Диссертация (1150683), страница 8
Текст из файла (страница 8)
Òàê êàê Z(n,l)(k,p) = 0 äëÿ k > n, ýòà ìàòðèöà áëî÷íî-òðåóãîëüíàÿ ñ äèàãîíàëüíûìè ïîäáëîêàìè, ñîîòâåòñòâóþùèìèn = k ; òàêàÿ æå è íàïèñàííàÿ ðàíåå ìàòðèöà ∆F â (1.47).Íàì èíòåðåñíû ñêåéëèíãîâûå ðàçìåðíîñòè, ñâÿçàííûå ñ îïåðàòîðàìè(2.40). Îíè çàäàþòñÿ ñîáñòâåííûìè çíà÷åíèÿìè ìàòðèöû ∆F , à èìåííî å¼äèàãîíàëüíûìè ïîäáëîêàìè. Ïðîñòîé àíàëèç ïîêàçûâàåò, ÷òî ñîîòâåòñòâóþùèå äèàãðàììû íå âêëþ÷àþò ïðîïàãàòîð hθθi0 èç (2.6); ýòî, îïÿòü æå,ñëåäñòâèå ëèíåéíîñòè íà÷àëüíîãî ñòîõàñòè÷åñêîãî óðàâíåíèÿ (2.2).
Äèàãîíàëüíûå áëîêè ìîæíî ðàññ÷èòàòü íàïðÿìóþ â ìîäåëè áåç ñëó÷àéíîãî øóìàâ (2.2), ïîòîìó êàê êîððåëÿöèîííàÿ ôóíêöèÿ øóìà (2.3) âõîäèò â äèàãðàììó òîëüêî â âèäå ïðîïàãàòîðà hθθi0 . À ôóíêöèÿ (2.3) ÿâëÿåòñÿ åäèíñòâåííûì èñòî÷íèêîì àíèçîòðîïèè â çàäà÷å. Áåç ó÷¼òà øóìà ìîäåëü ñòàíîâèòñÿSO(d) êîâàðèàíòíîé, è íåïðèâîäèìûå òåíçîðû ðàçíûõ ðàíãîâ íå ìîãóòñìåøèâàòüñÿ ïðè ðåíîðìèðîâêå. Ýòî çíà÷èò, ÷òî äèàãîíàëüíûå ïîäáëîêèìàòðèöû ∆F íà ñàìîì äåëå ñàìè äèàãîíàëüíû, à èõ äèàãîíàëüíûå ýëåìåíòû ñîâïàäàþò ñ ñîáñòâåííûìè çíà÷åíèÿìè ïîëíîé ìàòðèöû ∆F .È, íàêîíåö, ìû çàêëþ÷àåì, ÷òî äëÿ íàõîæäåíèÿ ñêåéëèíãîâûõ ðàçìåðíîñòåé îïåðàòîðû (2.40) ìîæíî ñ÷èòàòü ìóëüòèïëèêàòèâíî ðåíîðìèðó(n,l)åìûìè F (n,l) = Z(n,l) FRñ ñîîòâåòñòâóþùèìè êîíñòàíòàìè ðåíîðìèðîâêèZ(n,l) , äèàãîíàëüíûìè ýëåìåíòàìè ïîëíîé ìàòðèöû Z(n,l)(k,p) .Äëÿ ïðàêòè÷åñêèõ ðàñ÷¼òîâ óäîáíî ñâåðíóòü òåíçîðû (2.40) ñ ïðîèçâîëüíûìè ïîñòîÿííûì âåêòîðîì λ= {λi }.
