Диссертация (1150683), страница 18
Текст из файла (страница 18)
Áûëèíàéäåíû àíîìàëüíûå ïîêàçàòåëè, à èìåííî ñîîòâåòñòâóþùèå êðèòè÷åñêèå(ñêåéëèíãîâûå) ðàçìåðíîñòè íåêîòîðûõ ñîñòàâíûõ ïîëåé: ñòåïåíåé ñêàëÿðíîãî ïîëÿ äëÿ ìîäåëè ïëîòíîñòè è ñòåïåíåé ïðîñòðàíñòâåííûõ ãðàäèåíòîâäëÿ òðåéñåðà, èõ ìîæíî ñèñòåìàòè÷åñêè âû÷èñëÿòü â âèäå ðÿäîâ ïî ïàðàìåòðó y . Ïðàêòè÷åñêèå ðàñ÷¼òû ïðåäñòàâëåíû â ãëàâíîì ïîðÿäêå (îäíîïåò-142ëåâîå ïðèáëèæåíèå) â (2.38), (2.51). Ðåçóëüòàòû (1.48), (2.26) äëÿ ïåðâè÷íûõ ïîëåé è (2.39) äëÿ îïåðàòîðîâ θn â ìîäåëè òðåéñåðà íàéäåíû òî÷íî.Òàêèì îáðàçîì, ìû ó÷ëè â òåîðèè òî, ÷åãî íå áûëî â ïðåäûäóùèõ ìîäåëÿõñî ñæèìàåìîñòüþ: ðàíåå îòñóòñòâîâàëî âðåìÿ êîððåëÿöèè, à ïîëå ñêîðîñòåéáûëî ãàóññîâûì.
Ìû ïîä÷¼ðêèâàåì, ÷òî â îòëè÷èå îò ïðåäûäóùèõ ìîäåëåéñ êîíå÷íîé êîððåëÿöèåé ïî âðåìåíè [56, 57], íàøà ìîäåëü ÿâíî ãàëèëååâîèíâàðèàíòíà âî âñåõ ïîðÿäêàõ òåîðèè âîçìóùåíèé. íåêîòîðîì îòíîøåíèè, êàê áû òî íè áûëî, ïîëó÷åííûå ðåçóëüòàòû î÷åíü ïîõîæè íà ðåçóëüòàòû, ïîëó÷åííûå ðàíåå äëÿ ñæèìàåìîé ìîäåëèÊðåé÷íàíà [54, 55, 85] è äëÿ ãàóññîâîé ìîäåëè ñ êîíå÷íûì âðåìåíåì êîððåëÿöèè [56,57]. Âî-ïåðâûõ, ìåõàíèçì ïðîèñõîæäåíèÿ àíîìàëüíîãî ñêåéëèíãàïî ñóòè òàêîé æå: àíîìàëüíûå ðàçìåðíîñòè ñîïîñòàâëÿþòñÿ ñ ðàçìåðíîñòÿìè îòäåëüíûõ ñîñòàâíûõ îïåðàòîðîâ.Âî-âòîðûõ, ýòè ðàçìåðíîñòè íå ÷óâñòâèòåëüíû ê âûáîðó êîððåëÿòîðà ñëó÷àéíîé ñèëû (2.3), ïîòîìó êàê ïðîïàãàòîð hθθi0 íå âõîäèò â ñîîòâåòñòâóþùóþ ôóíêöèþ Ãðèíà. ( ÷àñòíîñòè, ýòî çíà÷èò, ÷òî àíîìàëüíûåïîêàçàòåëè îñòàþòñÿ íåèçìåííûìè ïðè çàìåíå èñêóññòâåííîãî øóìà íà ëèíåéíûé ãðàäèåíò, ÷òî îçíà÷àåò áîëåå ðåàëèñòè÷íóþ ïîñòàíîâêó çàäà÷è.)Ñèëà ïîääåðæèâàåò ñòàöèîíàðíîå ñîñòîÿíèå è, òàêèì îáðàçîì, îáåñïå÷èâàåò îòëè÷íûå îò íóëÿ ñðåäíèå çíà÷åíèÿ äëÿ ñîñòàâíûõ îïåðàòîðîâ, íî íåâëèÿåò íà èõ ðàçìåðíîñòè.Äëÿ ìîäåëè Êðå÷íàíà ýòîò ôàêò åñòåñòâåííî èíòåðïðåòèðîâàòü íàÿçûêå ìåòîäà íóëåâûõ ìîä, â êîòîðîì îäíîâðåìåííûå êîððåëÿöèîííûå ôóíêöèè óäîâëåòâîðÿþò îïðåäåë¼ííûì äèôôåðåíöèàëüíûì óðàâíåíèÿì, à àíîìàëüíûå ïîêàçàòåëè ñâÿçàíû ñ ðåøåíèåì îäíîðîäíûõ àíàëîãîâ ýòèõ óðàâ-143íåíèé; ñì.
