Диссертация (1150683), страница 4
Текст из файла (страница 4)
Ïî ïîâòîðÿþùèìñÿ çíà÷êàì ïîäðàçóìåâàåòñÿ ñóììèðîâàíèå, à ïî ïåðåìåííîé x = {t, x} èíòåãðèðîâàíèå, íàïðèìåð,vi0 ∇t vi =ZZdtdx vi0 (x)[∂t + vk (x)∂k ]vi (x).(1.13) âûðàæåíèè (1.12) ìû ïåðåøëè ê íîâîìó áåçðàçìåðíîìó ïàðàìåòðó u0 =µ0 /ν0 > 0 è ââåëè íîâûé ÷ëåí φ0 v0 ν0 ∂ 2 φ ñ äðóãèì ïîëîæèòåëüíûì áåçðàçìåðíûì êîýôôèöèåíòîì v0 .
Ýòîò ÷ëåí íå çàïðåù¼í íè èç ñîîáðàæåíèé ñèììåòðèè, íè èç ñîîáðàæåíèé ðàçìåðíîñòè, ïîýòîìó îí îáÿçàòåëüíîïîÿâèòñÿ â ïðîöåäóðå ðåíîðìèðîâêè. Ñ ôèçè÷åñêîé òî÷êè çðåíèÿ, ýòî ñîîòâåòñòâóåò ïåðåîïðåäåëåíèþ ñâÿçè ìåæäó ñêîðîñòüþ è èìïóëüñîì [58]. Ñäðóãîé ñòîðîíû, òåõíè÷åñêè, ýòîò ÷ëåí íåîáõîäèì äëÿ îáåñïå÷åíèÿ ìóëüòèïëèêàòèâíîé ðåíîðìèðóåìîñòè òåîðèè (1.12), ÷òî ïîçâîëÿåò ëåãêî ïîëó÷èòü25óðàâíåíèå ÐÃ.
Ìîæíî èçó÷àòü èñõîäíóþ ìîäåëü (1.7), (1.8) áåç äîáàâî÷íîãî ÷ëåíà. Òîãäà óðàâíåíèÿ Ðà íåîáõîäèìî ðåøàòü ñ èñõîäíûì óñëîâèåìv0 = 0.  ðåíîðìèðîâàííûõ ïåðåìåííûõ ýòî ñîîòâåòñòâóåò îáùåé ñèòóàöèèñ íåíóëåâûì çíà÷åíèåì ñîîòâåòñòâóþùåãî ïåðåíîðìèðîâàííîãî ïàðàìåòðà. Ïîñêîëüêó ÈÊ ïðèòÿãèâàþùàÿ òî÷êà âñåãî îäíà (ñì. íèæå), íà÷àëüíîåóñëîâèå íå ÿâëÿåòñÿ ñóùåñòâåííûì.Òåîðåòèêî-ïîëåâàÿ ôîðìóëèðîâêà ïîäðàçóìåâàåò, ÷òî ðàçëè÷íûå êîððåëÿöèîííûå ôóíêöèè èñõîäíîé ñòîõàñòè÷åñêîé çàäà÷è ïðåäñòàâëÿþòñÿ ââèäå ôóíêöèîíàëüíûõ ñðåäíèõ ïî âñåìó íàáîðó ïîëåé ñ âåñîì exp S(Φ).Ïîýòîìó îíè ìîãóò áûòü ðàññìîòðåíû, êàê ôóíêöèè Ãðèíà ïîëåâîé ìîäåëè äëÿ äåéñòâèÿ (1.12).