Òîãäà ïîëó÷èì ñêàëÿðíûé îïåðàòîð:F (n,l) = (λi wi )l (wi wi )s + . . . ,wi ≡ ∂i θ,(2.42)ãäå ñëàãàåìûå, îáîçíà÷åííûå ìíîãîòî÷èÿìè, îáÿçàòåëüíî âêëþ÷àþò ìíî-57æèòåëü λ2 = λi λi . Êîíòð÷ëåí ê F (n,l) ïðîïîðöèîíàëåí òîìó æå îïåðàòîðó,à ÷òîáû íàéòè êîíñòàíòó Z(n,l) , äîñòàòî÷íî ñîõðàíèòü ëèøü ãëàâíûé ìîíîì, ÿâíî âûïèñàííûé â (2.42), è îòáðîñèòü â ðåçóëüòàòå âñå ÷ëåíû, ñîäåðæàùèå ìíîæèòåëè λ2 . Äàëåå, èñïîëüçóÿ ïðàâèëà äèôôåðåíöèðîâàíèÿ,âåðøèíó (2.30) äëÿ îïåðàòîðà F (n,l) ìîæíî çàïèñàòü â âèäå∂ 2 F (n,l)V (x; x1 , x2 ) =∂i δ(x − x1 ) ∂j δ(x − x2 )∂wi ∂wj(2.43)ñ òî÷íîñòüþ äî íåñóùåñòâåííûõ ÷ëåíîâ. Äèôôåðåíöèðîâàíèå äà¼ò:∂ 2 F (n,l) /∂wi ∂wj = 2s(w2 )s−2 (λw)l δij w2 + 2(s − 1)wi wj ++l(l − 1)(w2 )s (λw)l−2 λi λj + 2ls(w2 )s−1 (λw)l−1 (wi λj + wj λi ),(2.44)ãäå w2 = wk wk è (λw) = λk wk . Åù¼ äâà ìíîæèòåëÿ wp wr ïðèñîåäèíåíûê íèæíåé ÷àñòè äèàãðàììû, ïðîèçâîäíûå ïîÿâëÿþòñÿ èç âåðøèí θ0 (v∂)θ.ÓÔ ðàñõîäèìîñòü ëîãàðèôìè÷íàÿ, ìîæíî ïîëîæèòü âíåøíþþ ÷àñòîòó èèìïóëüñ ðàâíûì íóëþ; ÿäðî äèàãðàììû èìååò âèäZdω(2π)1dkkkD(ω,k).ijprdω 2 + w2ν 2k4k>m (2π)Z(2.45)Ïåðâûé ìíîæèòåëü ïîëó÷àåòñÿ èç ïðîèçâîäíîé â (2.43), Dpr èç (2.17) ÿâëÿåòñÿ êîððåëÿöèîííîé ôóíêöèè ñêîðîñòè (1.14).
Ïîñëåäíèé ìíîæèòåëüïîëó÷èëñÿ èç äâóõ ïðîïàãàòîðîâ hθ0 θi0 . Ñäåëàíû çàìåíû Z → 1, c → 0; ñì.ïîäðîáíîå îáñóæäåíèå â ðàçäåëå 2.3.Èíòåãðèðîâàíèå ïî ÷àñòîòå ëåãêî âûïîëíÿåòñÿ ñ èñïîëüçîâàíèåì (2.33),à îñòàâøèåñÿ èíòåãðàëû ïî k ñâîäÿòñÿ ñ ñêàëÿðíîìó èíòåãðàëó (2.20) ñ èñïîëüçîâàíèåì ñîîòíîøåíèé (2.19). Ïîñëå ïåðåìíîæåíèÿ âñåõ ìíîæèòåëåé,ñâ¼ðòêè òåíçîðîâ è âûðàæåíèÿ ðåçóëüòàòîâ â òåðìèíàõ n = 2s + l è l ïî-58ëó÷àåì:Γn (x; θ) = F (n,l) (x)ĝ µ y1−y mQ2Q1+α2w(1 + w)2wu(u + w), (2.46)ãäåQ1 = −n(n + d)(d − 1) + (d + 1)l(l + d − 2),Q2 = −n(3n + d − 4) + l(l + d − 2),(2.47)ĝ îïðåäåëåí â (1.26).
Òîãäà ðåíîðì êîíñòàíòà Z(n,l) â ñõåìå ìèíèìàëüíûõâû÷èòàíèé áóäåò òàêîé:Z(n,l)ĝ=1−yQ1Q2+α,2w(1 + w)2wu(u + w)(2.48)ñì. ïîäðîáíîå îáúÿñíåíèå â ðàçäåëå 2.5 óðàâíåíèå (2.34). òîãäà ñîîòâåòñòâóþùèå àíîìàëüíûå ðàçìåðíîñòè, ñîãëàñíî óðàâíåíèþ (1.37), áóäóò òàêèìèγ(n,l) = ĝQ1Q2+α,2w(1 + w)2wu(u + w)(2.49)ïëþñ ïîïðàâêè âûñøåãî ïîðÿäêà ïî ĝ .Íàêîíåö, äëÿ ñêåéëèíãîâûõ ðàçìåðíîñòåé, ñâÿçàííûõ ñ îïåðàòîðîì(2.40), âûðàæåíèå (1.47) äà¼ò∗∗∆(n,l) = n + n∆θ + γ(n,l)= ny/6 + γ(n,l).(2.50)Ïîäñòàâëÿÿ êîîðäèíàòû íåïîäâèæíîé òî÷êè (1.41) è w∗ = 1 â (2.49), ëåãêîïîëó÷èòü âûðàæåíèå äëÿ ∆(n,l) :∆(n,l) =nydy+{Q1 + αQ2 } .63(d − 1)(2.51)592.7.Îïåðàòîðíîå ðàçëîæåíèå è àíîìàëüíûé ñêåéëèíã2.7.1.Ìîäåëü ïëîòíîñòèÐàññìîòðèì îäíîâðåìåííîé ïàðíûé êîððåëÿòîð äâóõ ÓÔ êîíå÷íûõâåëè÷èí F1,2 (x) ñ îïðåäåë¼ííûìè êðèòè÷åñêèìè ðàçìåðíîñòÿìè, íàïðèìåð,îáû÷íûõ ïîëåé èëè ëîêàëüíûõ ñîñòàâíûõ îïåðàòîðîâ.