[7,38]. Ñ äðóãîé ñòîðîíû, àìïëèòóäû íàõîäÿòñÿ íà îñíîâå ñîãëàñîâàíèÿ ðåøåíèé îäíîðîäíûõ óðàâíåíèé ñ ðåøåíèÿìè êðóïíîìàñøòàáíûõïîëíûõ íåîäíîðîäíûõ óðàâíåíèé, êîòîðûå íåòðèâèàëüíû òîëüêî ïðè íàëè÷èè âêëàäà îò ñëó÷àéíîé ñèëû.Áëèçêîå ñõîäñòâî ÐÃ+ÎÐ êàðòèí ïðîèñõîæäåíèÿ àíîìàëüíîãî ñêåéëèíãà â íàñòîÿùåé ðàáîòå è ìîäåëè Êðåé÷íàíà ãîâîðèò î òîì, ÷òî, âîïåðâûõ, êîíöåïöèÿ íóëåâûõ ìîä (è, ñëåäîâàòåëüíî, ñòàòèñòè÷åñêèõ çàêîíîâñîõðàíåíèÿ) çäåñü òàêæå ïðèìåíèìà, õîòÿ íèêàêèõ çàìêíóòûõ äèôôåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé íåëüçÿ ïîëó÷èòü äëÿ îäíîâðåìåííûõ êîððåëÿöèîííûõôóíêöèé.Õîòÿ àíîìàëüíûå ïîêàçàòåëè íå çàâèñÿò îò âûáîðà øóìà, îíè âñ¼ æåçàâèñÿò îò y , ðàçìåðíîñòè ïðîñòðàíñòâà d è îò ïàðàìåòðà α (êîòîðûé ÿâëÿåòñÿ ìåðîé ñæèìàåìîñòè).
Ñ ó÷¼òîì ýòèõ ôàêòîâ íàøè ðåçóëüòàòû ïîõîæèíà ïîëó÷åííûå äëÿ óïðîù¼ííûõ ìîäåëåé. Âàæíîå îòëè÷èå îò ãàóññîâûõìîäåëåé ïîÿâëÿåòñÿ ïðè èçó÷åíèè âîçìîæíîé çàâèñèìîñòè ïîêàçàòåëåé îòâðåìåí¼í êîððåëÿöèè. Áûëî îòìå÷åíî, ÷òî ïîêàçàòåëè ìîãóò çàâèñåòü îò áîëåå òîíêèõ ñâîéñòâ àíñàìáëÿ ñêîðîñòè: íàïðèìåð, îò áåçðàçìåðíîãî ñîîòíîøåíèÿ âðåì¼í êîððåëÿöèè ñêàëÿðíîãî ïîëÿ è ïîëÿ ñêîðîñòè; ñì. íàïðèìåð,îáñóæäåíèå â [97].  ñàìîì äåëå, àíàëèòè÷åñêèå ðåçóëüòàòû, ïîëó÷åííûåäëÿ êîíå÷íîãî âðåìåíè êîððåëÿöèè, â òåõíèêå íóëåâûõ ìîä [98] è â ïîäõîäå ÐÃ+ÎÐ [45, 56, 57] ïîêàçûâàþò, ÷òî òàêàÿ çàâèñèìîñòü äåéñòâèòåëüíîèìååò ìåñòî, ïî êðàéíåé ìåðå, äëÿ íåêîòîðûõ âîçìîæíûõ ñêåéëèíãîâûõðåæèìîâ. íàøåì ñëó÷àå ïîêàçàòåëè ìîãóò, â ïðèíöèïå, çàâèñåòü îò áåçðàçìåðíûõ ïàðàìåòðîâ u0 , v0 , w0 îòíîøåíèÿ êîýôôèöèåíòîâ âÿçêîñòè è äèô-144ôóçèè.
