Диссертация (1150683), страница 17
Текст из файла (страница 17)
Èç ñîîáðàæåíèé ðàçìåðíîñòè (ñì. òàáëèöó 4.1) ñëåäóåò, ÷òîωhF1 (t, x1 )F2 (t, x2 )i = ν dF µdF × f (µr, mr, c/µν),(4.102)ãäå dωF è dF ýòî ÷àñòîòíàÿ è ïîëíàÿ êàíîíè÷åñêàÿ ðàçìåðíîñòè êîððåëÿöèîííîé ôóíêöèè, r = |x2 − x1 |, è f ôóíêöèÿ âñåõ âîçìîæíûõ ïîëíîñòüþáåçðàçìåðíûõ ïåðåìåííûõ.133Åñëè ýòà êîððåëÿöèîííàÿ ôóíêöèÿ ìóëüòèïëèêàòèâíî ðåíîðìèðóåìà, â ÈÊ ðåãèîíå îíà óäîâëåòâîðÿåò óðàâíåíèþ (4.64), êîòîðîå îïèñûâàåòïîâåäåíèå ÈÊ ñêåéëèíãà. Òî åñòü ïîâåäåíèå ôóíêöèè f ïðè µr 1 îïðåäåëÿåòñÿ ÈÊ ïðèòÿãèâàþùèìè òî÷êàìè FPII è FPIII Ðà óðàâíåíèÿ. Ðåøåíèåýòîãî óðàâíåíèÿ äà¼ò ñëäóþùåå àñèìïòîòè÷åñêîå âûðàæåíèå:ωhF1 (t, x1 )F2 (t, x2 )i ' ν dF µdF (µr)−∆F × h[mr, c̄(r)].(4.103)Çäåñü ∆F ýòî êðèòè÷åñêàÿ ðàçìåðíîñòü êîððåëÿöèîííîé ôóíêöèè, çàäàííîé ïðîñòîé ñóììîé ðàçìåðíîñòåé îïåðàòîðîâ; h íåèçâåñòíàÿ ñêåéëèíãîâàÿ ôóíêöèÿ ñ àáñîëþòíî áåçðàçìåðíûìè àðãóìåíòàìè, c̄(r) ýòî èíâàðèàíòíàÿ ñêîðîñòü çâóêà.Åñëè ñîñòàâíîé îïåðàòîð çàäàí â âèäå F (x) = θn (x), âûðàæåíèå (4.103)ïðèíèìàåò âèä:hθp (t, x1 )θk (t, x2 )i ' µ−(p+k) (µr)−∆p −∆k hpk [mr, c̄(r)],(4.104)ãäå êðèòè÷åñêèå ðàçìåðíîñòè ∆n äëÿ äâóõ ñêåéëèíãîâûõ ðåæèìîâ çàäàíûâûðàæåíèÿìè (4.100) è (4.101).Ïðåäñòàâëåíèå (4.104) âåðíî ïðè µr 1 è ëþáûõ ôèêñèðîâàííûõçíà÷åíèÿõ mr.
Èíåðöèîííûé èíòåðâàë l r L ñîîòâåòñòâóåò äîïîëíèòåëüíîìó óñëîâèþ mr 1. Ïîâåäåíèå ôóíêöèè h ïðè mr → 0 ìîæíîèçó÷àòü ñ ïîìîùüþ îïåðàòîðíîãî ðàçëîæåíèÿ; ñì. [80, 90]. Ñîãëàñíî îïåðàòîðíîìó ðàçëîæåíèþ, îäíîâðåìåííîå ïðîèçâåäåíèå F1 (x1 )F2 (x2 ) äâóõ ðåíîðìèðîâàííûõ îïåðàòîðîâ äëÿ x ≡ (x1 + x2 )/2 = const è r ≡ x1 − x2 → 0èìååò âèäF1 (t, x1 )F2 (t, x2 ) 'XFCF [mr, c̄(r)]F (t, x),(4.105)134ãäå CF ýòî ÷èñëåííûå ôóíêöèè, àíàëèòè÷íûå ïî mr è c̄(r), à F ýòî âñåâîçìîæíûå ëîêàëüíûå ñîñòàâíûå îïåðàòîðû, ðàçðåøåííûå ñèììåòðèÿìèçàäà÷è.Êîððåëÿöèîííàÿ ôóíêöèÿ (4.103) ïîëó÷åíà óñðåäíåíèåì (4.105) ñ âåñîì exp SR , ãäå SR ýòî ðåíîðìèðîâàííûé ôóíêöèîíàë äåéñòâèÿ (4.70). Ïîñëå óñðåäíåíèÿ ñ ïðàâîé ñòîðîíû (4.105) ïîÿâÿòñÿ ñðåäíèå çíà÷åíèÿ hF (x)i ∝(mr)∆F .
