Диссертация (1150683), страница 7
Текст из файла (страница 7)
Òîãäà ðåíîðì êîíñòàíòó, íóæíóþ äëÿ óñòðàíåíèÿïîëþñà ïî y â (2.15), â ñõåìå ìèíèìàëüíûõ âû÷èòàíèé íàäî âûáðàòü òàê:ĝZκ = 1 −2dwy(d − 1)α(u − w)+(1 + w) u(u + w)2,(2.22)à ñîîòâåòñòâóþùàÿ àíîìàëüíàÿ ðàçìåðíîñòü:ĝγκ =2dw(d − 1)α(u − w)+(1 + w) u(u + w)2,(2.23)ñ ïîïðàâêàìè ïîðÿäêà ĝ 2 è âûøå.eµ w äëÿ íîâîãî áåçðàçìåðíîãî ïàðàìåòðà w èìååò âèäÔóíêöèÿ βw = Dβw = −wγw = w[γν − γκ ],(2.24)49ñì. óðàâíåíèå (1.33). Ïîäñòàâèì îäíîïåòëåâûå âûðàæåíèÿ (1.41), (2.23) èòî÷íîå ñîîòíîøåíèå (1.43) â óðàâíåíèå βw = 0. Òîãäà, ïîñëå íåêîòîðûõïðîñòûõ àëãåáðàè÷åñêèõ ïðåîáðàçîâàíèé, ïîëó÷àåì óðàâíåíèå:2{(d − 1 + α)(1 + w) − 2αw} = w(w + 1)2 (d − 1)(2.25)èëè åìó ýêâèâàëåíòíîå óðàâíåíèå:(w − 1)[(d − 1)(w + 1)(w + 2) + 2α] = 0ñ åäèíñòâåííûì ïîëîæèòåëüíûì êîðíåì w∗ = 1.Ñîîòâåòñòâóþùåå íîâîå ñîáñòâåííîå ÷èñëî ìàòðèöû (1.40) ñîâïàäàåòñ äèàãîíàëüíûì ýëåìåíòîì∂βw /∂w|g=g∗ = y[3(d − 1) + α]/6(d − 1) > 0,ïîòîìó êàê ôóíêöèè (1.33) íå çàâèñÿò îò w.
Ìû çàêëþ÷àåì, ÷òî íåïîäâèæíàÿ òî÷êà ñ êîîðäèíàòàìè (1.41) è w∗ = 1 ÈÊ ïðèòÿãèâàþùàÿ â ïðîñòðàíñòâå êîíñòàíò ñâÿçè g, u, v, w è óïðàâëÿåò ÈÊ àñèìïòîòè÷åñêèì ïîâåäåíèåììîäåëåé (2.5), (2.8).Êðèòè÷åñêèå ðàçìåðíîñòè ïîëåé θ, θ0 ïîëó÷åíû èç äàííûõ â òàáëèöå1.1 è óñëîâèÿ (1.47) äëÿ ∆ω :∆θ = −1 + y/6,∆θ0 = d + 1 − y/6.(2.26)Ýòè âûðàæåíèÿ ÿâëÿþòñÿ òî÷íûìè èç-çà îòñóòñòâèÿ ðåíîðìèðîâêè ïîëåéθ è θ0.502.4.Ñîñòàâíûå ïîëÿ è èõ ðàçìåðíîñòè2.5.Ðåíîðìèðîâêà ñîñòàâíûõ ïîëåé θn . ßâíûå îòâåòû â ãëàâíîìïîðÿäêåÊëþ÷åâóþ ðîëü â äàëüíåéøèõ ðàññóæäåíèÿõ áóäóò èãðàòü ñîñòàâíûåïîëÿ (ñîñòàâíûå îïåðàòîðû â êâàíòîâî-ïîëåâîé òåðìèíîëîãèè). Ëîêàëüíûì ñîñòàâíûì îïåðàòîðîì ÿâëÿåòñÿ ìîíîì èëè ïîëèíîì, ñîñòîÿùèé èç ïîëåé Φ(x) è èõ ïðîèçâîäíûõ êîíå÷íîãî ïîðÿäêà â îäíîé òî÷êå ïðîñòðàíñòâàâðåìåíè x = {t, x}.  ôóíêöèÿõ Ãðèíà ñ òàêèìè îáúåêòàìè ïîÿâëÿþòñÿ íîâûå ÓÔ ðàñõîäèìîñòè èç-çà ñîâïàäåíèÿ àðãóìåíòîâ ïîëåé.