Ïîñëå Ðà îáðàáîòêè ýòè ïàðàìåòðû çàìåíÿþòñÿ ñîîòâåòñòâóþùèìèèíâàðèàíòíûìè ïåðåìåííûìè, êîòîðûå â òî÷íîñòè èìåþò ñìûñë îòíîøåíèé âðåì¼í êîððåëÿöèè ïîïåðå÷íîé è ïðîäîëüíîé êîìïîíåíò ïîëÿ ñêîðîñòè, äàâëåíèÿ è ñêàëÿðíîãî ïîëÿ; äëÿ áîëåå äåòàëüíîãî îáñóæäåíèÿ ñì. [45].Ñóùåñòâîâàíèå åäèíñòâåííîé ÈÊ-ïðèòÿãèâàþùåé íåïîäâèæíîé òî÷êè ãîâîðèò î òîì, ÷òî â ÈÊ îáëàñòè ýòè îòíîøåíèÿ ñòðåìÿòñÿ ê çíà÷åíèÿì âôèêñèðîâàííîé òî÷êå u∗ , v∗ , w∗ íåçàâèñèìî îò íà÷àëüíûõ çíà÷åíèé u0 èò.ï. Ìîæíî çàêëþ÷èòü, ÷òî àíîìàëüíûå ðàçìåðíîñòè íå çàâèñÿò îò âðåì¼íêîððåëÿöèè.
Ïî-âèäèìîìó, ó íàøèõ ïðåäøåñòâåííèêîâ íàáëþäàåòñÿ çàâèñèìîñòü îò âðåìåíè, ïîòîìó ÷òî âî âñåõ ýòèõ ìîäåëÿõ áûëà óïðîù¼ííàÿãàóññîâàÿ ñòàòèñòèêà ïîëÿ ñêîðîñòè.Âòîðàÿ ÷àñòü äàííîé ðàáîòû ÿâëÿåòñÿ ëîãè÷åñêèì ïðîäîëæåíèåì èññëåäîâàíèÿ [64].  íåé ðàññìîòðåíî ñòîõàñòè÷åñêîå óðàâíåíèå Íàâüå-Ñòîêñàâ íåñæèìàåìîì ñëó÷àå ñ òî÷êè çðåíèÿ òåîðåòèêî-ïîëåâîãî ïîäõîäà. Èññëåäîâàíèå ïðîâîäèëîñü â ñïåöèôè÷íîì ñëó÷àå: ïðè ðàçìåðíîñòè ïðîñòðàíñòâà áëèçêîé ê ÷åòûð¼ì.
