Диссертация (1150683), страница 13
Текст из файла (страница 13)
Ñòðóêòóðíûåôóíêöèè, ïî êðàéíåé ìåðå, ñ òåîðåòè÷åñêîé òî÷êè çðåíèÿ, ÿâëÿþòñÿ áîëååóäîáíûìè îáúåêòàìè äëÿ èçó÷åíèÿ ìîäåëåé, èìåþùèõ ñèììåòðèþ îòíîñèòåëüíî ñäâèãà θ → θ + const, êàê ñêàëÿðíàÿ ìîäåëü òðåéñåðà; ñì. îáñóæäåíèå, íàïðèìåð, â [56, 88].984. Ðà àíàëèç âáëèçè "îñîáîé"ðàçìåðíîñòè d=4:Óðàâíåíèå ÍÑ è ïåðåíîñ ñêàëÿðíûõ ïîëåé4.1.Îïèñàíèå ìîäåëèÊàê óæå áûëî ïîêàçàíî â ïåðâîé ãëàâå, óðàâíåíèå (1.1) âìåñòå ñ óðàâ-íåíèåì íåðàçðûâíîñòè ìîæíî ïåðåïèñàòü â âèäå äâóõ íîâûõ óðàâíåíèé(1.7), (1.8).Êîððåëÿöèîííàÿ ôóíêöèÿ ñëó÷àéíîé ñèëû, âõîäÿùåé â óðàâíåíèåÍàâüå-Ñòîêñà îïðåäåëÿåòñÿ àíàëîãè÷íî (1.10), (1.11):δ(t − t0 )hfi (t, x)fj (t0 , x0 ) =(2π)dZ0dd k Dij (k)eik·(x−x ) ,(4.1)k>mãäåe ij (k) =Dg10 ν03 k 4−d−yPij (k) + αQij (k) .(4.2)Çäåñü d ýòî ðàçìåðíîñòü ïðîñòðàíñòâà, Pij (k) = δij − ki kj /k 2 è Qij (k) =ki kj /k 2 ýòî ïîïåðå÷íûé è ïðîäîëüíûé ïðîåêòîðû, k = |k|, ïàðàìåòð α ÿâëÿåòñÿ ñâîáîäíûì, èìååò ñìûñë ñòåïåíè ñæèìàåìîñòè, àìïëèòóäà g10 ýòîêîíñòàíòà ñâÿçè (ôîðìàëüíûé ïàðàìåòð ðàçëîæåíèÿ â òåîðèè âîçìóùåíèé); ñîîòíîøåíèå g0 ∼ Λy çàäàåò òèïè÷íûé ÓÔ ìàñøòàá, îáðàòíûé äëèíåäèññèïàöèè.
Ïàðàìåòð m = L−1 îáåñïå÷èâàåò ÈÊ ðåãóëÿðèçàöèþ; å¼ òî÷íûé âèä íå èìååò çíà÷åíèÿ, ïîýòîìó ðåãóëÿðèçàöèÿ áûëà âûáðàíà â ñàìîéïðîñòîé ôîðìå îáðåçàíèÿ. Ïîêàçàòåëü y îáåñïå÷èâàåò ÓÔ ðåãóëÿðèçàöèþè ïîýòîìó èãðàåò ðîëü ôîðìàëüíî ìàëîãî ïàðàìåòðà ðàçëîæåíèÿ [90]. Áî-99ëåå ðåàëèñòè÷íîå (ôèçè÷åñêîå) çíà÷åíèå çàäà¼òñÿ ïðåäåëîì y → 4, êîãäàôóíêöèþ â (4.2) ìîæíî ðàññìàòðèâàòü êàê ñòåïåííîå èçîáðàæåíèå ôóíêöèè δ(k): òàêîé ñëó÷àé ñîîòâåòñòâóåò èäåàëüíîé êàðòèíå ââîäà ýíåðãèè âñèñòåìó íà áåñêîíå÷íî áîëüøèõ ìàñøòàáàõ. Äëÿ ãàëèëååâîé èíâàðèàíòíîñòè ôóíêöèÿ (4.2) äîëæíà áûòü äåëüòà-êîððåëèðîâàíà ïî âðåìåíè [43].4.2.