Ðàñõîäèìîñòè óñòðàíÿþòñÿ ñ ïîìîùüþ äîïîëíèòåëüíîé ïðîöåäóðû ðåíîðìèðîâêè.Êàê ïðàâèëî, îïåðàòîðû ïðè ðåíîðìèðîâêå ñìåøèâàþòñÿ: ðåíîðìèðîâàííûå îïåðàòîðû çàäàþòñÿ íåêîòîðîé êîíå÷íîé ëèíåéíîé êîìáèíàöèåé èçíà÷àëüíûõ ìîíîìîâ. Âïðî÷åì, äàëåå áóäóò âñòðå÷àòüñÿ òîëüêî ïðîñòûå ñèòóàöèè, êîãäà èçíà÷àëüíûé îïåðàòîð F (x) è ðåíîðìèðîâàííûé F R (x) ñâÿçàíû ìóëüòèïëèêàòèâíîé ðåíîðìèðîâêîé F (x) = ZF F R (x) ñ êîíñòàíòîéðåíîðìèðîâêè â âèäå (1.36). Òîãäà êðèòè÷åñêàÿ ðàçìåðíîñòü îïåðàòîðà çàäà¼òñÿ òåì æå âûðàæåíèåì (1.47) è, âîîáùå ãîâîðÿ, îòëè÷àåòñÿ îò ïðîñòîéñóììû ðàçìåðíîñòåé ïîëåé è ïðîèçâîäíûõ, âõîäÿùèõ â îïåðàòîð.Ïîëíàÿ êàíîíè÷åñêàÿ ðàçìåðíîñòü ëþáîé 1-íåïðèâîäèìîé ôóíêöèèÃðèíà Γ ñ îäíèì îïåðàòîðîì F (x) è ïðîèçâîëüíûì ÷èñëîì îäèíî÷íûõ ïîëåé (ôîðìàëüíûé èíäåêñ ÓÔ ðàñõîäèìîñòè) çàäà¼òñÿ ôîðìóëîéδΓ = d F −XNΦ d Φ ,(2.27)Φãäå NΦ êîëè÷åñòâà ïîëåé, âõîäÿùèõ â Γ, dΦ èõ ïîëíûå êàíîíè÷åñêèå51ðàçìåðíîñòè, dF êàíîíè÷åñêàÿ ðàçìåðíîñòü îïåðàòîðà, ñóììèðîâàíèå ïîâñåì òèïàì ïîëåé ïîäðàçóìåâàåòñÿ.
Ïîâåðõíîñòíûå ÓÔ ðàñõîäèìîñòè ìîãóò ïîÿâèòüñÿ òîëüêî â ôóíêöèÿõ Γ ñ íåîòðèöàòåëüíûì öåëûì δΓ .Íà÷í¼ì ñ ñàìîãî ïðîñòîãî ñëó÷àÿ: îïåðàòîðîâ F (x) = θn (x) â ìîäåëèïëîòíîñòè. Òîãäà dF = −n â (2.27). Ïîñêîëüêó ñòîõàñòè÷åñêîå óðàâíåíèå(2.1) ëèíåéíî ïî θ, ÷èñëî ïîëåé θ â ëþáîé 1-íåïðèâîäèìîé ôóíêöèè íåìîæåò ïðåâûøàòü êîëè÷åñòâî ïîëåé â ñàìîì îïåðàòîðå. Ýòî ëåãêî ïîíÿòüèç òîãî ôàêòà, ÷òî öåïî÷êè ïðîïàãàòîðîâ hθ0 θi0 , hθθi0 â ëþáîé äèàãðàììåíå ìîãóò ðàçâåòâëÿòüñÿ; ñì. ïóíêò (iv) â ðàçäåëå 1.3. Äàëüíåéøèé àíàëèçâûðàæåíèÿ (2.27) ïîêàçûâàåò, ÷òî ïîâåðõíîñòíàÿ ðàñõîäèìîñòü ìîæåò ïîÿâèòüñÿ òîëüêî â 1-íåïðèâîäèìîé ôóíêöèè ñ Nθ = n è NΦ = 0 äëÿ ïîëåé,îòëè÷íûõ îò θ.