[Ìû îãðàíè÷èìñÿîäíîâðåìåííûìè êîððåëÿòîðàìè, ïîòîìó ÷òî îíè, êàê ïðàâèëî, ãàëèëååâîèíâàðèàíòíû è íå ñîäåðæàò ñèëüíîé çàâèñèìîñòè îò ÈÊ ìàñøòàáà, èççà òàê íàçûâàåìûõ ýôôåêòîâ ïåðåíîñà.] Èç ðàññìîòðåíèÿ êàíîíè÷åñêèõðàçìåðíîñòåé ñëåäóåò, ÷òîωhF1 (t, x1 )F2 (t, x2 )i = ν dF µdF η(µr, mr, c/(µν)),r = |x2 = x1 |,(2.52)ãäå dωF è dF êàíîíè÷åñêèå ðàçìåðíîñòè êîððåëÿöèîííîé ôóíêöèè, çàäàííûå êàê ïðîñòûå ñóììû ñîîòâåòñòâóþùèõ ðàçìåðíîñòåé îïåðàòîðîâ, η(. .
. ) ôóíêöèÿ áåçðàçìåðíûõ ïåðåìåííûõ. Ìû çàïèñàëè ïðàâóþ ñòîðîíó â òåðìèíàõ ïåðåíîðìèðîâàííûõ ïåðåìåííûõ. Òîãäà ìàññà µ çàìåíÿåò ÓÔ èìïóëüñ Λ. Ïîâåäåíèå ôóíêöèè η íà ÈÊ ìàñøòàáå, òî åñòü äëÿ µr 1, îïðåäåëÿåòñÿ ÈÊ ïðèòÿãèâàþùåé íåïîäâèæíîé òî÷êîé óðàâíåíèÿ ÐÃ. Ðåøàÿóðàâíåíèå Ðà îáû÷íûì îáðàçîì, ìîæíî óâèäåòü ñëåäóþùåå àñèìïòîòè÷åñêîå ïîâåäåíèå:ωhF1 (t, x1 )F2 (t, x2 )i ' ν dF µdF (µr)−∆F ζ(mr, c(r)).(2.53)Ãäå ∆F êðèòè÷åñêàÿ ðàçìåðíîñòü êîððåëÿöèîííîé ôóíêöèè, çàäàâàåìàÿïðîñòîé ñóììîé ðàçìåðíîñòåé îïåðàòîðîâ.
Óðàâíåíèå Ðà íå îïðåäåëÿåò âèäñêåéëèíãîâîé ôóíêöèè ζ ; îíî îïðåäåëÿåò òîëüêî âèä å¼ àðãóìåíòîâ. Îíè60áåçðàçìåðíû (è êàíîíè÷åñêè, è êðèòè÷åñêè), â ÷àñòíîñòè,c(r) = c(µr)∆c /(µν)(2.54)ãäå ∆c èç (1.49) ìîæíî èíòåðïðåòèðîâàòü êàê ýôôåêòèâíóþ ñêîðîñòü çâóêà(áîëåå äåòàëüíî ýòîò âîïðîñ îáñóæäàëñÿ â [64]).Äëÿ êîððåëÿöèîííîé ôóíêöèè äâóõ îïåðàòîðîâ òèïà θn (x) âûðàæåíèå(2.53) äà¼ò:hθp (t, x1 )θk (t, x2 )i ' µ−(p+k) (µr)−∆p −∆k ζpk (mr, c(r))(2.55)ðàçìåðíîñòè ∆n ïîëó÷åíû èç (2.38).