Òåîðåòèêî-ïîëåâàÿ ôîðìóëèðîâêà ìîäåëè4.2.1.Ôóíêöèîíàë äåéñòâèÿ è ïðàâèëà ÔåéíìàíàÑîãëàñíî îáùåé òåîðåìå [80, 90], ñòîõàñòè÷åñêàÿ çàäà÷à (1.7) (4.2)ýêâèâàëåòíà òåîðåòèêî-ïîëåâîé ìîäåëè ñ óäâîåííûì íàáîðîì ïîëåé Φ ={vi , vi0 , φ, φ0 } è ôóíêöèîíàëîì äåéñòâèÿ Äå Äîìèíèñèñà-ßíññåíà, êîòîðûéâ êîìïàêòíîé ôîðìå çàïèñûâàåòñÿ â âèäå:vi0 Dik vk002S(Φ) =+ vi −∂t vi − vj ∂j vi + ν0 [δik ∂ − ∂i ∂k ]vk + u0 ν0 ∂i ∂k vk − ∂i φ2+ φ0 [−∂t φ + vj ∂j φ + v0 ν0 ∂ 2 φ − c20 (∂i vi )],(4.3)ãäå Dik ýòî êîððåëÿöèîííàÿ ôóíêöèÿ (4.2).
Çäåñü ïîäðàçóìåâàþòñÿ èíòåãðèðîâàíèÿ ïî ïåðåìåííûì x è t, à òàêæå ñóììèðîâàíèå ïî ïîâòîðÿþùèìñÿèíäåêñàì. Ìû ïåðåøëè ê íîâûì ïåðåìåííûì u0 = µ0 /ν0 > 0 è ââåëè íîâîåñëàãàåìîå v0 ν0 φ0 ∂ 2 φ ñ äðóãèì ïîëîæèòåëüíûì áåçðàçìåðíûì ïàðàìåòðîìv0 , êîòîðîå íåîáõîäèìî äëÿ ìóëüòèïëèêàòèâíîé ðåíîðìèðîâêè. Åñëè áû ìûíå ââåëè äîïîëíèòåëüíîå ñëàãàåìîå, îíî ïîÿâèëîñü áû ïðè ðåíîðìèðîâêå. ñòàíäàðòíîì ïîäõîäå, åñëè ìû ïðèìåíÿåì ìåòîäà êâàíòîâîé òåîðèè ïîëÿ ê ñòîõàñòè÷åñêèì äèôôåðåíöèàëüíûì óðàâíåíèÿì, ðàçìåðíîñòü100ïðîñòðàíñòâà d èãðàåò ïàññèâíóþ ðîëü, è íà ñàìîì äåëå ïàðàìåòð ðàçëîæåíèÿ ýòî y ; äåòàëüíîå îáñóæäåíèå ìîæíî íàéòè â ìîíîãðàôèÿõ [43, 90].Íàø ïîõîä ïîõîæ íà àíàëèç íåñæèìàåìîãî óðàâíåíèå Íàâüå-Ñòîêñà âáëèçèðàçìåðíîñòè d = 2 [83, 91, 92].
 äàííîì ñëó÷àå ïîÿâëÿåòñÿ äîïîëíèòåëüíàÿ ðàñõîäèìîñòü â ôóíêöèè Ãðèíà v 0 v 0 . Ìîæíî å¼ óñòðàíèòü ïîäõîäÿùèìëîêàëüíûì êîíòð÷ëåíîì vi0 ∂ 2 vi0 . Òàêæå íåîáõîäèìî ïîñòðîèòü ñõåìó ðàçëîæåíèÿ ïî äâóì ïàðàìåòðàì y è ε0 = d − 2.  ïåðâîé ãëàâå áûëà ðàññìîòðåíà òàêàÿ æå ìîäåëü (4.3) ïðè ôèêñèðîâàííîé ðàçìåðíîñòè d = 3, äëÿíå¼ ôóíêöèîíàë äåéñòâèÿ (4.3) ñîäåðæèò âñå íåîáõîäèìûå ñëàãàåìûå äëÿðåíîðìàëèçàöèè [64, 88, 93].