Äëÿ òàêîé ôóíêöèè δΓ = 0, ðàñõîäèìîñòü ëîãàðèôìè÷íàÿ, àñîîòâåòñòâóþùèé êîíòð÷ëåí èìååò âèä θn (x). Èòîãî, íàøè îïåðàòîðû ìóëüòèïëèêàòèâíî ðåíîðìèðóåìû: F (x) = Zn F R (x) ñ íåêîòîðûìè êîíñòàíòàìèðåíîðìèðîâêè, èìåþùèìè âèä (1.36).Òåïåðü âåðí¼ìñÿ ê âû÷èñëåíèþ êîíñòàíò Zn â ãëàâíîì (îäíîïåòëåâîì)ïðèáëèæåíèè. Ïóñòü Γ(x; θ) ïðîèçâîäÿùèé ôóíêöèîíàë 1-íåïðèâîäèìîéôóíêöèè Ãðèíà ñ îäíèì ñîñòàâíûì îïåðàòîðîì F (x) è ëþáûì ÷èñëîì ïîëåé θ. Çäåñü x = {t, x} àðãóìåíò îïåðàòîðà, à θ àðãóìåíò ôóíêöèîíàëà,êëàññè÷åñêèé àíàëîã ñëó÷àéíîãî ïîëÿ θ. Íàì èíòåðåñåí ÷ëåí θn â ðàçëîæåíèè Γ(x; θ) ïî θ(x), îáîçíà÷èì åãî Γn (x; θ).
Ìîæíî çàïèñàòü åãî òàêZΓn (x; θ) =dx1 · · ·Zdxn θ(x1 ) · · · θ(xn ) hF (x)θ(x1 ) · · · θ(xn )i1−ir .(2.28) îäíîïåòëåâîì ïðèáëèæåíèè ôóíêöèÿ (2.28) ïðåäñòàâëÿåòñÿ â âèäå äèà-52ãðàììû ñëåäóþùèì îáðàçîì:Γn (x; θ) = F (x) +12(2.29)Ïåðâîå ñëàãàåìîå äðåâåñíàÿ (áåñïåòëåâàÿ) äèàãðàììà. ×¼ðíûé êðóãñ äâóìÿ ïðèìûêàþùèìè ëèíèÿìè â äèàãðàììå îçíà÷àåò îïåðàòîðíóþ âåðøèíó, òî åñòü âàðèàöèîííóþ ïðîèçâîäíóþ:V (x; x1 , x2 ) = δ 2 F (x)/δθ(x1 )δθ(x2 ).(2.30) íàøåì ñëó÷àå âåðøèíàV (x; x1 , x2 ) = n(n − 1) θn−2 (x) δ(x − x1 )δ(x − x2 )(2.31)ñîäåðæèò (n − 2) ïîëÿ θ. (Ïîìíèì, ÷òî δθ(x)/δθ(x0 ) = δ(x − x0 ) ≡ δ(t −t0 )δ(x − x0 ).) Åù¼ 2 ïîëÿ ïðèñîåäèíåíû ê îáû÷íûì âåðøèíàì θ0 ∂(vθ) âíèæíåé ÷àñòè äèàãðàììû.Ïîñêîëüêó ðàñõîäèìîñòü ëîãàðèôìè÷íàÿ, ìîæíî ïîëîæèòü âíåøíèå÷àñòîòû è èìïóëüñû ðàâíûìè íóëþ.
Òîãäà âñå ïîëÿ θ ïðèîáðåòàþò îáùèéàðãóìåíò x, à ñàìà äèàãðàììà ñòàíîâèòñÿ ïðîïîðöèîíàëüíîé îïåðàòîðóθn (x) ñ êîýôôèöèåíòîì, çàäàâàåìûì ÿäðîì äèàãðàììû:ZZdωdk1kkDsl (ω, k),sl(2π) (2π)dω 2 + w2ν 2k4(2.32)ãäå ïåðâûé ìíîæèòåëü â ïîäûíòåãðàëüíîì âûðàæåíèè ïîëó÷àåòñÿ èç âåðøèí (2.7), âòîðîé èç ïðîïàãàòîðîâ hθ0 θi0 â (2.6) ñ çàìåíîé κ0 → wν .Ïîñëåäíèé ìíîæèòåëü ýòî ïðîïàãàòîð ñêîðîñòè èç (2.17). Çàìåòèì, ÷òîòîëüêî âòîðîé ÷ëåí èç Dsl äà¼ò íåíóëåâîé âêëàä â (2.32). Èíòåãðèðîâàíèå53ïî ÷àñòîòå ëåãêî âûïîëíÿåòñÿ ñ ó÷¼òîì ôîðìóëûZdω11=,2222(2π) (ω + a )(ω + b ) 2ab(a + b)(2.33)à ïîñëå ñâ¼ðòêè ïî èíäåêñàì òåíçîðîâ, èíòåãðàë ïî èìïóëüñó ñâîäèòñÿ ê(2.20).
