Диссертация (1150683), страница 15
Текст из файла (страница 15)
Äëÿ d = 4 ñèòóàöèÿ áîëåå èíòåðåñíàÿ: ïðÿìîé àíàëèç ñèñòåìûóðàâíåíèé (4.37) ãîâîðèò î ñóùåñòâîâàíèè òð¼õ ÈÊ ïðèòÿãèâàþùèõ íåïîäâèæíûõ òî÷åê: òðèâèàëüíàÿ (ãàóññîâà) ôèêñèðîâàííàÿ òî÷êà FPI è äâåíåòðèâèàëüíûå òî÷êè FPII è FPIII.Ñâîáîäíàÿ ôèêñèðîâàííàÿ òî÷êà FPI, äëÿ êîòîðîé âñå âçàèìîäåéñòâèÿ íå èìåþò çíà÷åíèÿ è íå îæèäàåòñÿ ìàñøòàáèðîâàíèÿ è óíèâåðñàëüíîñòè, êîîðäèíàòû ñëåäóþùèå:g1∗ = 0,g2∗ = 0,(4.41)â òî âðåìÿ êàê u∗ è v ∗ íå îïðåäåëåíû. Ñîîòâåòñòâóþùèå ñîáñòâåííûå ÷èñëàìàòðèöû Ωij :λ1 = 0,λ2 = 0,λ3 = −ε,λ4 = −y.(4.42)Õîòÿ òî÷êà è òðèâèàëüíàÿ, åå íåîáõîäèìî ó÷èòûâàòü â àíàëèçå, âåäü èç (4.42)ñëåäóåò, ÷òî ýòà òî÷êà ÈÊ ïðèòÿãèâàþùàÿ äëÿ y, ε < 0. Äâà íóëåâûõ ñîáñòâåííûõ ÷èñëà îçíà÷àþò, ÷òî â ÷åòûð¼õìåðíîé ïðîñòðàíñòâå êîíñòàíò ñâÿçè {g1 , g2 , u, v} ýòî òî÷êà ÿâëÿåòñÿ òî÷êîé òîëüêî â ïëîñêîñòè {g1 , g2 }; ôàêòè÷åñêè, â êàðòèíå Ðà ïîòîêîâ ýòî ïðèòÿãèâàþùàÿ ïîâåðõíîñòü ñ íóëåâîé115"ñêîðîñòüþ"â êàñàòåëüíûõ íàïðàâëåíèÿõ.Äëÿ âòîðîé ôèêñèðîâàííîé òî÷êè FPII òîëüêî g1∗ = 0, òîãäà êàê g2∗ 6=0, ïîýòîìó òàêîé ñêåéëèíãîâûé ðåæèì íàçûâàåòñÿ ëîêàëüíûì [ñì.
(4.4)].Êîîðäèíàòû òî÷êè ñëåäóþùèå:g1∗ = 0,g2∗ =8ε,3(4.43)ïðè ýòîì u∗ = v ∗ = 1. Ñîáñòâåííûå çíà÷åíèÿ ìàòðèöû Ωij ñëåäóþùèå:λ1 =7ε,18λ2 =5ε,6λ3 = ε,λ4 =3ε − 2y,2(4.44)ïîýòîìó ýòà òî÷êà ÈÊ ïðèòÿãèâàþùàÿ äëÿ ε > 0, y < 3ε/2.Äëÿ ïîñëåäíåé òî÷êè FPIII è ëîêàëüíàÿ, è íåëîêàëüíàÿ ÷àñòè ñëó÷àéíîé ñèëû èìåþò çíà÷åíèå:g1∗16y(2y − 3ε)=,9[y(2 + α) − 3ε]g2∗16αy 2=,9[y(2 + α) − 3ε](4.45)òîãäà êàê u∗ = v ∗ = 1; ñîáñòâåííûå ÷èñëà ìàòðèöû Ωij :y[2y(10α + 11) − 3ε(3α + 11)];54[y(2 + α) − 3ε]y[2y(2α + 3) − ε(α + 9)]λ2 =;6[y(α + 2) − 3ε]√A± Bλ3,4 =,Cλ1 =ãäå êîíñòàíòû A, B è C çàäàþòñÿ ñëåäóþùèìè âûðàæåíèÿìè:A = −27ε3 + 9(9 + α)ε2 y − 9(8 + 3α)εy 2+ 2y 3 (α2 + 7α + 10);B = [−3ε + (2 + α)y]2 [81ε4 − 54ε3 y − 9(3 + 20α)ε2 y 2+ 12(1 + 17α + 3α2 )εy 3 − 4(−1 + 14α + 5α2 )y 4 ];(4.46)116(4.47)C = 6[−3ε + (2 + α)y]2 .Ïðèíèìàÿ â ðàñ÷¼ò, ÷òî â ôèçè÷åñêîé îáëàñòè g1 , g2 > 0, èç âûðàæåíèéäëÿ λ1 .