Îäíàêî èç ðàçìåðíîãî àíàëèçà (ñì. äàëåå) ñëåäóåò, ÷òî ïðè d = 4 ïîÿâëÿåòñÿ äîïîëíèòåëüíàÿ ðàñõîäèìîñòü â ôóíêöèèÃðèíà v 0 v 0 . Òàê ÷òî ÷òîáû ñîõðàíèòü ðåíîðìèðóåìîñòü ìîäåëè ïðè d = 4,e ij (k) in (4.1) íóæíî çàìåíèòü íà Dij (k), ãäåôóíêöèþ DDij (k) =g10 ν03 k 4−d−yPij (k) + αQij (k) +g20 ν03 δij .(4.4)Çäåñü g20 ýòî âòîðàÿ êîíñòàíòà ñâÿçè, íîâîå ëîêàëüíîå ñëàãàåìîå â ïðàâîé÷àñòè ïîãëîùàåò ðàñõîäÿùèåñÿ âêëàäû îò v 0 v 0 .Òåîðèþ âîçìóùåíèé äëÿ ýòîé ìîäåëè ìîæíî âûðàçèòü ñ ïîìîùüþäèàãðàìì Ôåéíìàíà [80, 90].Çàòðàâî÷íûå ïðîïàãàòîðû ñ÷èòûâàþòñÿ èç îáðàòíîé ìàòðèöû ãàóññîâîé (ñâîáîäíîé) ÷àñòè ôóíêöèîíàëà äåéñòâèÿ, à íåëèíåéíàÿ ÷àñòü äèôôåðåíöèàëüíîãî óðàâíåíèÿ îïðåäåëÿåò âåðøèíû âçàèìîäåéñòâèÿ. Ãðàôè÷åñêîå ïðåäñòàâëåíèå ïðîïàãàòîðíûõ ôóíêöèé èçîáðàæåíî íà ðèñóíêå 4.1,âåðøèí íà ðèñóíêå 4.2.
Èç (4.3) ñëåäóåò, ÷òî â äèàãðàììíîé òåõíèêå äëÿäàííîé ìîäåëè åñòü äâà òèïà âåðøèí, −v 0 (v∂)v è −φ0 (v∂)φ. Ïðîïàãàòîðû101â ÷àñòîòíî-èìïóëüñíîì ïðåäñòàâëåíèè èìåþò âèä (1.14).vv′vvφv′vφ′φφ′φφvφÐèñ. 4.1. Ãðàôè÷åñêîå èçîáðàæåíèå çàòðàâî÷íûõ ïðîïàãàòîðîâ äëÿ ìîäåëè (4.3)Ðèñ.
4.2. Ãðàôè÷åñêîå èçîáðàæåíèå âåðøèí äëÿ ìîäåëè (4.3)4.2.2.Êàíîíè÷åñêèå ðàçìåðíîñòè, ÓÔ ðàñõîäèìîñòè è ðåíîðìàëèçàöèîííûå ïîñòîÿííûåÀíàëèç ÓÔ ðàñõîäèìîñòåé ñâÿçàí ñ àíàëèçîì êàíîíè÷åñêèõ ðàçìåðíîñòåé 1-íåïðèâîäèìûõ ôóíêöèé. Äëÿ òàêîãî èññëåäîâàíèÿ íåîáõîäèìî âû÷èñëèòü êàíîíè÷åñêèå ðàçìåðíîñòè.Êàíîíè÷åñêèå ðàçìåðíîñòè ìîäåëè, ðàññìîòðåííîé â ïåðâîé ãëàâå,íóæíî äîïîëíèòü íåñêîëüêèìè íîâûìè ñòîëáöàìè.