Èõ àñèìïòîòè÷åñêîå ïîâåäåíèå ïðè ìàëûõ m ìîæíî íàéòè èç ñîîòâåòñòâóþùèõ Ðà óðàâíåíèé, îíî èìååò ñëåäóþùèé âèähF (x)i ' m∆F × q[c̄(1/m)],(4.106)ñ äðóãèì íàáîðîì ñêåéëèíãîâûõ ôóíêöèé q . Ïîñêîëüêó äèàãðàììû â òåîðèè âîçìóùåíèé êîíå÷íû è ïðè c → ∞, è ïðè c → 0, ìû ìîæåì ïðåäïîëîæèòü, ÷òî ôóíêöèè q(c) îãðàíè÷åíû äëÿ âñåõ çíà÷åíèé c, è ìîæíî èõîöåíèòü íåêîòîðûìè êîíñòàíòàìè. Áîëåå òîãî, ÈÊ àñèìïòîòè÷åñêîå ïîâåäåíèå èíâàðèàíòíîé ïåðåìåííîé c̄(r) âìåñòå ñ òðåáîâàíèåì åå áåçðàçìåðíîñòèïðèâîäÿò ê òîìó, ÷òîc(r) = c × (µr)∆c /(µν),(4.107)ãäå c ýòî ðåíîðìèðîâàííàÿ ñêîðîñòü çâóêà.
Ýòî çíà÷èò, ÷òî c̄(1/m) ∼ cm−∆c .Ó÷èòûâàÿ (4.66), äëÿ íåëîêàëüíîãî ñêåéëèíãîâîãî ðåæèìà FPIII ïîëó÷àåì,÷òî äëÿ y > 12/5 (â òîì ÷èñëå è ðåàëèñòè÷íûé ñëó÷àé y → 4) àðãóìåíòcm−∆c ñòàíîâèòñÿ ìàëûì äëÿ ôèêñèðîâàííûõ c è m → 0, è ôóíêöèþ qìîæíî çàìåíèòü å¼ êîíå÷íûì ïðåäåëîì q(0). Äëÿ ëîêàëüíîãî ñêåéëèíãîâîãî ðåæèìà FPII èç (4.67) ñëåäóåò, ÷òî ïðè ε → 1 ôóíêöèþ q ìîæíî çàìåíèòü å¼ êîíå÷íûì ïðåäåëîì q(∞). È çýòèõ äâóõ çàìå÷àíèé ìû, íàêîíåö,135ïðèõîäèì ê âûâîäó, ÷òî â ÈÊ îáëàñòè è äëÿ ëîêàëüíîãî, è äëÿ íåëîêàëüíîãî ðåæèìîâ â òî÷íîñòüþ äî êîíñòàíòhF (x)i ∼ m∆F .(4.108)Ñî÷åòàíèå Ðà ïðåäñòàâëåíèÿ (4.104), îïåðàòîðíîãî ðàçëîæåíèÿ (4.105) èâûðàæåíèÿ (4.108) îïðåäåëÿåò æåëàííîå àñèìïòîòè÷åñêîå ïîâåäåíèå ñêåéëèíãîâûõ ôóíêöèé:h[mr, c(r)] 'XFAF [mr, c(r)] × (mr)∆F ,(4.109)ãäå ñóììèðîâàíèå ïðîâîâäèòñÿ ïî âñåì ãàëèëååâî-èíâàðèàíòíûì ñêàëÿðíûì îïåðàòîðàì (âêëþ÷àÿ è îïåðàòîðû ñ ïðîèçâîäíûìè), êîýôôèöèåíòíûå ôóíêöèè AF àíàëèòè÷íû ïî ñâîèì àðãóìåíòàì.