. . λ4 ñëåäóåò, ÷òî òî÷êà FPIII óñòîé÷èâà ïðè y > 0 è y > 3ε/2.Òàêæå íåîáõîäèìî ïðîâåðèòü òî÷êè u → ∞ è v → ∞. Òàê êàê uïî ñóòè ÿâëÿåòñÿ ïðîäîëüíîé âÿçêîñòüþ, ñ ôèçè÷åñêîé òî÷êè çðåíèÿ ýòîòñëó÷àé ñîîòâåòñòâóåò ïðåäåëó c → ∞. ×òî è äîëæíî ñëåäîâàòü èç òàêèõðàññóæäåíèé, ïîëÿ ñêîðîñòåé v è v0 ñòàíîâÿòñÿ ÷èñòî ïîïåðå÷íûìè, à ñêàëÿðíûå ïîëÿ φ è φ0 îòäåëÿþòñÿ îò íèõ; ñì. (1.14). Ïîñëå ïåðåõîäà ê íîâîéïåðåìåííîé f = 1/u ñ β -ôóíêöèåéeµ f = −f 2 βuβf = D(4.48)ìîæíî ïîëó÷èòü ñëåäóþùèé íàáîð β -ôóíêöèé â òî÷êå f = 0:1βg1 = g1 (3g1 + 3g2 − 8y);81βg2 = g2 (3g1 + 3g2 − 8ε);81v2 + v − 3.βv = (g1 + g2 )8v+1(4.49)Èç âûðàæåíèé (4.48) è (4.49) ñëåäóåò, ÷òî åñòü äâå íåòðèâèàëüíûå ôèêñèðîâàííûå òî÷êè ïðè f∗ = 0:g1 = 0,g2 = 8ε/3,g1 = 8y/3,g2 = 0,√1v = (−1 + 13);2√1v = (−1 + 13).2(4.50)(4.51)Íî äëÿ îáåèõ ïðè ëþáîì çíà÷åíèè y è ε äâà èç ÷åòûðåõ ñîáñòâåííûõ çíà÷åíèé èìåþò ðàçíûå çíàêè:λ1 = −y/3,√2(13 + 13)√λ2 =y3(1 + 13)2(4.52)117äëÿ òî÷êè (4.50);λ1 = −ε/3,λ2 = ε(4.53)äëÿ òî÷êè (4.51).Ýòî çíà÷èò, ÷òî îáå ôèêñèðîâàííûå òî÷êè (4.50) è (4.51) íåóñòîé÷èâû(îíè ñåäëîâûå), ÷òî ñîãëàñóåòñÿ ñ òîé èäååé, ÷òî êîððåêöèÿ âåäóùåãî ïîðÿäêà ïî ÷èñëó Ìàõà ê íåñæèìàåìîìó ñêåéëèíãîâîìó ðåæèìó ðàçðóøàåòåãî óñòîé÷èâîñòü [60, 61, 95].Ïðè ïåðåõîäå ê íîâîé ïåðåìåííîé t = 1/v ñ β -ôóíêöèåéeµ t = −t2 βvβt = D(4.54)ïîëó÷àåì, ÷òî βt = 0 ïðè t = 0.
Òàê êàê β -ôóíêöèè äðóãèõ êîíñòàíò ñâÿçèg1 , g2 è u íå çàâèñÿò îò v , ïðè t = 0 ó íàñ îñòàþòñÿ ñòàðûå ôèêñèðîâàííûåòî÷êè FPII è FPIII. Ýòî çíà÷èò, ÷òî äëÿ èññëåäîâàíèÿ ÈÊ ïîâåäåíèÿ ýòèõäâóõ òî÷åê íóæíî ïðîâåðèòü òîëüêî ïðîèçâîäíóþ ∂βt /∂t â ôèêñèðîâàííîéòî÷êå {g ∗ , t = 0}:λt = −ε/2 for FPII;λt = −y/3 for FPIII.(4.55) ñîîòâåòñòâèè ñ (4.44) è (4.46) ïðè v → ∞ ýòè äâå ôèêñèðîâàííûå òî÷êèòàêæå ñåäëîâûå.×òî êàñàåòñÿ ñëó÷àÿ d = 3 (ñì. [88]), îáå ÈÊ ïðèòÿãèâàþùèå òî÷êèFPII è FPIII èìåþò ñìûñë äëÿ âñåõ α > 0, èìåþò ïðåäåëû ïðè α → ∞, íîñòàíîâÿòñÿ íåñòàáèëüíûìè ïðè α → ∞, òî åñòü â ñëó÷àå ÷èñòî ïîòåíöèàëüíîé ñèëû.
