Диссертация (1150683), страница 6
Текст из файла (страница 6)
Òîãäà ðåçóëüòàòû(1.48) îñòàþòñÿ â ñèëå, òîãäà êàê (1.49) ñëåäóåò ïåðåñìîòðåòü.412. Ïàññèâíûå ñêàëÿðíûå ïîëÿ: ðåíîðìèðîâêà, ÐÃôóíêöèè è íåïîäâèæíàÿ òî÷êà2.1.Ìîäåëè è èõ òåîðåòèêî-ïîëåâûå ôîðìóëèðîâêèÑóùåñòâóåò äâå îñíîâíûå çàäà÷è êîíâåêöèè-äèôôóçèè äëÿ ñæèìàå-ìîãî ïîëÿ [58]. Ïàññèâíûé ïåðåíîñ ïîëÿ ïëîòíîñòè θ(x) ≡ θ(t, x) (íàïðèìåð, ïëîòíîñòè ïðèìåñè) îïèñûâàåòñÿ óðàâíåíèåì:∂t θ + ∂i (vi θ) = κ0 ∂ 2 θ + f,(2.1)à ïåðåíîñ òðåéñåðà (òåìïåðàòóðû, óäåëüíîé ýíòðîïèè èëè êîíöåíòðàöèè÷àñòèö ïðèìåñè) îïèñûâàåòñÿ óðàâíåíèåì:∂t θ + (vi ∂i )θ = κ0 ∂ 2 θ + f.(2.2)Çäåñü ∂t ≡ ∂/∂t, ∂i ≡ ∂/∂xi , κ0 ìîëåêóëÿðíûå êîýôôèöèåíòû äèôôóçèè,∂ 2 = ∂i ∂i îïåðàòîð Ëàïëàñà, v(x) ïîëå ñêîðîñòè è f ≡ f (x) ãàóññîâûéøóì ñ íóëåâûì ñðåäíèì è çàäàííûì êîððåëÿòîðîì,hf (x)f (x0 )i = δ(t − t0 ) C(r/L),r = x − x0 ,(2.3)C(r/L) íåêîòîðàÿ ôóíêöèÿ, êîíå÷íàÿ ïðè (r/L) → 0 è áûñòðî óáûâàþùàÿ ïðè (r/L) → ∞.
 äàëüíåéøåì ìû íå áóäåì ðàçëè÷àòü èíòåãðàëüíûéìàñøòàá L, îòíîñÿùèéñÿ ê øóìó, è åãî àíàëîã L = m−1 â êîððåëÿöèîííîé ôóíêöèè ïåðåìåøèâàþùåé ñèëû (1.11). Íå óìàëÿÿ îáùíîñòè, ïîëîæèìC(0) = 1 (êîýôôèöèåíò ìîæíî óáðàòü ïåðåìàñøòàáèðîâàíèåì θ è f ). Øóì42íóæíî ïîíèìàòü êàê "çàìåíèòåëü"íà÷àëüíûõ è/èëè ãðàíè÷íûõ óñëîâèé: îíïîääåðæèâàåò ñòàöèîíàðíîå ñîñòîÿíèå ñèñòåìû (êîððåëÿöèîííûå ôóíêöèèíå çàâèñÿò îò âðåìåíè) è ñëóæèò â êà÷åñòâå èñòî÷íèêà êðóïíîìàñøòàáíîé àíèçîòðîïèè. (Ïîñëåäíèé òåðìèí îçíà÷àåò, ÷òî àíèçîòðîïèÿ ââîäèòñÿíà ìàñøòàáàõ ïîðÿäêà L, â òî âðåìÿ êàê ñòàòèñòèêà ïîëÿ ñêîðîñòè îñòàåòñÿ èçîòðîïíîé. Ñëó÷àé àíèçîòðîïíîé ñòàòèñòèêè ñêîðîñòè îáñóæäàåòñÿ(â ïðèáëèæåíèè Ðà + ÎÐ) â [84].)  áîëåå ðåàëèñòè÷íîé ôîðìóëèðîâêåøóì ìîæåò âîçíèêàòü âñëåäñòâèå ââåä¼ííîãî ëèíåéíîãî ãðàäèåíòà ïîëÿ(òåìïåðàòóðû).