Ãëàâíûé âêëàä â ñóììó (4.109) çàäà¼òñÿ îïåðàòîðîì ñ ñàìîé íèçêîé (ìèíèìàëüíîé) êðèòè÷åñêîé ðàçìåðíîñòüþ; îñòàëüíûå ìîæíî ðàññìàòðèâàòü â êà÷åñòâå ïîïðàâîê.Àíîìàëüíûé ñêåéëèíã (ñèíãóëÿðíîå ïîâåäåíèå ïðè mr → 0) ñëåäóåò èçíàëè÷èÿ âêëàäîâ ñ îïåðàòîðàìè ñ îòðèöàòåëüíûìè êðèòè÷åñêèìè ðàçìåðíîñòÿìè. Èç (4.100) è (4.101) ñëåäóåò, ÷òî äëÿ îáîèõ ñêåéëèíãîâûõ ðåæèìîââñå îïåðàòîðû θn èìåþò îòðèöàòåëüíûå ðàçìåðíîñòè, è ñïåêòð èõ ðàçìåðíîñòåé íå îãðàíè÷åí ñíèçó.Ê ñ÷àñòüþ, ñîãëàñíî ëèíåéíîñòè èçíà÷àëüíîãî ñòîõàñòè÷åñêîãî óðàâíåíèÿ (4.68) ïî ïîëþ θ, ÷èñëî ýòèõ ïîëåé â ïðàâîé ÷àñòè âûðàæåíèÿ (4.105)íå ìîæåò ïðåâûøàòü èõ ÷èñëà ñëåâà.
Ýòî çíà÷èò, ÷òî äëÿ çàäàííîé êîððåëÿöèîííîé ôóíêöèè òîëüêî êîíå÷íîå ÷èñëî òàêèõ îïåðàòîðîâ äàåò âêëàä âîïåðàòîðíîå ðàçëîæåíèå. Äëÿ êîððåëÿòîðîâ (4.104) äàþò âêëàä îïåðàòîðûñ n 6 p + k . Ãëàâíûé ÷ëåí ðàçëîæåíèÿ ïðè mr → 0 çàäà¼òñÿ îïåðàòîðîìñ ìàêñèìàëüíî âîçìîæíûì n = p + k è áåç ïðîèçâîäíûõ. Òàê ÷òî îêîí÷à-136òåëüíîå âûðàæåíèå èìååò âèä:hθp (t, x1 )θk (t, x2 )i ' µ−(p+k) (µr)−∆p −∆k (mr)∆p+k .(4.110)Ãëàâíûé ÷ëåí â îïåðàòîðíîì ðàçëîæåíèè çàäà¼òñÿ îïåðàòîðîì èç òîãî æå ñåìåéñòâà. À òàêæå ∆p + ∆k > ∆p+k . Ýòè äâà ôàêòà ìîæíî èíòåðïðåòèðîâàòü òàê: êîððåëÿöèè ñêàëÿðíîãî ïîëÿ â ìîäåëè (4.68) ïðîÿâëÿþòìóëüòèôðàêòàëüíîå ïîâåäåíèå; ñì. [86].1374.6.Ïåðåíîñ ïîëÿ òðåéñåðà. Îòâåòû â ãëàâíîì ïîðÿäêå ýòîì ðàçäåëå áóäåò îáñóæäàòüñÿ ïåðåíîñ ïîëÿ òðåéñåðà.
È õîòÿóðàâíåíèÿ ïåðåíîñà ïîëÿ ïëîòíîñòè è ïîëÿ òðåéñåðà îòëè÷àþòñÿ, îòâåòûäëÿ êðèòè÷åñêèõ ðàçìåðíîñòåé ïîâòîðÿþò âûðàæåíèÿ (4.84), (4.85). Òàê÷òî èçëîæåíèå â ýòîì ðàçäåëå ìû íà÷í¼ì ñðàçó ñ ðàññìîòðåíèÿ ñîñòàâíûõïîëåé.Äëÿ íàõîæäåíèÿ ñòðóêòóðíûõ ôóíêöèé, ïîñòðîåííûõ èç ïîëåé òðåéñåðà, íåîáõîäèìî ðàññìîòðåòü ñîñòàâíîé îïåðàòîð(n,l)Fi1 ...il = ∂i1 θ · · · ∂il θ (∂i θ∂i θ)s + . . .(4.111)è âû÷èñëèòü åãî êðèòè÷åñêóþ ðàçìåðíîñòü.  (4.111) l ýòî ÷èñëî ñâîáîäíûõ âåêòîðíûõ èíäåêñîâ, n = l+2s ïîëíîå ÷èñëî ïîëåé θ, âõîäÿùèõ â îïåðàòîð. Ïîä ìíîãîòî÷èÿìè ïîäðàçóìåâàþòñÿ ñâ¼ðòêè ñ äåëüòà-ñèìâîëàìè,êîòîðûå äåëàþò îïåðàòîð íåïðèâîäèìûì. Íàïðèìåð,(2,2)Fij= ∂i θ∂j θ −δij(∂k θ∂k θ).d(4.112)Ïîëüçóÿñü òåì, ÷òî ïîäîáíûå âû÷èñëåíèÿ ïðîâîäèëèñü ðàíåå äëÿ ïîëÿ òðåéñåðà, ïðèâåä¼ì äàëåå òîëüêî îòâåòû áåç ïîÿñíåíèé.