Ýòà ìîäåëü ñîîòâåòñòâóåò ñòàíäàðòíîé ôåéíìàíîâñêîé äèàãðàììíîé òåõíèêå ñ äâóìÿ âåðøèíàìè: −v 0 (v∂)v è −φ0 (v∂)φ; èñâîáîäíûìè ïðîïàãàòîðàìè, êîòîðûå îïðåäåëÿþòñÿ êâàäðàòè÷íîé ÷àñòüþäåéñòâèÿ; â èñïóëüñíî-÷àñòîòíîì (k-ω ) ïðåäñòàâëåíèè, îíè âûãëÿäÿò òàê:k−1hvv 0 i0 = hv 0 vi∗0 = P ⊥ −11 + P 3 R , 2f⊥ dkf 3 hvvi0 = P+ P αd ,|1 |2R2ikic khφv 0 i0 = hv 0 φi∗0 = − 0 , hvφ0 i0 = hφ0 vi∗0 = ,RR4 2 f2αc k dhφφ0 i0 = hφ0 φi∗0 = , hφφi0 = 0 2 ,R|R|iαc20 df 3 k∗hvφi0 = hφvi0 =,|R|2hφ0 φ0 i0 = hv 0 φ0 i0 = hv 0 v 0 i0 = 0,(1.14)ãäå ìû ââåëè îáîçíà÷åíèÿ1 = −iω + ν0 k 2 ,2 = −iω + u0 ν0 k 2 ,3 = −iω + v0 ν0 k 2 ,R = 2 3 + c20 k 2 ,df = g0 ν03 k 4−d−y(1.15)26è îïóñòèëè òåíçîðíûå çíà÷êè ïîëåé è ïðîåêòîðîâ. ïðåäåëå c0 → ∞, ïðîïàãàòîðû hvv 0 i0 è hvvi0 ñòàíîâÿòñÿ ÷èñòî ïîïåðå÷íûìè, â òî âðåìÿ êàê ïðîïàãàòîð hvφi0 èñ÷åçàåò.
Ýòî çíà÷èò, ÷òî ñêàëÿðíîå ïîëå φ ïåðåñòà¼ò áûòü ñâÿçàííûì ñ v, v 0 (îíî íå âõîäèò â âåðøèíó â(1.7)).  èòîãå ìû ïðèõîäèì ê õîðîøî èçâåñòíûì ïðàâèëàì Ôåéíìàíà äëÿíåñæèìàåìîé æèäêîñòè [4143].1.3.ÓÔ ðàñõîäèìîñòè, ðåíîðìèðîâêà è ìóëüòèïëèêàòèâíàÿ ðåíîðìèðóåìîñòüÈçó÷åíèå ÓÔ ðàñõîäèìîñòåé îñíîâàíî íà àíàëèçå êàíîíè÷åñêèõ ðàç-ìåðíîñòåé, â ÷¼ì ìîæíî óáåäèòüñÿ, çàãëÿíóâ â [41, 80].
Ó äèíàìè÷åñêèõìîäåëåé òèïà (1.12) åñòü äâå íåçàâèñèìûå øêàëû: âðåìåííàÿ T è ïðîñòðàíñòâåííàÿ L. Ïîýòîìó êàíîíè÷åñêàÿ ðàçìåðíîñòü ëþáîé âåëè÷èíû F (ïîëåèëè ïàðàìåòð) îïèñûâàåòñÿ äâóìÿ ÷èñëàìè (÷àñòîòíîé ðàçìåðíîñòüþ dωF èωkèìïóëüñíîé dkF ) è îïðåäåëÿåòñÿ òàê: [F ] ∼ [T ]−dF [L]−dF . Èñõîäÿ èç îïðåäåëåíèÿ, ëåãêî ïîíÿòü, ÷òî:dkk = −dkx = 1, dωk = dωx = 0, dkω = dkt = 0, dωω = −dωt = 1.(1.16)Äðóãèå ðàçìåðíîñòè íàõîäÿòñÿ èç òîãî ñîîáðàæåíèÿ, ÷òî êàæäîå ñëàãàåìîå äåéñòâèÿ áåçðàçìåðíî (îòäåëüíî äëÿ èìïóëüñíîé è ÷àñòîòíîé ðàçìåðíîñòåé).