Îäíàêî, îêàçûâàåòñÿ, ÷òî êîíêðåòíûé âèä ñëó÷àéíîãî ïåðåìåøèâàíèÿ íå âàæåí, è â áóäóùåì ìû èñïîëüçóåì èñêóññòâåííûé øóì âêîððåëÿöèîííîé ôóíêöèè (2.3). îòñóòñòâèè øóìà óðàâíåíèå (2.1) èìååò âèä óðàâíåíèÿ íåðàçðûâíîñòè (çàêîíà ñîõðàíåíèÿ); ïðè÷¼ì θ ÿâëÿåòñÿ ïëîòíîñòüþ ñîîòâåòñòâóþùåéñîõðàíÿþùåéñÿ âåëè÷èíû. Äëÿ ìîäåëè (2.2), ñîõðàíÿåòñÿ âñïîìîãàòåëüíîåïîëå (îòêëèêà) θ0 , êîòîðîå ïîÿâëÿåòñÿ â òåîðåòèêî-ïîëåâîé ïîñòàíîâêå çàäà÷è; óâèäèì ýòî íèæå. Åñëè ôóíêöèÿ â (2.3) âûáðàíà òàê, ÷òî å¼ Ôóðüå-îáðàçC(k) èñ÷åçàåò ïðè k = 0, ïîëÿ θ èëè θ0 ñîõðàíÿþòñÿ òîëüêî â ñòàòèñòè÷åñêîì ñìûñëå, â ïðèñóòñòâèå âíåøíåãî øóìà.Çàäà÷è (2.1) è (2.2) òùàòåëüíî èçó÷åíû äëÿ ñëó÷àÿ ìîäåëè Êðåé÷íàíà [4954, 85]; ñëó÷àé ãàóññîâîé ñòàòèñòèêè ñêîðîñòè ñ êîíå÷íûì âðåìåíåìêîððåëÿöèè èçó÷åí â ðàáîòå [56].Ñòîõàñòè÷åñêèå çàäà÷è (2.1), (2.3) ýêâèâàëåíòíû ïîëåâîé ìîäåëè äëÿóäâîåííîãî íàáîðà ïîëåé Φ ≡ {θ0 , θ, v 0 , v, φ0 , φ} ñ ôóíêöèîíàëîì äåéñòâèÿSΦ (Φ) = Sθ (θ0 , θ, v) + S(v 0 , v, φ0 , φ),(2.4)43ãäå1Sθ (θ0 , θ, v) = θ0 Df θ0 + θ0 −∂t θ − ∂i (vi θ) + κ0 ∂ 2 θ2(2.5)òàê íàçûâàåìîå äåéñòâèå äå Äîìèíèñèñà-ßíññåíà äëÿ ñòîõàñòè÷åñêîé çàäà÷è (2.1), (2.3) ïðè ôèêñèðîâàííîì v, à âòîðîé ÷ëåí çàäà¼òñÿ ñ ïîìîùüþ(1.12) è îòâå÷àåò çà ñòàòèñòèêó ñêîðîñòè; Df êîððåëÿöèîííàÿ ôóíêöèÿ(2.3), è, êàê îáû÷íî, ïîäðàçóìåâàþòñÿ ñîîòâåòñòâóþùèå èíòåãðèðîâàíèÿ èñóììèðîâàíèÿ ïî âåêòîðíûì èíäåêñàì. äîïîëíåíèå ê (1.14), äèàãðàììíàÿ òåõíèêà äëÿ ïîëíîé çàäà÷è âêëþ÷àåò åù¼ äâà ïðîïàãàòîðàhθθ0 i0 = hθ0 θi∗0 =1,(−iω + κ0 k 2 )hθθi0 =C(k)| − iω + κ0 k 2 |2(2.6)è íîâóþ âåðøèíó −θ0 ∂i (vi θ) = Vi θ0 vi θ.