Èòîãî ïðîèçâåäåíèå äà¼ò íàì µ y 1 n(n − 1)αĝΓn (x; θ) = θ (x) 1 +,22wu(u + w) m yn(2.34)ãäå ĝ îïðåäåë¼í â (1.26) ñ òî÷íîñòüþ äî êîíå÷íîé ÷àñòè è ïîïðàâîê âûñøèõïîðÿäêîâ.Êîíñòàíòó ðåíîðìèðîâêè Zn ìîæíî íàéòè èç òîãî óñëîâèÿ, ÷òî ðåíîð−1ìèðîâàííûé àíàëîã ΓRn = Zn Γn ôóíêöèè (2.28) äîëæåí áûòü ÓÔ êîíå÷-íûì â òåðìèíàõ ïåðåíîðìèðîâàííûõ ïàðàìåòðîâ.  íàøåì ïðèáëèæåíèèäîñòàòî÷íî çàìåíèòü θn → Zn−1 θn òîëüêî ïåðâûì ÷ëåíîì â âûðàæåíèè äëÿ(2.34) è ïîòîì ïîäîáðàòü Zn òàê, ÷òîáû ïîëþñà âî âòîðîì ÷ëåíå ñîêðàòèëèñü.  ñõåìå ìèíèìàëüíûõ âû÷èòàíèé ïîëó÷àåìZn = 1 +αĝ1n(n − 1).22wu(u + w) y(2.35)Äàëåå äëÿ ñîîòâåòñòâóþùèõ àíîìàëüíûõ ðàçìåðíîñòåé óðàâíåíèå (1.37)äà¼òγn = −n(n − 1)αĝ,22wu(u + w)(2.36)ñ ïîïðàâêàìè âûñøèõ ïîðÿäêîâ ïî ĝ .Âûðàæåíèÿ äëÿ êðèòè÷åñêèõ ðàçìåðíîñòåé îïåðàòîðîâ θn ìîæíî ïîëó÷èòü èç âûðàæåíèÿ (1.47)∆[θn ] = n∆θ + γn∗ ,(2.37)54Ïîäñòàâèì êîîðäèíàòû íåïîäâèæíîé òî÷êè (1.41 è w∗ = 1) â (2.36).
Ïîëó÷èì∆[θn ] = −n +ny n(n − 1) α dy−,66(d − 1)(2.38)è ïîïðàâêè âûñøèõ ïîðÿäêîâ ïî y .Òåïåðü ðàññìîòðèì ýòîò æå îïåðàòîð θn , íî óæå â ìîäåëè òðåéñåðà. Èç âûðàæåíèÿ (2.27) è ëèíåéíîñòè ñòîõàñòè÷åñêîãî óðàâíåíèÿ (2.2)ñëåäóåò, ÷òî, êàê â ñëó÷àå ïëîòíîñòè, òîëüêî â 1-íåïðèâîäèìîé ôóíêöèèhθn (x)θ(x1 ) · · · θ(xn )i1−ir ìîãóò ïîÿâèòüñÿ ïîâåðõíîñòíûå ÓÔ ðàñõîäèìîñòè. ñàìîì äåëå, îäèí èç âíåøíèõ õâîñòîâ ïîëÿ θ ïðèñîåäèí¼í ê âåðøèíåθ0 (v∂)θ: íåâîçìîæíî ñîñòàâèòü íåòðèâèàëüíóþ äèàãðàììó òàêîãî òèïà ñâíåøíèìè õâîñòàìè, ïðèêðåïë¼ííûìè òîëüêî ê âåðøèíå (2.31) îïåðàòîðàF (x) . Ïîýòîìó, ïî êðàéíåé ìåðå, îäíà ïðîèçâîäíàÿ ∂ , äåéñòâóþùàÿ íàõâîñò θ, ïîÿâëÿåòñÿ êàê îáùèé ìíîæèòåëü â äèàãðàììå.