Äàëåå ìîæíî ââåñòè ïîëíóþ êàíîíè÷åñêóþ ðàçìåðíîñòü:dF = dkF + 2dωF ,(1.17)êîòîðàÿ â íàøåé òåîðèè ðåíîðìèðîâîê äëÿ äèíàìè÷åñêèõ ìîäåëåé èãðàåò òàêóþ æå ðîëü, êàê è îáû÷íàÿ ðàçìåðíîñòü â ñòàòèñòè÷åñêèõ çàäà÷àõ.27Êàíîíè÷åñêèå ðàçìåðíîñòè ìîäåëè (1.12) ïðåäñòàâëåíû â òàáëèöå 1.1. Âòàáëèöó íå âêëþ÷åíû ðåíîðìèðîâàííûå ïàðàìåòðû (áåç èíäåêñà o), íîóæå ñåé÷àñ ìîæíî ñêàçàòü, ÷òî èõ êàíîíè÷åñêèå ðàçìåðíîñòè áóäóò òàêèìè æå, êàê ó íåðåíîðìèðîâàííûõ àíàëîãîâ.Òàáëèöà 1.1.
Êàíîíè÷åñêèå ðàçìåðíîñòè ïîëåé è ïàðàìåòðîâ äëÿ ìîäåëè(1.12), (2.4), (2.5), (2.8).FdkFdωFv0vφ0φd + 1 −1 d + 2 −2−1dF d − 1θ0θm, µ, Λd01ν0c0−2 −1g0 u0 , v0 , w0 , αy01−221/2−1/2011001d−22d+1−1101y0Âûáîð âûðàæåíèÿ (1.17) äëÿ ïîëíîé êàíîíè÷åñêîé ðàçìåðíîñòè ñòîèò ïîÿñíèòü áîëåå ïîäðîáíî. Êîýôôèöèåíòû âÿçêîñòè è äèôôóçèè äëÿ íàøåé ìîäåëè áåçðàçìåðíû (â ñìûñëå ïîëíîé êàíîíè÷åñêîé ðàçìåðíîñòè), àâðåìåííûå è ïðîñòðàíñòâåííûå ïåðåìåííûå èçìåðÿþòñÿ â îäíèõ è òåõ æååäèíèöàõ; ñì. [41, 80]. Çàìåòèì, ÷òî äëÿ ðåëÿòèâèñòñêîé ñèñòåìû åäèíèöc = 1 âñå ðàññòîÿíèÿ èçìåðÿþòñÿ âî âðåìåííûõ åäèíèöàõ (ñâåòîâûõ ãîäàõ). Çäåñü ìû ââîääèì ïîëíóþ ðàçìåðíîñòü èìåííî òàêèì îáðàçîì (1.17),ïîòîìó ÷òî çàêîí äèñïåðñèè äèôôóçíîãî ðåæèìà òàêîé: ω ∼ k 2 .
Êàê áûòî íè áûëî, â íàøåé ìîäåëè äðóãîé çàêîí äèñïåðñèè: ω ∼ k , ñâÿçàííûéñî çâóêîâîé ìîäîé. Åñëè ïîëîæèòü ðàçìåðíîñòü ñêîðîñòè çâóêà c0 ðàâíîéíóëþ, âûáîð ïîëíîé ðàçìåðíîñòè äîëæåí áûòü òàêîé: dF = dkF + dωF .Âûáîð (1.17) ïîäðàçóìåâàåò, ÷òî ìû çàèíòåðåñîâàíû â àñèìïòîòè÷åñêîì ïîâåäåíèè ôóíêöèé Ãðèíà, ïðè ω ∼ k 2 → 0; Ðà îáðàáîòêà ïðåîáðàçóåò âûðàæåíèå ê êîëìîãîðîâñêîìó çàêîíó ω ∼ k 2/3 → 0 (óâèäèì íèæå).28Èìåííî òàê âûáèðàëè ïîëíóþ êàíîíè÷åñêóþ ðàçìåðíîñòü â ìîäåëÿõ íåñæèìàåìîé æèäêîñòè (ãäå òàêîé âûáîð ÿâëÿåòñÿ åäèíñòâåííî âîçìîæíûì, ïîòîìó ÷òî ñêîðîñòü çâóêà óñòðåìëÿåòñÿ ê áåñêîí÷åíîñòè).