 èìïóëüñíîì ïðåäñòàâëåíèè âåðøèííûé ìíîæèòåëü Vi â äèàãðàììàõ èìååò âèäVi (k) = iki ,(2.7)ãäå k èìïóëüñ ïîëÿ θ0 (èñïîëüçóÿ èíòåãðèðîâàíèå ïî ÷àñòÿì, ïðîèçâîäíóþâ âåðøèíå ìîæíî "ïåðåáðîñèòü"íà ïîëå θ0 ).Çàäà÷à (2.2) ñîîòâåòñòâóåò äåéñòâèþ (2.4), ãäå ñëàãàåìîå Sθ çàäà¼òñÿòàê:1Sθ (θ0 , θ, v) = θ0 Df θ0 + θ0 −∂t θ − (vi ∂i )θ + κ0 ∂ 2 θ .2(2.8)Íîâûå ïðîïàãàòîðû çàäàþòñÿ òåìè æå âûðàæåíÿìè (2.6), à âåðøèííûéìíîæèòåëü (2.7) íåîáõîäèìî èçìåíèòü:Vi (k) = −iki ,ãäå k èìïóëüñ ïîëÿ θ.(2.9)442.2.ÓÔ ðàñõîäèìîñòè, ðåíîðìèðîâêà è ìóëüòèïëèêàòèâíàÿ ðåíîðìèðóåìîñòüÊàíîíè÷åñêèå ðàçìåðíîñòè íîâûõ ïîëåé è ïàðàìåòðîâ, êîòîðûå ïîÿâ-ëÿþòñÿ â ìîäåëÿõ (2.4), (2.5), (2.8) ïðèâåäåíû â òàáëèöå 1.1, ãäå ìû ââåëèíîâûé áåçðàçìåðíûé ïàðàìåòð w0 = κ0 /ν0 , ñ ν0 èç (1.1).Òåïåðü â âûðàæåíèè (1.18) äëÿ ôîðìàëüíîãî èíäåêñà ÓÔ ðàñõîäèìîñòè ñóììèðîâàíèå áóäåò ïî ïîëíîìó íàáîðó ïîëåé Φ ≡ {θ0 , θ, v 0 , v, φ0 , φ}.Ïðàâèëà (i)-(iv) èç ðàçäåëà 1.3 íàäî îáîáùèòü è äîïîëíèòü òàêèì îáðàçîì:(i) Âñå 1-íåïðèâîäèìûå ôóíêöèè Ãðèíà áåç ïîëåé îòêëèêà v 0 , φ0 , θ0òîæäåñòâåííî ðàâíû íóëþ è íå ïîðîæäàþò êîíòð÷ëåíîâ.(ii)  ìîäåëè (2.8) ïîëå θ âõîäèò â âåðøèíó −θ0 (vi ∂i )θ òîëüêî â âèäåïðîèçâîäíîé.
Òîãäà âûðàæåíèå (1.19) äëÿ ðåàëüíîãî èíäåêñà ðàñõîäèìîñòèíåîáõîäèìî èçìåíèòü òàê:δΓ0 = δΓ − Nφ − Nθ .(2.10) ìîäåëè (2.5) ïðîèçâîäíóþ â âåðøèíå −θ0 ∂i (vi θ) ìîæíî "ïåðåáðîñèòü"íàïîëå θ0 ñ ïîìîùüþ èíòåãðèðîâàíèÿ ïî ÷àñòÿì, è ðåàëüíûé èíäåêñ òîãäà:δΓ0 = δΓ − Nφ − Nθ0 .(2.11)Ïîñêîëüêó ïîëå θ â ìîäåëè (2.8) è θ0 â ìîäåëè (2.8) ìîæåò âõîäèòü â êîíòð÷ëåíû òîëüêî â âèäå ïðîñòðàíñòâåííîé ïðîèçâîäíîé, êîíòð÷ëåí θ0 ∂t θ äëÿ1-íåïðèâîäèìîé ôóíêöèè Ãðèíà hθ0 θi1−ir , ãäå δΓ = 2, δΓ0 = 1 çàïðåù¼í äëÿîáåèõ ìîäåëåé.(iii) Äðóãèì ñëåäñòâèåì èç (ii) ÿâëÿåòñÿ òîò ôàêò, ÷òî êîíòð÷ëåíû ê1-íåïðèâîäèìîé ôóíêöèè hθ0 vθi1−ir ïðè óñëîâèÿõ δΓ = 1, δΓ0 = 0 ñâîäÿòñÿ ê45âèäó θ0 ∂i (vi θ) äëÿ ìîäåëè (2.5) è θ0 (vi ∂i )θ äëÿ ìîäåëè (2.8).