 òàêîì ñëó÷àå ïîÿâëÿþòñÿ äîïîëíèòåëüíûå ÓÔðàñõîäèìîñòè, ÷òî íåïîñðåäñòâåííî âëèÿåò íà Ðà àíàëèç çàäà÷è.  ÷àñòíîñòè, äëÿ çàäà÷è òðåáóåòñÿ ââåäåíèå äâîéíîãî ðàçëîæåíèÿ (òåîðèÿ âîçìóùåíèé ñòðîèòñÿ ïî äâóì ïàðàìåòðàì: ε = 4 − d è ïîêàçàòåëÿ y ).  ðàññìîòðåííîé ðàáîòå åñòü äâå íåòðèâèàëüíûå íåïîäâèæíûå òî÷êè (ò.å. äâàâîçìîæíûõ ñêåéëèíãîâûõ ðåæèìà) ëîêàëüíàÿ òî÷êà, íàçâàííàÿ â òåêñòåFPII, è íåëîêàëüíàÿ, FPIII.Ýòî ãîâîðèò î òîì, ÷òî îáû÷íûé àíàëèç â îêðåñòíîñòè d = 3, â êîòîðîì åñòü âñåãî îäíà íåòðèâèàëüíàÿ íåïîäâèæíàÿ òî÷êà, îòíîñÿùàÿñÿ êíåëîêàëüíîìó ñêåéëèíãîâîìó ðåæèìó, â äàííîì ñëó÷àå íå ìîæåò áûòü ïîë-145íûì. Ìåæäó ëîêàëüíûì è íåëîêàëüíûì ðåæèìîì åñòü êðîññîâåð âäîëüëèíèè y = 3ε/2, ÷òî ñîãëàñóåòñÿ ñ [96].
Íîâóþ (ëîêàëüíóþ) ìîäó, êîòîðàÿíàëè÷åñòâóåò ïðè d = 4, ìîæíî íåïðåðûâíî ïðîäëèòü ê d = 3 ïðè ε → 1.Îäíàêî, ïðè ôèçè÷åñêèõ çíà÷åíèÿõ ε = 1 è y = 4 íîâûé ëîêàëüíûé ðåæèìFPII íå ñòàáèëåí, à íåëîêàëüíûé ðåæèì FPIII ñòàáèëåí. Ïîýòîìó îñíîâíûåâûâîäû, ñäåëàííûå â ðàáîòàõ [64, 88] î ñóùåñòâîâàíèè è ÈÊ ïðèòÿãèâàíèèýòîé òî÷êè âåðíû.Òàêæå âî âòîðîé ãëàâå áûë ðàññìîòðåí ïåðåíîñ ïàññèâíîãî ñêàëÿðíîãî ïîëÿ.
Ñòîõàñòè÷åñêàÿ çàäà÷à ïåðåôîðìóëèðîâàíà â òåîðåòèêî-ïîëåâóþ,ìóëüòèïëèêàòèâíî ðåíîðìèðóåìóþ.  îòëè÷èå îò ñëó÷àÿ d = 3, ïðè d = 4àíîìàëüíûå ðàçìåðíîñòè ñîñòàâíûõ îïåðàòîðîâ (4.100) è (4.101) íå ðàñòóòñ ðîñòîì α áåç îãðàíè÷åíèÿ. Ýòî ÿâëÿåòñÿ ñëåäñòâèåì óñòðàíåíèÿ ïîëþñîâ ïî ε âîçëå d = 4, ÷òî ïðèâîäèò ê çíà÷èòåëüíîìó óëó÷øåíèþ ñèòóàöèèâáëèçèd = 3.Êàê è â ñëó÷àå d = 3, ïðè d = 4 êîîðäèíàòû îáåèõ íåòðèâèàëüíûõ òî÷åê èìåþò ñìûñë äëÿ âñåõ α > 0, èìåþò êîíå÷íûå ïðåäåëû ïðèα → ∞, íî ïåðåñòàåò ñóùåñòâîâàòü äëÿ ÷èñòî ïîòåíöèàëüíîãî ïðèíóæäåíèÿ, ò.å.