Àëüòåðíàòèâíûéâàðèàíò dF = dkF + dωF çíà÷èë áû, ÷òî ìû çàèíòåðåñîâàíû â àñèìïòîòè÷åñêîì ïîâåäåíèè (òåõ æå) ôóíêöèé Ãðèíà ïðè ω ∼ k → 0 (çâóêîâûå ðåæèìûâ òóðáóëåíòíîé ñðåäå); ýòîò âîïðîñ, êîíå÷íî, êðàéíå èíòåðåñåí, íî äî ñèõïîð íå äîñòóïåí äëÿ Ðà ðàññìîòðåíèÿ è â äàííîé ðàáîòå îáñóæäàòüñÿ íåáóäåò.Èç òàáëèöû 1.1 ñëåäóåò, ÷òî ìîäåëü ñòàíîâèòñÿ ëîãàðèôìè÷íîé (êîíñòàíòà ñâÿçè g0 ∼ L−y ñòàíîâèòñÿ áåçðàçìåðíîé) ïðè y = 0, òàê ÷òî ÓÔðàñõîäèìîñòè èìåþò âèä ïîëþñîâ ïî y â ôóíêöèÿõ Ãðèíà. Ïîëíàÿ êàíîíè÷åñêàÿ ðàçìåðíîñòü 1-íåïðèâîäèìîé ôóíêöèè Ãðèíà Γ (ôîðìàëüíûé èíäåêñ ÓÔ ðàñõîäèìîñòè):δΓ = d + 2 −XNΦ dΦ ,(1.18)Φãäå NΦ - ÷èñëî ïîëåé, âõîäÿùèõ â ôóíêöèþ Γ, dΦ - èõ êàíîíè÷åñêèå ðàçìåðíîñòè.
Ñóììèðîâàíèå ïî âñåì òèïàì ïîëåé Φ ïîäðàçóìåâàåòñÿ. Ïîâåðõíîñòíûå ÓÔ ðàñõîäèìîñòè, óñòðàíåíèå êîòîðûõ ïîäðàçóìåâàåò ââåäåíèåêîíòð÷ëåíîâ, ìîãóò ïðèñóòñòâîâàòü òîëüêî â ôóíêöèÿõ Γ ñ íåîòðèöàòåëüíûì öåëûì δΓ . Êîíòð÷ëåíû ïðåäñòàâëÿþò èç ñåáÿ ïîëèíîìû ïî ÷àñòîòàìè èìïóëüñàì ñòåïåíè δΓ , ñ ñîãëàøåíèåì: ω ∼ k 2 .Ðàçìåðíûé àíàëèç ìîäåëè (1.12) äîëæåí áûòü äîïîëíåí ñëåäóþùèìèñîîáðàæåíèÿìè [64]:(i) Âñå 1-íåïðèâîäèìûå ôóíêöèè Ãðèíà, íå ñîäåðæàùèå ïîëåé îòêëèêà (Nv0 = Nφ0 = 0), âêëþ÷àþò äèàãðàììû ñ çàìêíóòûì öèêëîì çàïàç-29äûâàþùèõ ïðîïàãàòîðîâ.
È ïîýòîìó îíè òîæäåñòâåííî ðàâíû íóëþ è íåòðåáóþò êîíòð÷ëåíîâ [41].(ii) Åñëè ïî êàêîé-òî ïðè÷èíå ÷èñëî âíåøíèõ èìïóëüñîâ âõîäèò êàêîáùèé ìíîæèòåëü âî âñå äèàãðàììû çàäàííîé ôóíêöèè Ãðèíà, ðåàëüíûéèíäåêñ ðàñõîäèìîñòè δΓ0 ìåíüøå, ÷åì δΓ íà ñîîòâåòñâóþùåå ÷èñëî [41, 43]. ìîäåëè (1.12) ïîëå φ âõîäèò â âåðøèíó φ0 (v∂)φ òîëüêî â âèäå ïðîñòðàíñòâåííîé ïðîèçâîäíîé, ÷òî ñíèæàåò ðåàëüíûé èíäåêñ ðàñõîäèìîñòè:δΓ0 = δΓ − Nφ .(1.19)Îò ïîëÿ φ êîíòð÷ëåíû ìîãóò ïîÿâèòüñÿ òîëüêî â âèäå ïðîèçâîäíîé ∂φ.