Ãàëèëååâà ñèììåòðèÿ òðåáóåò, îäíàêî, ÷òîáû ýòè ìîíîìû âõîäèëè â êîíòð÷ëåíû òîëüêî ââèäå èíâàðèàíòíûõ êîìáèíàöèé θ0 [∂t θ + ∂i (vi θ)] è θ0 ∇t θ. Òàê ÷òî îíè òîæåçàïðåùåíû.(iv) Èç àíàëèçà äèàãðàìì Ôåéíìàíà ñëåäóåò, ÷òî äëÿ ëþáîé 1-íåïðèâîäèìîé ôóíêöèè Nθ0 − Nθ = 2N0 , ãäå N0 ïîëíîå ÷èñëî çàòðàâî÷íûõ ïðîïàãàòîðîâ hθθi0 , âõîäÿùèõ â äèàãðàììó. Íà ñàìîì äåëå, íåëüçÿ ñîñòàâèòüäèàãðàììó ñ N0 < 0, òàê ÷òî ðàçíîñòü Nθ0 −Nθ åñòü ÷¼òíîå íåîòðèöàòåëüíîå÷èñëî äëÿ ëþáîé íåòðèâèàëüíîé ôóíêöèè Ãðèíà.
Ýòîò ôàêò, ÿâëÿþùèéñÿñëåäñòâèåì ëèíåéíîñòè èçíà÷àëüíûõ ñòîõàñòè÷åñêèõ óðàâíåíèé (2.1), (2.2)ïî ïîëþ θ, ÿâëÿåòñÿ ðåøàþùèì äëÿ ïåðåíîðìèðóåìîñòè ìîäåëåé (2.5) è(2.8).  ñàìîì äåëå, ïîëíàÿ êàíîíè÷åñêàÿ ðàçìåðíîñòü dθ = −1 îòðèöàòåëüíà (â îòëè÷èå îò áîëüøèíñòâà îáû÷íûõ òåîðåòèêî-ïîëåâûõ ìîäåëåé),ïîýòîìó èíäåêñ (2.11) ðàñò¼ò ñ ðîñòîì Nθ , òîãäà êàê (2.10) íå çàâèñèò îòNθ . Áåç îãðàíè÷åíèÿ Nθ 6 Nθ0 ìû áû ñòîëêíóëèñü ñ ïîâåðõíîñòíîé ðàñõîäèìîñòüþ ôóíêöèè hθ0 θ . .