Äëÿ èçó÷åíèÿ ýòîãî ïðåäåëà íóæíî ïåðåéòè ê íîâûì êîíñòàíòàì0ñâÿçè g1,2= g1,2 α, êîíå÷íûì ïðè α → ∞. Äâå íîâûå β -ôóíêöèè âûãëÿäÿò118òàê:0eµ g1,20βg1,2=D= αβg1,2 ,(4.56)à ïîëíûé ñïèñîê:3(u−1)βg10 = g10 −y + g10;8u(u + 1)23g101000[(1 + u)g1 + 2g2 ] ;βg20 = g2 −ε −8u(u + 1)2 g20(u − 1)βu = g10;8(u + 1)2(v − 1)βv = g108u(u + 1)2 (u + v)2× u3 + 2u2 (1 + v) − v(v + 1) + u(1 − v + v 2 ) .(4.57)Ðåøåíèå ýòîé ñèñòåìû ãàóññîâà òî÷êà FPI:g1∗ = 0,g2∗ = 0,(4.58)òîãäà êàê u∗ è v ∗ íå îïðåäåëåíû.
Ñîîòâåòñòâóþùèå ñîáñòâåííûå ÷èñëà ìàòðèöû Ωijλ1 = 0,λ2 = 0,λ3 = −ε,λ4 = −y,(4.59)òî åñòü ýòà òî÷êà ÈÊ ïðèòÿãèâàþùàÿ ïðè y, ε < 0.Ýòî çíà÷èò, ÷òî â îäíîïåòëåâîì ïðèáëèæåíèè äâå íåòðèâèàëüíûå íåïîäâèæíûå òî÷êè FPII è FPIII òåðÿþò ñâîþ çíà÷èìîñòü ïðè α → ∞, îñòà¼òñÿåäèíñòâåííàÿ âîçìîæíàÿ ñâîáîäíàÿ ãàóññîâàÿ òî÷êà (4.58). Ïðè ýòîì â ïðèáëèæåíèè äâóõ ïåòåëü ìîæåò ïîÿâèòüñÿ íîâàÿ ôèêñèðîâàííàÿ òî÷êà.Îáùàÿ êàðòèíà óñòîé÷èâîñòè òð¼õ íåïîäâèæíûõ òî÷åê íà ïëîñêîñòèy ε ïðåäñòàâëåíà íà ðèñóíêå 4.3. Ïðÿìûå y < 0, ε = 0; y = 0, ε < 0; andy = 3ε/2, ε > 0 èìåþò ñìûñë ãðàíèö îáëàñòåé.
Êðîññîâåð ìåæäó äâóìÿ119yy = 3ε/2FPIII(nonlocal)FPII(local)εFPI(trivial)Ðèñ. 4.3. Îáëàñòè ÈÊ ñòàáèëüíîñòè íåïîäâèæíûõ òî÷åê â ìîäåëè (4.3)íåïîäâèæíûìè òî÷êàìè âîçìîæåí âäîëü ëèíèè y = 3ε/2, ÷òî ñîîòíîñèòñÿñ [96].Ýòîò ôàêò ãîâîðèò î òîì, ÷òî â çàâèñèìîñòè îò çíà÷åíèé y è ε êîððåëÿöèîííûå ôóíêöèè ìîäåëè (4.3) â ÈÊ îáëàñòè ïðîÿâëÿþò ðàçíûå òèïû ñêåéëèíãîâîãî ïîâåäåíèÿ.