äëÿ α = ∞. Ýòîò ôàêò îçíà÷àåò, ÷òî â îäíîïåòëåâîì ïðèáëèæåíèèîáå íåïîäâèæíûå òî÷êè FPII è FPIII, ïî-âèäèìîìó, èñ÷åçàþò èëè òåðÿþòñâîþ óñòîé÷èâîñòü. Ñîîòâåòñòâóþùèå ñêåéëèíãîâûå ðåæèìû, ñëåäîâàòåëüíî, ïîäâåðãàþòñÿ íåêîòîðîìó êà÷åñòâåííîìó ïåðåõîäó, ÷òî, âîçìîæíî, ñîïðîâîæäàåòñÿ ôàçîâûì ïåðåõîäîì â ÷èñòî õàîòè÷åñêîå ñîñòîÿíèå, íàáëþäàåìîå â [53] äëÿ óïðîùåííîé ìîäåëè. òðåòüåé ãëàâå ðàáîòû èçó÷åíà ìîäåëü ïàññèâíîãî âåêòîðíîãî ïîëÿ,ïåðåíîñèìîãî òóðáóëåíòíûì ïîòîêîì. Ñ ôèçè÷åñêîé òî÷êè çðåíèÿ, ìîäåëü146îïèñûâàåò ìàãíèòîãèäðîäèíàìè÷åñêóþ òóðáóëåíòíîñòü â, òàê íàçûâàåìîì,êèíåìàòè÷åñêîì ïðèáëèæåíèè, â êîòîðîì âîçäåéñòâèåì ìàãíèòíîãî ïîëÿíà äèíàìèêó æèäêîñòè ìîæíî ïðåíåáðå÷ü.
Ïîëíàÿ ñòîõàñòè÷åñêàÿ çàäà÷à ìîæåò áûòü îïèñàíà ñ ïîìîùüþ òåîðåòèêî-ïîëåâîé ìîäåëè ñ ïîëíûìôóíêöèîíàëîì äåéñòâèÿ êàê â ðàáîòàõ (3.8) è (3.9). Ýòà ìîäåëü îêàçûâàåòñÿ ìóëüòèïëèêàòèâíî ðåíîðìèðóåìîé, òàê ÷òî ñîîòâåòñòâóþùèå ÐÃóðàâíåíèÿ ìîãóò áûòü íàïèñàíû îáû÷íûì ñïîñîáîì. Èìååòñÿ òîëüêî îäíàÈÊ-ïðèòÿãèâàþùàÿ íåïîäâèæíàÿ òî÷êà â ôèçè÷åñêîé îáëàñòè ïàðàìåòðîâ,òàê ÷òî ðàçëè÷íûå êîððåëÿöèîííûå ôóíêöèè ïðîÿâëÿþò ñêåéëèíãîâîå ïîâåäåíèå â ÈÊ îáëàñòè.Èõ ïîâåäåíèå â èíåðöèîííîì èíòåðâàëå èçó÷åíî ñ ïîìîùüþ Îïåðàòîðíîãî Ðàçëîæåíèÿ; áûëî óñòàíîâëåíî íàëè÷èå àíîìàëüíîãî ñêåéëèíãà(ñèíãóëÿðíîé ñòåïåííîé çàâèñèìîñòè îò èíòåãðàëüíîãî ìàñøòàáà L).
Ñîîòâåòñòâóþùèå àíîìàëüíûå ðàçìåðíîñòè îïðåäåëåíû êàê ñêåéëèíãîâûå (êðèòè÷åñêèå) ðàçìåðíîñòè íåêîòîðûõ ñîñòàâíûõ ïîëåé (ñîñòàâíûõ îïåðàòîðîâ). Èõ ìîæíî âû÷èñëèòü ñèñòåìàòè÷åñêè êàê ðàçëîæåíèå ïî ïîêàçàòåëþy . Ïðàêòè÷åñêèå âû÷èñëåíèÿ áûëè ïðîâåäåíû â ãëàâíîì ïîðÿäêå; ðåçóëüòàòû ïðåäñòàâëåíû â (3.61).Ïîëó÷åííûå ðåçóëüòàòû î÷åíü ïîõîæè íà ðåçóëüòàòû, ïîëó÷åííûå ðàíåå äëÿ âåêòîðíûõ ïîëåé, ïåðåíîñèìûõ ñèíòåòè÷åñêèìè àíñàìáëÿìè ñêîðîñòè [15,17]: àíîìàëüíûé ñêåéëèíã ñòàíîâèòñÿ áîëåå çàìåòíûì ïðè óâåëè÷åíèè ñòåïåíè ñæèìàåìîñòè α; àíèçîòðîïíûå âêëàäû ôîðìèðóþò èåðàðõèþïî ñòåïåíè àíèçîòðîïèè l, ïîëó÷àåòñÿ, ÷òî ãëàâíûé âêëàä â àñèìïòîòèêóèíåðöèîííîãî èíòåðâàëà òàêîé æå, êàê è äëÿ èçîòðîïíîãî ñëó÷àÿ.