Èòàê, ìîæíî îïðåäåëèòü êàíîíè÷åñêèå ðàçìåðíîñòè äëÿ (4.3) ïî òàáëèöàì 1.1, 4.1. Èç òàáëèöû 4.1 âèäíî, ÷òî ìîäåëü ëîãàðèôìè÷íà (êîíñòàíòû ñâÿçè g10 ∼ [L]−y è102Òàáëèöà 4.1. Êàíîíè÷åñêèå ðàçìåðíîñòè äîïîëíèòåëüíûõ ïàðàìåòðîâ.Fg10g20u0 , v0 w0 , u, v , w, g1 , g2 , αdkFy4−d0dωF000dFy4−d0g20 ∼ [L]−ε áåçðàçìåðíû) ïðè y = ε = 0,òàê ÷òî ÓÔ ðàñõîäèìîñòè ïðîÿâÿòñÿ â âèäå ïîëþñîâ ïî y , ε è èõ ëèíåéíûì êîìáèíàöèÿì. Çäåñü îáîçíà÷èìε = 4 − d.Ïîëíàÿ êàíîíè÷åñêàÿ ðàçìåðíîñòü 1-íåïðèâîäìîé ôóíêöèè Ãðèíà Γîïðåäåëÿåòñÿ ñîîòíîøåíèåì:δΓ = d + 2 −XNΦ dΦ ,(4.5)Φãäå NΦ ýòî ÷èñëî ïîëåé, âõîäÿùèõ â ôóíêöèþ Γ, dΦ ýòî èõ ïîëíûå êàíîíè÷åñêèå ðàçìåðíîñòè.
Ñóììèðîâàíèå ïî âñåì òèïàì ïîëåé Φ ïîäðàçóìåâàåòñÿ.Ïîâåðõíîñòíûå ÓÔ ðàñõîäèìîñòè (óñòðàíåíèå êîòîðûõ òðåáóåò ââåäåíèÿ êîíòð÷ëåíîâ) ìîãóò ïîÿâèòüñÿ òîëüêî â òåõ ôóíêöèÿõ Γ, äëÿ êîòîðûõôîðìàëüíûé èíäåêñ ðàñõîäèìîñòè δΓ åñòü íåîòðèöàòåëüíîå ÷èñëî. Àíàëèç ðàçìåðíîñòåé òàêæå íåîáõîäèìî äîïîëíèòü ñëåäóþùèìè çàìå÷àíèÿìè:(1) Äëÿ ëþáîé äèíàìè÷åñêîé ìîäåëè âèäà (4.3) âñå 1-íåïðèâîäèìûåôóíêöèè Ãðèíà áåç ïîëåé îòêëèêà v0 èëè φ0 íåèçáåæíî ñîäåðæàò çàìêíóòûåïåòëè çàïàçäûâàþùèõ ïðîïàãàòîðîâ, ïîýòîìó íå òðåáóþò êîíòð÷ëåíîâ.(2) Ïîëå φ âõîäèò â âåðøèíó φ0 (v∂)φ òîëüêî ïîä ïðîèçâîäíîé, ýòîóìåíüøàåò ðåàëüíûé èíäåêñ ðàñõîäèìîñòè äëÿ äèàãðàìì, ñîäåðæàùèì ïî-103ëå φ:δΓ0 = δΓ − Nφ .(4.6) ÷àñòíîñòè, ýòî çíà÷èò, ÷òî ïîëå φ âõîäèò â êîíòð÷ëåíû òîëüêî â âèäå ïðîèçâîäíîé ∂φ, è íå âñå êîíòð÷ëåíû, ðàçðåøåííûå ðàçìåðíûì àíàëèçîì, ðåàëüíî ïîÿâÿòñÿ â ðåíîðìèðîâàííîì äåéñòâèè.