Ñîîòâåòñòâóþùèå êðèòè÷åñêèå ðàçìåðíîñòè∆[F ] ≡ ∆F äëÿ âñåõ ïîëåé è ïàðàìåòðîâ ìîæíî âû÷èñëèòü â âèäå ðàçëîæåíèÿ ïî y è ε; ñì. ñëåäóþùèé ïàðàãðàô.4.4.3.ÈÊ ïðèòÿãèâàþùèå íåïîäâèæíûå òî÷êè è êðèòè÷åñêèåðàçìåðíîñòè ãëàâíîì ïîðÿäêå ÈÊ àñèìïòîòè÷åñêîå ïîâåäåíèå ôóíêöèé Ãðèíàóäîâëåòâîðÿåò óðàâíåíèþ Ðà (4.25) ñ ó÷åòîì ïîäñòàíîâêè g → g∗ äëÿ ïîëíîãî íàáîðà êîíñòàíò ñâÿçè [90, 94]. Èç ÷åãî ìîæíî ïîëó÷èòü:(Dµ − γν∗ Dν − γc∗ Dc +)XΦNΦ γΦ∗GR = 0.(4.60)120Çäåñü γF∗ ýòî çíà÷åíèå àíîìàëüíîé ðàçìåðíîñòè â íåïîäâèæíîé òî÷êå;ïî ïîëÿì Φ ïîäðàçóìåâàåòñÿ ñóììèðîâàíèå. Óðàâíåíèÿ òàêîãî âèäà îïèñûâàþò ñêåéëèíã ñ äèëàòàöèåé ïåðåìåííûõ, ïðîèçâîäíûå êîòîðûõ âõîäÿòâ äèôôåðåíöèàëüíûé îïåðàòîð.Èç âûðàæåíèé (4.29) (4.36) ìîæíî ïîëó÷èòü âûðàæåíèÿ äëÿ àíîìàëüíûõ ðàçìåðíîñòåé â îäíîïåòëåâîì ïðèáëèæåíèè γF∗ .
Äëÿ íåëîêàëüíîéòî÷êè FPIII âûðàæåíèå ñîâïàäàåò ñ àíàëîãè÷íûì äëÿ ñëó÷àÿ d = 3:γν∗ = y/3,γφ∗ = −γφ∗0 = −y/6 + O(y 2 ),γc∗ = −y/12 + O(y 2 ).(4.61)Äëÿ ëîêàëüíîé òî÷êè FPII:γν∗ = ε/3,γφ∗ = −γφ∗0 = −ε/4 + O(ε2 ),γc∗ = −ε/8 + O(ε2 ).(4.62)Êàíîíè÷åñêàÿ ìàñøòàáíàÿ èíâàðèàíòíîñòü îïèñûâàåòñÿ ñîîòíîøåíèÿìè:"#Xσdkσ Dσ − dkG GR = 0,"#Xσdωσ Dσ − dωG GR = 0,(4.63)ãäå σ ïîëíûé íàáîð àðãóìåíòîâ GR , dk è dω êàíîíè÷åñêèå ðàçìåðíîñòè.Äëÿ èññëåäîâàíèÿ ñêåéëèíãà ñ ôèêñèðîâàííûìè ÈÊ íåñóùåñòâåííûìèïàðàìåòðàìè µ è ν íåîáõîäèìî ïîñòðîèòü òàêóþ ëèíåéíóþ êîìáèíàöèþóðàâíåíèé (4.60) è (4.63), ÷òîáû èñêëþ÷èòü ïðîèçâîäíûå ïî ýòèì ïàðàìåòðàì; ñì.
[43, 90]. Òàêèì îáðàçîì ïîëó÷àåì óðàâíåíèå êðèòè÷åñêîãî ÈÊñêåéëèíãà äëÿ ìîäåëè:(−Dx + ∆t Dt + ∆c Dc + ∆m Dm −)XΦNΦ ∆ΦGR = 0121(4.64)ïðè∆F = dkF + ∆ω dωF + γF∗ ,∆ω = −∆t = 2 − γν∗ .(4.65)Çäåñü ∆F êðèòè÷åñêàÿ ðàçìåðíîñòü âåëè÷èíû F , ∆t è ∆ω âðåìåííàÿ è÷àñòîòíàÿ êðèòè÷åñêèå ðàçìåðíîñòè.Ïîëüçóÿñü òàáëèöåé 4.1 è âûðàæåíèÿìè (4.61) è (4.62) ïîëó÷àåì, ÷òîäëÿ íåïîäâèæíîé òî÷êè FPIII êðèòè÷åñêèå ðàçìåðíîñòè ñîâïàäàþò ñî ñëó÷àåì d = 3, à èìåííî∆v = 1 − y/3,∆v0 = d − ∆v ,∆ω = 2 − y/3,∆φ = d − ∆φ0 = 2 − 5y/6,∆m = 1;∆c = 1 − 5y/12.(4.66)Äëÿ ëîêàëüíîé òî÷êè FPII ïîëó÷àåì ñëåäóþùèå âûðàæåíèÿ:∆v = 1 − ε/2,∆v0 = d − ∆v ,∆ω = 2 − ε/2,∆φ = d − ∆φ0 = 2 − 5ε/4,∆m = 1;∆c = 1 − 5ε/8.(4.67) çàâèñèìîñòè îò çíà÷åíèé y è ε êîððåëÿöèîííûå ôóíêöèè ïðîÿâëÿþò ðàçíîå ñêåéëèíãîâîå ïîâåäåíèå â ÈÊ îáëàñòè (ëèáî ðåæèì ëîêàëüíûé,ëèáî íåëîêàëüíûé). È çíà÷åíèÿ äëÿ àíîìàëüíûõ è êðèòè÷åñêèõ ðàçìåðíîñòÿõ òîæå áóäóò ðàçíûå.