. θi1−ir , è, êàê ñëåäñòâèå, òåîðèÿ íå áûëà áûïåðåíîðìèðóåìà.Íàêîíåö, ìû îñòàëèñü ñ ëèøü ïîâåðõíîñòíî ðàñõîäÿùåéñÿ 1-íåïðèâîäèìîé ôóíêöèåé Ãðèíà hθ0 θi1−ir ñ åäèíñòâåííûì êîíòð÷ëåíîì θ0 ∂ 2 θ. Ýòî,åñòåñòâåííî, ïîðîæäàåò ìóëüòèïëèêàòèâíóþ ðåíîðìèðîâêó êîýôôèöèåíòàäèôôóçèè: κ0 = κZκ . Íå òðåáóåòñÿ íèêàêîé ðåíîðìèðîâêè ïîëåé θ0 , θ:Zθ0 = Zθ = 1. Ðåíîðìèðîâàííûé àíàëîã ôóíêöèîíàëà äåéñòâèÿ (2.5) èìååòâèä:SΦR (Φ) = SθR (θ0 , θ, v) + S R (v 0 , v, φ0 , φ)(2.12)46ñ S R èç (1.22) è1SθR (θ0 , θ, v) = θ0 Df θ0 + θ0 −∂t θ − ∂i (vi θ) + κZκ ∂ 2 θ ,2(2.13)à òàêæå äëÿ (2.8):1Sθ (θ0 , θ, v) = θ0 Df θ0 + θ0 −∂t θ − (vi ∂i )θ + κZκ ∂ 2 θ .2(2.14)Íåîáõîäèìî åù¼ çàìåòèòü, ÷òî åñëè ÷ëåí ñ Df îïóùåí, ìîäåëè (2.5) è(2.8) ìîæíî ïðåîáðàçîâàòü äðóã â äðóãà çàìåíîé θ(t, x) ↔ θ0 (t, x) è îòðàæåíèåì t → −t.
 ÷àñòíîñòè, ýòî çíà÷èò, ÷òî ðåíîðìàëèçàöèîííûå êîíñòàíòûZκ â (2.13) è (2.14) ñîâïàäàþò âî âñåõ ïîðÿäêàõ òåîðèè âîçìóùåíèé, ïîòîìóêàê êîððåëÿòîð Df íå ïîÿâèòñÿ â ñîîòâåòñòâóþùèõ äèàãðàììàõ (ñì. 2.3).2.3.ßâíûå îòâåòû â ãëàâíîì ïîðÿäêå. Íåïîäâèæíûå òî÷êè èñêåéëèíãîâûå ðàçìåðíîñòèÎáðàòèìñÿ ê ÿâíîìó ðàñ÷¼òó ðåíîðìàëèçàöèîííîé êîíñòàíòû Zκ âîäíîïåòëåâîì ïðèáëèæåíèè; äëÿ îïðåäåë¼ííîñòè ðàññìîòðèì ñëó÷àé ïîëÿ ïëîòíîñòè (2.13). Êîíñòàíòà íàõîäèòñÿ èç òîãî ñîîáðàæåíèÿ, ÷òî 1íåïðèâîäèìàÿ ôóíêöèÿ Ãðèíà hθ0 θi1−ir , âûðàæåííàÿ ÷åðåç ðåíîðìèðîâàííûå ïàðàìåòðû, äîëæíà áûòü ÓÔ-êîíå÷íîé (òî åñòü êîíå÷íîé ïðè y → 0).Ñîîòâåòñòâóþùåå óðàâíåíèå Äàéñîíà â èìïóëüñíî-÷àñòîòíîì ïðåäñòàâëåíèè âûãëÿäèò òàê:hθ0 θi1−ir (ω, p) = −iω + κ0 p2 − Σθ0 θ (ω, p),(2.15)ãäå îïåðàòîð ñîáñòâåííîé ýíåðãèè Σθ0 θ îïðåäåëÿåòñÿ êàê áåñêîíå÷íàÿ ñóììà 1-íåïðèâîäèìûõ äèàãðàìì.