Â÷àñòíîñòè, äëÿ 1-íåïðèâîäèìîé ôóíêöèè hφ0 φi1−ir ïîëó÷èì δΓ = 2, δΓ0 =0. Ïîýòîìó êîíòð÷ëåí φ0 ∂t φ, õîòÿ è ðàçðåø¼í àíàëèçîì ðàçìåðíîñòåé, íàñàìîì äåëå çàïðåù¼í. È åäèíñòâåííàÿ âîçìîæíàÿ ñòðóêòóðà òàêàÿ: φ0 ∆φ.(iii) Ãàëèëååâà èíâàðèàíòíîñòü ìîäåëè (1.12) ïîäðàçóìåâàåò, ÷òî âêëàäû îò êîíòð÷ëåíîâ òîæå èíâàðèàíòíû.  ÷àñòíîñòè, ýòî çíà÷èò, ÷òî êîâàðèàíòíàÿ ïðîèçâîäíàÿ (1.2) âõîäèò â êîíòð÷ëåíû êàê îäíî öåëîå. Êàê ñëåäñòâèå, êîíòð÷ëåí, òðåáóþùèéñÿ äëÿ 1-íåïðèâîäèìîé ôóíêöèè hφ0 vφi1−ir ,ãäå δΓ = 1, δΓ0 = 0, îáÿçàí èìåòü ôîðìó φ0 (v∂)φ è ïîÿâëÿåòñÿ â êîìáèíàöèèφ0 ∇t φ ñ êîíòð÷ëåíîì φ0 ∂t φ, êîòîðûé îáñóæäàëñÿ âûøå.
Ïîýòîìó îí òàêæåçàïðåù¼í.Ðàñõîäèìîñòè â ôóíêöèÿõ hv 0 vi1−ir , ãäå δΓ = 2 è hv 0 vvi1−ir , ãäå δΓ = 1ìîãóò áûòü óñòðàíåíû äâóìÿ êîíòð÷ëåíàìè: v 0 ∂ 2 v è êîìáèíàöèåé v 0 ∇t v . Íàñàìîì äåëå, ïîñëåäíèé òîæå çàïðåù¼í, áëàãîäàðÿ îáîáù¼ííîé ãàëèëååâîéèíâàðèàíòíîñòè ñ çàâèñÿùèì îò âðåìåíè ïàðàìåòðîì ñêîðîñòè w(t) [81,82]:vw (x) = v(xw ) − w(t),Φw (x) = Φ(xw ),30x = {t, x},xw = {t, x + u(t)},Zu(t) =tw(t0 )dt0 .(1.20)Φ îçíà÷àåò 3 ïîëÿ v 0 , φ0 , φ. Ôóíêöèîíàë äåéñòâèÿ íå èíâàðèàíòåí îòíîñèòåëüíî òàêèõ òðàíñôîðìàöèé: S(Φv ) = S(Φ) + v 0 ∂t w. Ìîæíî ïîêàçàòü,êàê áû òî íè áûëî, ÷òî ïðîèçâîäÿùèé ôóíêöèîíàë 1-íåïðèâîäèìîé ôóíêöèè Ãðèíà èçìåíÿåòñÿ òàêæå, Γ(Φv ) = Γ(Φ) + v 0 ∂t w.