Íàïðèìåð, äëÿ 1íåïðèâîäèìîé ôóíêöèè hφ0 φi ïîëó÷àåì δΓ = 2, δΓ0 = 1. Çíà÷èò åäèíñòâåííûé âîçìîæíûé êîíòð÷ëåí φ0 ∂ 2 φ, ïîòîìó ÷òî ñòðóêòóðà òèïà φ0 ∂t φ çàïðåùåíà.(3) Ïîñêîëüêó â ñëó÷àéíîé ñèëå (4.1) çàâèñèìîñòü îò âðåìåíè âûðàæåíà òîëüêî δ -ôóíêöèåé, ìîäåëü (4.3) ÿâëÿåòñÿ ãàëèëååâî-èíâàðèàíòíîé. Òàê÷òî âñå êîíòð÷ëåíû òîæå äîëæíû áûòü ãàëèëååâî-èíâàðèíòíûìè.  ÷àñíîñòè, ýòî çíà÷èò, ÷òî êîâàðèàíòíàÿ ïðîèçâîäíàÿ âñåãäà äîëæíà âõîäèòüâ êîíòð÷ëåíû êàê íå÷òî öåëîå. Ýòî íàêëàäûâàåò íåêîòîðûå îãðàíè÷åíèÿíà âîçìîæíûå êîíòð÷ëåíû: êîíòð÷ëåí, íåîáõîäèìûé äëÿ 1-íåïðèâîäèìîéôóíêöèè hφ0 vφi ñ δΓ = 1, δΓ0 = 0, äîëæåí èìåòü âèä φ0 (v∂)φ è ìîæåòïîÿâèòüñÿ òîëüêî âìåñòå ñî ñëàãàåìûì φ0 ∂t φ.
Òàê ÷òî òàêîé êîíòð÷ëåí çàïðåù¼í.(4) Åùå îäíî íàáëþäåíèå, êîòîðîå ñâîäèò ê ìèíèìóìó âîçìîæíûåòèïû êîíòð÷ëåíîâ, - ýòî òàê íàçûâàåìàÿ îáîáùåííàÿ ãàëèëååâà èíâàðèàíòíîñòü ñ çàâèñÿùèì îò âðåìåíè ïàðàìåòðîì ñêîðîñòè w(t):vw (x) = v(xw ) − w(t),Φw (x) = Φ(xw ),x = {t, x}, xw = {t, x + u(t)},Z tu(t) =w(t0 )dt0 ,(4.7)ãäå Φ îáîçíà÷àåò òðè ïîëÿ v 0 , φ0 , φ. Îñíîâíàÿ èäåÿ çàêëþ÷àåòñÿ â òîì, ÷òî,104íåñìîòðÿ íà òî, ÷òî ôóíêöèîíàë äåéñòâèÿ íå èíâàðèàíòåí îòíîñèòåëüíî òàêîãî ïðåîáðàçîâàíèÿ, îí ïðåîáðàçóåòñÿ òî÷íî òàê æå, êàê è ïðîèçâîäÿùèéôóíêöèîíàë 1-íåïðèâîäèìûõ ôóíêöèé Ãðèíà:S(Φw ) = S(Φ) + v 0 ∂t w,Γ(Φw ) = Γ(Φ) + v 0 ∂t w.(4.8)Ïîñëåäíèé ìîæíî ïåðåïèñàòü â âèäå:eΓ(ϕ) = S(ϕ) + Γ(ϕ),(4.9)ãäå ϕ ýòî ïîëíûé íàáîð ïîëåé, ϕ = {v, v0 , φ, φ0 }, S(ϕ) ýòî ôóíêöèîíàëeäåéñòâèÿ, Γ(ϕ)ýòî ñóììà âñåõ 1-íåïðèâîäèìûõ äèàãðàìì ñ ïåòëÿìè, ñîäåðæàùèå âñå óëüòðà-ôèîëåòîâûå ðàñõîäèìîñòè.