Äàëåå ìû íå áóäåì îòîáðàæàòü çàâèñèìîñòü îò ÓÔ ïàðàìåòðîâ µ è ν è îïóñòèì èíäåêñû ñêåéëèíãîâûõ ôóíêöèé.Èíåðöèîííûé èíòåðâàë ñîîòâåòñòâóåò óñëîâèþ mr 1. Ïîâåäåíèåôóíêöèé ζ ïðè mr → 0 ìîæíî èçó÷àòü ñ ïîìîùüþ îïåðàòîðíîãî ðàçëîæåíèÿ [41, 80].  ðàññìàòðèâàåìîì ñëó÷àå îíî èìååò âèä:F1 (t, x1 )F2 (t, x2 ) 'XCF (mr, c(r)) F (t, x),(2.56)Fãäå x2 − x1 → 0 è x = (x1 + x1 )/2 ôèêñèðîâàíû. Ñóììà â (2.56) ïðîâîäèòñÿïî âñåì âîçìîæíûì ðåíîðìèðîâàííûì ëîêàëüíûì ñîñòàâíûì îïåðàòîðàì,íå çàïðåù¼ííûì ñèììåòðèÿìè ìîäåëè.  ëåâîé ñòîðîíå CF ÷èñëîâîé êîýôôèöèåíò ôóíêöèè, àíàëèòè÷íûé ïî mr è c(r).
Äëÿ íàøåé ìîäåëè, ñîãëàñíî ëèíåéíîñòè ïî ïîëþ θ, ÷èñëî òàêèõ ïîëåé â îïåðàòîðàõ F íå ìîæåòïðåâûøàòü èõ ÷èñëî â ëåâîé ÷àñòè ðàâåíñòâà. Ýòî îãðàíè÷åíèå, ââîäÿùååñÿâ íàøåé ìîäåëè, ìîäåëè Êðåé÷íàíà è ðîäñòâåííûõ ñ íåé [39], áóäåò âàæíîäëÿ íàñ â äàëüíåéøåì.Êîððåëÿöèîííóþ ôóíêöèþ (2.53) ìû ïîëó÷èëè, óñðåäíÿÿ (2.56) ñ âåñîì exp SR (ðåíîðìèðîâàííûì ôóíêöèîíàëîì äåéñòâèÿ èç (2.4)).  ïðàâîé61÷àñòè ïîÿâëÿþòñÿ ñðåäíèå çíà÷åíèÿ hF (x)i. Íå óìàëÿÿ îáùíîñòè, ìîæíîïðåäïîëîæèòü, ÷òî ðàçëîæåíèå â (2.56) ñäåëàíî äëÿ íåïðèâîäèìûõ òåíçîðíûõ îïåðàòîðîâ. Äàëåå, åñëè ìîäåëü SO(d) êîâàðèàíòíà (êîððåëÿöèîííàÿôóíêöèÿ ñêàëÿðíîãî øóìà (2.3) çàâèñèò òîëüêî îò r = |r|), ïîñëå óñðåäíåíèÿ "âûæèâàþò"òîëüêî ñêàëÿðíûå îïåðàòîðû.
Òàêæå ìîæíî ïðåäïîëîæèòü, ÷òî ðàçëîæåíèå ìû äåëàåì ïî îïåðàòîðàì ñ îïðåäåë¼ííûìè êðèòè÷åñêèìè ðàçìåðíîñòÿìè. Ñðåäíèå çíà÷åíèÿ ýòèõ îïåðàòîðîâ â àñèìïòîòèêåïðè ìàëûõ m ïðèíèìàþò âèähF (x)i ' m∆F ξ(c(1/m)),(2.57)ñ äðóãèì íàáîðîì ñêåéëèíãîâûõ ôóíêöèé ξ è àðãóìåíòîâ c(. . . ) èç (2.54).Ïîñêîëüêó äèàãðàììû òåîðèè âîçìóùåíèé èìåþò êîíå÷íûå ïðåäåëû äëÿîáîèõ ïðåäåëîâ c → ∞ è c → 0, ìû ìîæåì ïðåäïîëîæèòü, ÷òî îíè îãðàíè÷åíû äëÿ âñåõ çíà÷åíèé c è ìîæíî îöåíèòü èõ êàêèìè-íèáóäü êîíñòàíòàìè.Áîëåå òîãî, äëÿ äîñòàòî÷íî áîëüøèõ y , âêëþ÷àÿ ðåëÿòèâèñòñêèé ñëó÷àéy → 4, ðàçìåðíîñòü ∆c ñòàíîâèòñÿ îòðèöàòåëüíîé; ñì. âûðàæåíèå (1.49).