Ïîñêîëüêó â îáùåìñëó÷àå Γ(Φ) = S(Φ) ïëþñ äèàãðàììû ñ ïåòëÿìè (êîòîðûå ñîäåðæàò ÓÔðàñõîäèìîñòè), êîíòð÷ëåíû äîëæíû áûòü èíâàðèàíòíûìè îòíîñèòåëüíî(1.20). Ýòî èñêëþ÷àåò êîíòð÷ëåí v 0 ∇t v , èíâàðèàíòíûé îòíîñèòåëüíî îáû÷íûõ ïðåîáðàçîâàíèé Ãàëèëåÿ ñ ïîñòîÿííîé w, íî íå èíâàðèàíòíûé îòíîñèòåëüíî (1.20). Áîëåå äåòàëüíîå îáñóæäåíèå èñïîëüçîâàíèÿ îáîáùåííîéãàëèëååâîé èíâàðèàíòíîñòè, îñîáåííî äëÿ ñîñòàâíûõ ïîëåé, ìîæíî íàéòèâ [41, 43, 82].(iv) Âûðàæåíèÿ (1.14) ïîêàçûâàþò, ÷òî ïðîïàãàòîðû hv 0 φi0 è hvφi0 ñîäåðæàò ìíîæèòåëü c20 , à hv 0 φi0 ñîäåðæèò c40 . Ýòè ìíîæèòåëè ïîÿâëÿþòñÿ êàêäîïîëíèòåëüíûå ÷èñëîâûå ìíîæèòåëè â ëþáîé äèàãðàììå, ñîäåðæàùåé ýòèïðîïàãàòîðû. È èõ ðåàëüíûé èíäåêñ ðàñõîäèìîñòè óìåíüøàåòñÿ íà ñîîòâåòñòâóþùåå ÷èñëî åäèíèö.
 ÷àñòíîñòè, ëþáàÿ äèàãðàììà 1-íåïðèâîäèìîé2(Nφ0 −Nφ )ôóíêöèè ñ Nφ0 > Nφ ñîäåðæèò ìíîæèòåëü c0. Îòñþäà ñëåäóåò, ÷òîêîíòð÷ëåí ê 1-íåïðèâîäìîé ôóíêöèè hφ0 vi1−ir , ãäå δΓ = 3 îáÿçàòåëüíî ñâîäèòñÿ ê c20 φ0 (∂v), òîãäà êàê ñëàãàåìûå φ0 ∂ 2 (∂v) è ò.ï. çàïðåùåíû. Äðóãîåñëåäñòâèå - ýòî êîíå÷íîñòü ôóíêöèè hφ0 vvi1−ir , ó êîòîðîé δΓ = 2. Êàæäàÿäèàãðàììà ýòîé ôóíêöèè ñîäåðæèò ìíîæèòåëü c20 , êîòîðûé çàïðåùàåò êîíòð÷ëåíû òèïà φ0 (∂v)(∂v) è ò.ï., à îñòàâøàÿñÿ êîíñòðóêöèÿ c20 φ0 v 2 çàïðåùåíàãàëèëååâîé ñèììåòðèåé.31Ñ ó÷¼òîì âñåõ ýòèõ ñîîáðàæåíèé, ÿñíî, ÷òî âñå ÓÔ ðàñõîäèìîñòè âìîäåëè (1.12) óñòðàíÿþòñÿ êîíòð÷ëåíàìè:vi0 ∂ 2 vi ,vi0 ∂i ∂k vk ,vi0 ∂i φ,c20 φ0 ∂i vi ,φ0 ∂ 2 φ.(1.21)Âñå ýòè êîíñòðóêöèè åñòü â ðàñøèðåííîì ôóíêöèîíàëå äåéñòâèÿ (1.12), ãäåv0 > 0, òàê ÷òî ìîäåëü ìóëüòèïëèêàòèâíî ðåíîðìèðóåìà.Êàê è äëÿ íåñæèìàåìîãî ñëó÷àÿ [83], â ôóíêöèè hv 0 v 0 i1−ir äëÿ d = 2ïîÿâëÿåòñÿ íîâàÿ ÓÔ ðàñõîäèìîñòü, è íàäî âêëþ÷èòü íîâûé êîíòð÷ëåív 0 ∂ 2 v 0 .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