 îäíîïåòëåâîì ïðèáëèæåíèè ýòîò îïåðàòîðèìååò âèä:47Σθ 0 θ =ãäå âîëíèñòàÿ ëèíèÿ îçíà÷àåò çàòðàâî÷íûé ïðîïàãàòîð hvvi0 èç (1.14),ñïëîøíàÿ ëèíèÿ ñî øòðèõîì îçíà÷àåò çàòðàâî÷íûé ïðîïàãàòîð hθθ0 i0 èç(2.6), êîíåö ñî øòðèõîì ñîîòâåòñòâóåò ïîëþ θ0 . Òî÷êè ñ òðåìÿ âûõîäÿùèìèëèíèÿìè-ïîëÿìè θ0 , θ, v îçíà÷àþò âåðøèíó (2.7). ãëàâíîì ïîðÿäêå ðåíîðì êîíñòàíòà â çàòðàâî÷íîì ÷ëåíå (2.15) áåð¼òñÿ òîëüêî â ïåðâîì ïîðÿäêå ïî g , òî åñòü, κ0 = κZκ ' κ(1 + z (1) g/y),òîãäà êàê â äèàãðàììå (2.3) âñå Z -û çàìåíåíû åäèíèöàìè. Êðîìå òîãî, íàìíåîáõîäèìî çíàòü ðàñõîäÿùóþñÿ ÷àñòü (2.3), êîòîðàÿ ïðîïîðöèîíàëüíà p2(ñì. â ïðåäûäóùåì ðàçäåëå). Èòàê, â (2.3) ìû ìîæåì ïîëîæèòü ω = 0 èâ äàëüíåéøèõ ðàñ÷¼òàõ óäåðæèâàòü â ðàçëîæåíèè ïî ïàðàìåòðó p òîëüêî÷ëåíû ïîðÿäêà p2 .
Êàê è äëÿ íà÷àëüíîé ìîäåëè ÍÑ, ýòè ÷ëåíû íå çàâèñÿòîò c0 ∼ c, è èõ ìîæíî âû÷èñëÿòü íàïðÿìóþ, ïîëîæèâ c = 0; ñì. áîëååïîäðîáíîå îáñóæäåíèå â ðàçäåëå 1.3. Òîãäà ëåãêî ïîíÿòü, ÷òî âûðàæåíèåäëÿ (2.3) áóäåò òàêèì:ZΣθ0 θ = ipsdω 0(2π)Dsl (ω 0 , k)dki(p + k)l,d−iω 0 + wν|p + k|2k>m (2π)Zãäå(Dsl (ω 0 , k) = gµy ν 3Psl⊥ (k)(ω 0 )2 + ν 2 k 4+kαPsl (k)(ω 0 )2 + u2 ν 2 k 4(2.16))(2.17)åñòü êîððåëÿöèîííàÿ ôóíêöèÿ ñêîðîñòè èç (1.14) ñ íàäëåæàùèìè çàìåíàìè, â òîì ÷èñëå c = 0.Èíòåãðèðîâàíèÿ ïî ÷àñòîòå âûïîëíÿþòñÿ, íàïðèìåð, òàê:Z111dω 0=.(2π) −iω 0 + wν|p + k|2 (ω 0 )2 + u2 ν 2 k 42uν 2 k 2 (uk 2 + w|p + k|2 )(2.18)48 ÷ëåíàõ, ñîäåðæàùèõ ìíîæèòåëü ps pl ìîæíî ïîëîæèòü p = 0 â (2.18), â òîkâðåìÿ êàê èñêëþ÷èòåëüíîå ñëàãàåìîå ñ ps kl Psl (k) = ps ks ñëåäóåò ðàçëîæèòü(2.18) âïëîòü äî ëèíåéíîãî ïî p ÷ëåíà:11=uk 2 + w|p + k|2(u + w)k 21−2w (pk).(u + w) k 2Ñ ïîìîùüþ ôîðìóëZδisdk ki f (k) = 0,dk ki ks f (k) =dk f (k),dZZδis δlp + δil δsp + δip δsldk f (k),dk ki ks kl kp f (k) =d(d + 2)ZZ(2.19)ãäå f (k) ëþáàÿ ôóíêöèÿ, çàâèñÿùàÿ òîëüêî îò k = |k|, âñå ïîëó÷åííûåèíòåãðàëû ñâîäÿòñÿ ê ñêàëÿðíîìó èíòåãðàëóZJ(m) =dkk>m1k d+ym−y= Sdy(2.20)ñ Sd èç (1.27).Ñîáðàâ âñ¼ âîåäèíî, ïîëó÷èìΣθ0 θĝp2 µ y=−2dy mα2αw(d − 1)+−(1 + w) u(u + w) u(u + w)2(2.21)ãäå ĝ îïðåäåëåíà â (1.26).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