Âûðàæåíèå (4.8) çíà÷èò,÷òî âñå êîíòð÷ëåíû îêàçûâàþòñÿ èíâàðèàíòíûìè ïî îòíîøåíèþ ê îáîáùåííîìó ïðåîáðàçîâàíèþ Ãàëèëåÿ (4.7).Ýòîò ôàêò èñêëþ÷àåò êîíòð÷ëåí v 0 ∇t v , èíâàðèàíòíûé îòíîñèòåëüíî îáû÷íîãî ïðåîáðàçîâàíèÿ Ãàëèëåÿ ñ ïîñòîÿííûì âåêòîðîì ñêîðîñòè w,íî íå èíâàðèàíòíûé îòíîñèòåëüíî ïðåîáðàçîâàíèÿ îáîáùåííîãî (4.7). Èçýòîãî ìîæíî ñäåëàòü âûâîä, ÷òî åäèíñòâåííî âîçìîæíûé êîíòð÷ëåí äëÿ1-íåïðèâîäèìîé ôóíêöèè hv 0 vi ñ δΓ = 2 ýòî v 0 ∂ 2 v , è ÷òî 1-íåïðèâîäèìàÿôóíêöèÿ hv 0 vvi ñ δΓ = 1 íå èìååò ðàñõîäèìîñòåé.
Áîëåå ïîäðîáíîå îáñóæäåíèå è ïðèìåðû èñïîëüçîâàíèÿ ãàëèëååâîé èíâàðèàíòíîñòè ìîæíî íàéòèâ [43, 81, 82, 90].(5) Èñõîäÿ èç âûðàæåíèé (1.14), ìîæíî ñäåëàòü âûâîä, ÷òî ïðîïàãàòîðû ñ ïîëåì φ, à èìåííî hv 0 φi0 , hvφi0 , è hφφi0 , ñîäåðæàò ìíîæèòåëü c20èëè c40 . Ïîñêîëüêó dkc 6= 0 è dωc 6= 0, ýòè ìíîæèòåëè ïîÿâëÿþòñÿ â êà÷åñòâå÷èñëåííûõ ìíîæèòåëåé â ëþáîé äèàãðàììå, ñîäåðæàùåé ýòè ïðîïàãàòîðû.105È ðåàëüíûé èíäåêñ ðàñõîäèìîñòè ýòèõ äèàãðàìì óìåíüøàåòñÿ íà ñîîòâåòñòâóþùåå êîëè÷åñòâî åäèíèö.
 ÷àñòíîñòè, ëþáàÿ äèàãðàììà 1-íåïðèîäìîé2(Nφ0 −Nφ )ôóíêöèè ñ Nφ0 > Nφ ñîäåðæèò ìíîæèòåëü c0. Ñëåäîâàòåëüíî, êîí-òð÷ëåíû ê 1-íåïðèâîäìîé ôóíêöèè hφ0 vi ñ δΓ = 3 íåïðåìåííî ñâåäóòñÿ êc20 φ0 (∂v), òîãäà êàê ñòðóêòóðû φ0 ∂ 2 (∂v), è ò.ä. çàïðåùåíû. Äðóãîå ñëåäñòâèå ýòî êîíå÷íîñòü 1-íåïðèâîäèìîé ôóíêöèè hφ0 vvi ñ δΓ = 2. Êàæäàÿ äèàãðàììà òàêîé ôóíêöèè ñîäåðæèò ìíîæèòåëü c20 , êîòîðûé çàïðåùàåò êîíòð÷ëåíû òèïà φ0 (∂v)(∂v), è ò.ä., à îñòàâøàÿñÿ ñòðóêòóðà c20 φ0 v 2 çàïðåùåíàãàëèëååâîé ñèììåòðèåé.(6) Åùå îäíî èíòåðåñíîå çàìå÷àíèå êàñàåòñÿ ôóíêöèè hv 0 v 0 i: å¼ èíäåêñðàñõîäèìîñòè δΓ = −d+4, ïîýòîìó ôóíêöèÿ òðåáóåò ââåäåíèÿ êîíòð÷ëåíîâïðè d = 2, 3, è 4. Ïðè ýòîì â ôèçè÷íîé ñèòóàöèè d = 3 (δΓ = 1) íåâîçìîæíî ñêîíñòðóèðîâàòü ñêàëÿðíûé êîíòð÷ëåí èç äâóõ âåêòîðíûõ ïîëåéè îäíîé ïðîèçâîäíîé. 1 , òàê ÷òî åäèíñòâåííî âîçìîæíûé ïóòü âêëþ÷èòüÓÔ îáðåçàíèå Λ â êîíòð÷ëåí.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