Êàê áûòî íè áûëî, ýòà èåðàðõèÿ ñòàíîâèòñÿ áîëåå âûðàæåííîé ñ ðîñòîì ñòåïåíè147ñæèìàåìîñòè, â îòëè÷èå îò ðåçóëüòàòîâ â ñòàòüå [15] äëÿ àíñàìáëÿ ñêîðîñòè Êðåé÷íàíà. Íàøè ðåçóëüòàòû áëèæå ê òîìó, ÷òî ðåàëüíî íàáëþäàëîñüäëÿ ñêàëÿðíîãî ïîëÿ, ïåðåíîñèìîãî òåì æå àíñàìáëåì [88].Ñ ôèçè÷åñêîé òî÷êè çðåíèÿ, âàæíî, ÷òî â íàøåì ñëó÷àå àíîìàëüíûåïîêàçàòåëè ñâÿçàíû ñ êðèòè÷åñêèìè ðàçìåðíîñòÿìè îòäåëüíûõ ñîñòàâíûõîïåðàòîðîâ, ïðÿìî êàê â ÐÃ+ÎÏ ïîäõîäå; ñì., íàïðèìåð, [14, 15, 39, 44, 47]. ïîäõîäå íóëåâûõ ìîä ê ýòîé æå çàäà÷å àíîìàëüíûå ïîêàçàòåëè ñâÿçàíûñ, òàê íàçûâàåìûìè, íóëåâûìè ìîäàìè (áåññèëîâûìè ðåøåíèÿìè) òî÷íûõäèôôåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé, ïîëó÷èâøèõñÿ èç îäíîâðåìåííûõ êîððåëÿöèîííûõ ôóíêöèé; ñì., íàïðèìåð, [7, 1113].
 áîëåå îáùåì ñìûñëå íóëåâûå ìîäû ìîæíî èíòåðïðåòèðîâàòü êàê íåêîòîðûå ñòàòèñòè÷åñêèå çàêîíûñîõðàíåíèÿ äëÿ äèíàìèêè êëàñòåðîâ ÷àñòèö [7]. Òàêîå áëèçêîå ñõîäñòâî âÐÃ+ÎÏ êàðòèíå ïðîèñõîæäåíèÿ àíîìàëüíîãî ñêåéëèíãà â íàñòîÿùåé ìîäåëè è åå ïðåäøåñòâåííèêà ãîâîðèò î òîì, ÷òî ïîäõîä íóëåâûõ ìîä (è ñòàòèñòè÷åñêèõ çàêîíîâ ñîõðàíåíèÿ) ìîæíî ïðèìåíÿòü è ê áîëåå ðåàëèñòè÷íûììîäåëÿì.Çàìåòèì, ÷òî íàøè ðåçóëüòàòû ïîëó÷åíû òîëüêî â ãëàâíîì ïîðÿäêå âðàçëîæåíèè ïî ïàðàìåòðó, êîòîðûé îòíþäü íå ìàë. Òàê ÷òî äîâîëüíî ñëîæíî ãîâîðèòü î ñîãëàñîâàííîñòè òåîðèè è ýêñïåðèìåíòà.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