Îäíàêî, äëÿ ôèçè÷åñêèõ çíà÷åíèé d=3, y=4 ÈÊóñòîé÷èâîé ÿâëÿåòñÿ òîëüêî íåëîêàëüíàÿ òî÷êà FPIII, ÷òî ïîäòâåðæäàåòâîçìîæíîñòü Ðà àíàëèçà íåïîñðåäñòâåííî ïðè d=3.4.5.Ïåðåíîñ ïàññèâíîãî ñêàëÿðíîãî ïîëÿ ïëîòíîñòèÏåðåíîñ ïàññèâíîãî ñêàëÿðíîãî ïîëÿ (õîòÿ è äëÿ d = 3) óæå îáñóæäà-ëîñü â äàííîé ðàáîòå.  ýòîé ãëàâå îáñóæäåíèå áóäåò íå òàêèì ïîäðîáíûì.1224.5.1.Òåîðåòèêî-ïîëåâàÿ ôîðìóëèðîâêàÏåðåíîñ ïàññèâíîãî ïîëÿ ïëîòíîñòè θ(x) ≡ θ(t, x) îïèñûâàåòñÿ óðàâíåíèåì∂t θ + ∂i (vi θ) = κ0 ∂ 2 θ + f.(4.68)Çäåñü, ∂t ≡ ∂/∂t, ∂i ≡ ∂/∂xi ; κ0 ìîëåêóëÿðíûé êîýôôèöèåíò âÿçêîñòè, ∂ 2 = ∂i ∂i îïåðàòîð Ëàïëàñà, v(x) ïîëå ñêîðîñòè, óäîâëåòâîðÿþùååóðàâíåíèþ (1.1), è f ≡ f (x) ãàóññîâûé øóì ñ íóëåâûì ñðåäíèì è çàäàííûì êîððåëÿòîðîì:hf (x)f (x0 )i = δ(t − t0 ) C(r/L),r = x − x0(4.69)ñ ôóíêöèåé C(r/L), êîíå÷íîé ïðè (r/L) → 0 è óáûâàþùåé ïðè (r/L) → ∞.Ïîëå ñêîðîñòè v îïèñûâàåòñÿ óðàâíåíèåì Íàâüå-Ñòîêñà (1.1), ñòîõàñòè÷åñêàÿ çàäà÷à (4.68), (4.69) ýêâèâàëåíòíà òåîðåòèêî-ïîëåâîé ñ ïîëíûìíàáîðîì ïîëåé Φ ≡ {θ0 , θ, v 0 , v, φ0 , φ} è ôóíêöèîíàëîì äåéñòâèÿSΦ (Φ) = Sθ (θ0 , θ, v) + S(v 0 , v, φ0 , φ),(4.70)ãäå1Sθ (θ0 , θ, v) = θ0 Df θ0 + θ0 −∂t θ − ∂i (vi θ) + κ0 ∂ 2 θ2(4.71)äåéñòâèå äå Äîìèíèñèñà-ßíññåíà äëÿ çàäà÷è (4.68), (4.69) ïðè ôèêñèðîâàííîì v, âòîðîå ñëàãàåìîå çàäà¼òñÿ âûðàæåíèåì (4.3) è îòâå÷àåò çà ñòàòèñòèêó ñêîðîñòè; Df êîððåëÿöèîííàÿ ôóíêöèÿ (4.69), âñå íåîáõîäèìûåèíòåãðèðîâàíèÿ è ñóììèðîâàíèÿ ïî ïîâòîðÿþùèìñÿ èíäåêñîì ïîäðàçóìåâàþòñÿ.123Äèàãðàììíàÿ òåõíèêà äîëæíà áûòü äîïîëíåíà íîâîé âåðøèíîé Vi3 =−θ0 ∂i (vi θ) (ñì.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
