâèþãäå k = |k|.
Çàìåíà P46ïîïåðå÷íîñòè (3.12) è ñâ¼ðòêè ñ V625 .Èíòåãðèðîâàíèå ïî ÷àñòîòå ïðîâîäèòñÿ, íàïðèìåð, òàê:Zdω111=.2π −iω + wν|p + k|2 ω 2 + u2 ν 2 k 42uν 2 k 2 (uk 2 + w|p + k|2 )(3.21)×èñëèòåëè èíòåãðèðóåìîãî âûðàæåíèÿ (3.20) ñîäåðæàò ÷ëåíû êâàäðàòè÷íûå è ëèíåéíûå ïî p. Äëÿ êâàäðàòè÷íûõ ÷ëåíîâ ìîæíî ñðàçó ïîëîæèòü p = 0 â (3.21), òîãäà êàê äëÿ ëèíåéíûõ íåîáõîäèìî ðàçëîæèòü (3.21)äî ëèíåéíîãî ÷ëåíà ïî p, íàïðèìåð,11=uk 2 + w|p + k|2(u + w)k 21−2w (pk).(u + w) k 2Ñ ó÷¼òîì ôîðìóë:Zki ksδisdkki f (k) = 0,dk 2 f (k) =dk f (k),kdZZki ks kl kpδis δlp + δil δsp + δip δsldkf (k) =dkf (k),k4d(d + 2)ZZ(3.22)ãäå f (k) ýòî ëþáàÿ ôóíêöèÿ, çàâèñÿùàÿ òîëüêî îò k = |k|, âñå èòîãîâûåèíòåãðàëû ñâîäÿòñÿ ê ñêàëÿðíîìó èíòåãðàëóZJ(m) =dkk>m1k d+ym−y= Sd,y(3.23)ãäåSd = 2π d/2 /Γ(d/2)(3.24)78åñòü ïîâåðõíîñòü åäèíè÷íîé ñôåðû â d-ìåðíîì ïðîñòðàíñòâå, à Γ(· · · ) ýòîãàììà-ôóíêöèÿ Ýéëåðà.Êîíå÷íûé ðåçóëüòàò ñîñòîèò èç ñëàãàåìûõ äâóõ òèïîâ, ïðîïîðöèîk⊥íàëüíûõ P12(p) è P12 (p), ñîîòâåòñòâåííî.
Áëàãîäàðÿ ïîïåðå÷íîñòè ïîëåéθ, θ0 , ïîñëåäíåå íóæíî îòáðîñèòü. (Ýòî áû ñëó÷èëîñü àâòîìàòè÷åñêè, åñëè áû ìû âêëþ÷èëè ñîîòâåòñòâóþùèé ïðîåêòîð â âåðøèíó (3.11), íî ìûýòîãî íå äåëàëè äëÿ êðàòêîñòè). Íà ïðàêòèêå, ïðîùå âñåãî ñîáðàòü âñå ÷ëåíû, ïðîïîðöèîíàëüíûå δ12 p2 è îòáðîñèòü âñå ñëàãàåìûå ïðîïîðöèîíàëüíûåp1 p2 ïî õîäó âû÷èñëåíèÿ. Îñòà¼òñÿ òîëüêî âûðàçèòü àìïëèòóäó D0 â (3.20)â òåðìèíàõ ðåíîðìèðîâàííûõ ïåðåìåííûõ: D0 = gν 3 µy .Òîãäà êîíå÷íûé ðåçóëüòàò òàêîé: µ y (d − 1)ĝα(u−w)⊥Σ12 (Ω = 0, p) = −νp2 P12(p)+.2dy m1+wu(u + w)2(3.25)Çäåñü ìû ïåðåøëè ê íîâîé êîíñòàíòå ñâÿçè(3.26)ĝ = gSd /(2π)d ,ãäå Sd èç (3.24).Òîãäà â ñõåìå ìèíèìàëüíûõ âû÷èòàíèé ðåíîðìàëèçàöèîííàÿ êîíñòàíòà Zκ , êîòîðàÿ äîëæíà óáðàòü ïîëþñ â âûðàæåíèè (3.25) â ðåíîðìèðîâàííîì àíàëîãå ôóíêöèè (3.18) (ïî ñóòè, ìû ñäåëàëè çàìåíó κ0 → κZκ âçàòðàâî÷íîì ñëàãàåìîì) èìååò âèä:ĝZκ = 1 −2dwyα(u − w)(d − 1)+(1 + w) u(u + w)2,(3.27)òîãäà êàê ñîîòâåòñòâóþùàÿ àíîìàëüíàÿ ðàçìåðíîñòü:ĝγκ =2dw(d − 1)α(u − w)+(1 + w) u(u + w)2,(3.28)79ïëþñ ïîïðàâêè ïîðÿäêà ĝ 2 è âûøå.Èíòåðåñíî çàìåòèòü, ÷òî âûðàæåíèå (3.28) áóêâàëüíî ñîâïàäàåò ñ òàêèì æå âûðàæåíèåì äëÿ ñêàëÿðíîãî ïîëÿ, ïåðåíîñèìîãî òåì æå àíñàìáëåìñêîðîñòè; ñì.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