Çíà÷èò å¼ ðåàëüíûé èíäåêñ ðàñõîäèìîñòè δΓ0 îòðèöàòåëüíûé, è äèàãðàììà, íà ñàìîì äåëå,íå èìååò ïîâåðõíîñòíîé ðàñõîäèìîñòè; ñì. ïóíêò (iii) â ðàçäåëå 1.3.Ýòî çíà÷èò, ÷òî îïåðàòîðû θn íà ñàìîì äåëå ÓÔ êîíå÷íû, Zn = 1, èèõ ñêåéëèíãîâûå ðàçìåðíîñòè çàäàþòñÿ âûðàæåíèåì∆[θn ] = n∆θ = −n + ny/6,(2.39)ýòî âûðàæåíèå òî÷íîå, ïîïðàâêè âûñøåãî ïîðÿäêà ïî y íå ïîÿâÿòñÿ.2.6.Ðåíîðìèðîâêà ñîñòàâíûõ ïîëåé (∂θ)n â ìîäåëè òðåéñåðà. ßâíûå ðåøåíèÿ â ãëàâíîì ïîðÿäêå ìîäåëè òðåéñåðà îñîáîå çíà÷åíèå èìåþò òåíçîðíûå îïåðàòîðû, ïî-ñòðîåííûå èñêëþ÷èòåëüíî èç ãðàäèåíòîâ ïàññèâíîãî ñêàëÿðíîãî ïîëÿ. Òà-55êèå îïåðàòîðû èìåþò ñàìóþ ìàëåíüêóþ êàíîíè÷åñêóþ ðàçìåðíîñòü, îíèñîäåðæàò ìèíèìàëüíîå ÷èñëî ïðîèçâîäíûõ (ïî îäíîé íà êàæäîå ïîëå). Òàêèì îáðàçîì, îíè âûãëÿäÿò òàê:(n,l)(2.40)Fi1 ...il = ∂i1 θ · · · ∂il θ (∂i θ∂i θ)s + .
. . .Çäåñü l ÷èñëî ñâîáîäíûõ âåêòîðíûõ çíà÷êîâ (ðàíã òåíçîðà), n = l + 2s ïîëíîå ÷èñëî ïîëåé θ, âõîäÿùèõ â îïåðàòîð. Ñ òî÷êè çðåíèÿ òåîðèè ïðåäñòàâëåíèé ãðóïïû îðòîãîíàëüíûõ ïðåîáðàçîâàíèé â d-ìåðíîì ïðîñòðàíñòâå, ëó÷øå ðàññìàòðèâèòü âû÷èòàíèÿ äåëüòà-ñèìâîëîâ Êðîíåêåðà, êîòîðûå äåëàþò îïåðàòîð íåïðèâîäèìûì (òàê ÷òî ñâåðòêà ïî ëþáîé ïàðå ñâîáîäíûõ èíäåêñîâ òåíçîðà ðàâíà íóëþ), íàïðèìåð,(2,2)Fij= ∂i θ∂j θ −δij(∂k θ∂k θ).d(2.41)Äëÿ âñåõ ýòèõ îïåðàòîðîâ dF = 0, à èõ ðåàëüíûé èíäåêñ ðàñõîäèìîñòèδΓ0 = δΓ − Nθ , ãäå δΓ çàäàíà â (2.27).
 ñàìîì äåëå, òåïåðü îäíà ïðîèçâîäíàÿ∂ ïîÿâëÿåòñÿ êàê îáùèé ìíîæèòåëü â äèàãðàììå äëÿ êàæäîãî õâîñòà θ,(áåç ðàçíèöû, ïðèñîåäèí¼í îí ê îáû÷íîé âåðøèíå θ0 (v∂)θ èëè ê âåðøèíå(2.31) îïåðàòîðà (2.40). Êàê è äëÿ îïåðàòîðà θn , ÷èñëî ïîëåé θ â ëþáîé 1íåïðèâîäèìîé ôóíêöèè íå ìîæåò ïðåâûøàòü èõ ÷èñëî â ñàìîì îïåðàòîðå:Nθ 6 n, ñì. îáñóæäåíèå ýòîãî âîïðîñà â ðàçäåëå 2.5.
Ñëåäîâàòåëüíî, ïîâåðõíîñòíûå ÓÔ ðàñõîäèìîñòè ìîãóò ïîÿâèòüñÿ òîëüêî â 1-íåïðèâîäèìûõôóíêöèÿõ hF (n,l) (x)θ(x1 ) . . . θ(xk )i1−ir ñ ó÷¼òîì k 6 n. Äëÿ òàêèõ ôóíêöèéδΓ0 = 0, à δΓ = k , òàê ÷òî ñîîòâåòñòâóþùèé êîíòð÷ëåí ìîæåò âêëþ÷àòüâ ñåáÿ òîëüêî ìîíîìû F (k,p) èç (2.40) ñ îïðåäåë¼ííûì çíà÷åíèåì ðàíãà p.Ìû çàêëþ÷àåì, ÷òî ñåìåéñòâî îïåðàòîðîâ (2.40) çàìêíóòî îòíîñèòåëüíî(k,p)ïåðåíîðìèðîâîê â òîì ñìûñëå, ÷òî F (n,l) = Z(n,l)(k,p) FRñ îïðåäåë¼ííîé56ìàòðèöåé ðåíîðì êîíñòàíò.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