Èòàê, àðãóìåíò c(1/m) ∼ cm−∆c ñòàíîâèòñÿ ìàëåíüêèì äëÿ ôèêñèðîâàííîãî c è m → 0, ôóíêöèþ ξ ìîæíî çàìåíèòü å¼ êîíå÷íûì çíà÷åíèåì ξ(0).È, íàêîíåö, ìîæíî çàêëþ÷èòü, ÷òî â ÈÊ ìàñøòàáåhF (x)i ∼ m∆F .(2.58)Äàëåå, îáúåäèíèâ âûðàæåíèÿ (2.53), (2.56) è (2.58), ïîëó÷àåì æåëàåìîåàñèìïòîòè÷åñêîå âûðàæåíèå äëÿ ñêåéëèíãîâûõ ôóíêöèé:ζ(mr, c(r)) 'XAF (mr, c(r)) (mr)∆F ,(2.59)Fãäå ñóììèðîâàíèå ïðîâîäèòñÿ ïî âñåì ãàëèëååâî èíâàðèàíòíûì ñêàëÿðíûì62îïåðàòîðàì, ñ êîýôôèöèåíòíûìè ôóíêöèÿìè AF , àíàëèòè÷íûìè ïî ñâîèìàðãóìåíòàì.Ðàñõîäèìîñòè ïðè mr → 0 (è, çíà÷èò, àíîìàëüíûé ñêåéëèíã) ïîÿâëÿþòñÿ èç âêëàäîâ îò îïåðàòîðîâ ñ îòðèöàòåëüíûìè êðèòè÷åñêèìè ðàçìåðíîñòÿìè, ýòî òàê íàçûâàåìûå îïàñíûå îïåðàòîðû â [40].
Î÷åâèäíî, ãëàâíûé ÷ëåí îïðåäåëÿåòñÿ îïåðàòîðîì ñ ìèíèìàëüíîé ðàçìåðíîñòüþ; äðóãèåîïðåäåëÿþò ïîïðàâêè. Âñå îïåðàòîðû θn îïàñíûå, è ñïåêòð èõ ðàçìåðíîñòåé íå îãðàíè÷åí ñíèçó (íåò ñàìîãî îïàñíîãî îïåðàòîðà); ñì. âûðàæåíèå(2.38). Ê ñ÷àñòüþ, äëÿ çàäàííîé êîððåëÿöèîííîé ôóíêöèè òîëüêî êîíå÷íîå÷èñëî òàêèõ îïåðàòîðîâ ìîæåò ïîÿâèòüñÿ â îïåðàòîðíîì ðàçëîæåíèè.
Äëÿ(2.55) ýòî îïåðàòîðû ñ n 6 p + k . Èòîãî,ζ(mr, c(r)) 'p+kXAn (mr, c(r)) (mr)∆n + . . .(2.60)n=0ãäå ∆n èç (2.38); ìîæíî ó÷èòûâàòü äàëüíåéøèå ïîïðàâêè, ñâÿçàííûå ñ îïåðàòîðàìè ñ ïðîèçâîäíûìè è äðóãèìè òèïàìè ïîëåé. Ãëàâíûé ÷ëåí ïðè ìàëûõ mr â (2.60) çàäà¼òñÿ îïåðàòîðîì ñ ìàêñèìàëüíî âîçìîæíûì n = p + k ,òàê ÷òî êîíå÷íîå âûðàæåíèå èìååò âèähθp (t, x1 )θk (t, x2 )i ' µ−(p+k) (µr)−∆p −∆k (mr)∆p+k .(2.61)Ñòîèò îòìåòèòü, ÷òî ìíîæåñòâî îïåðàòîðîâ θn ÿâëÿåòñÿ çàìêíóòûìîòíîñèòåëüíî ñëèÿíèÿ â òîì ñìûñëå, ÷òî ãëàâíûé ÷ëåí îïåðàòîðíîãî ðàçëîæåíèÿ äëÿ ïàðíîãî êîððåëÿòîðà äâóõ òàêèõ æå îïåðàòîðîâ çàäà¼òñÿ îïåðàòîðîì èç òîãî æå ñåìåéñòâà ñ ñóììàðíûì ïîêàçàòåëåì. Ýòîò ôàêò íàðÿäó ñ íåðàâåíñòâîì ∆p + ∆k > ∆p+k , ñëåäóþùèì èç (2.38), ìîæíî èíòåðïðåòèðîâàòü êàê òî, ÷òî êîððåëÿöèè ñêàëÿðíîãî ïîëÿ â ìîäåëè ïëîòíîñòèïðîÿâëÿþò ìóëüòèôðàêòàëüíîå ïîâåäåíèå; ñì.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