Àíîìàëüíàÿðàçìåðíîñòü ñîñòàâíîãî ïîëÿ èìååò âèä:γ(n,l)1=2d(d + 2)Q2Q1(g10 + g20 ) +(αg10 + g20 ) ,2w(1 + w)2wu(u + w)(4.113)ãäå ïîëèíîìû Q1 , Q2 çàäàþòñÿ âûðàæåíèÿìè:Q1 = −3n(n + 4) + 5l(l + 2)(4.114)Q2 = −3n2 + l(l + 2),(4.115)138ãäå ïîëèíîìû (4.115) ïîâòîðÿþò âûðàæåíèÿ (2.46) ñ òî÷íîñòüþ äî çàìåíûd = 4.Òîãäà êðèòè÷åñêèå ðàçìåðíîñòè äëÿ äâóõ íåïîäâèæíûõ òî÷åê èìåþòðàçíîå çíà÷åíèå. Äëÿ íåïîäâèæíîé òî÷êè FPII:∆(n,l) =nQ1 + Q2ε+ε.472(4.116)Äëÿ íåïîäâèæíîé òî÷êè FPIII:∆(n,l) =ny Q1 (αy + 2y − 3ε) + 3αQ2 (y − ε)y+6129(y(2 + α) − 3ε)(4.117)ñ ïîïðàâêàìè áîëåå âûñîêèõ ïîðÿäêîâ ïî y è ε.Ïîëó÷åí áåñêîíå÷íûé íàáîð îïàñíûõ îïåðàòîðîâ ñî ñïåêòðîì, íåîãðàíè÷åííûì ñíèçó.Äëÿ äàëüíåéøåãî àíàëèçà íàì ïîíàäîáèòñÿ èñïîëüçîâàòü îïåðàòîðíîåðàçëîæåíèå.
Ïîäðîáíîå îïèñàíèå ïðèìåíåíèÿ ýòîãî ìåòîäà ê ñîñòàâíûìïîëÿì ïîëÿ òðåéñåðà ïðåäñòàâëåíà â ðàçäåëå.Äëÿ îäíîâðåìåííîé ñòðóêòóðíîé ôóíêöèè:Sn (r) = h[θ(t, x) − θ(t, x0 ]2n i,r = |x0 = x|.(4.118)â îäíîïåòëåâîì ïðèáëèæåíèè âûðàæåíèå äëÿ â èíåðöèîííîì èíòåðâàëåèìååò âèäSn (r) ∼ (νµ2 )−n (µr)−2n∆θ (mr)∆(2n,0) ,(4.119)(4.111) ãäå ∆n,l ìîæíî íàéòè èç (4.116), (4.117).Ïðè ðàññìîòðåíèè îïåðàòîðíîãî ðàçëîæåíèÿ äëÿ F (n,0) âèäíî, ÷òîâêëàä â ðàçëîæåíèå îïðåäåëÿåòñÿ êîððåëÿöèîííûìè ôóíêöèÿìè hF (p,0) F (k,0) i,ãäå n = p + k , îíè èìåþò âèä:hF (p,0) (t, x)F (k,0) (t, x0 )i ∼ r−∆(p,0) −∆(k,0) +∆(n,0) .(4.120)139Íåðàâåíñòâî ∆(n,0) < ∆(p,0) + ∆(k,0) ãîâîðèò î òîì, ÷òî îïåðàòîðû F (n,0)äåìîíñòðèðóþò ìóëüòèôðàêòàëüíîå ïîâåäåíèå, ñì. [86].4.7.Ïåðåíîñ ìàãíèòíîãî ïîëÿÂ ýòîì ðàçäåëå (òàêæå áåç ïîäðîáíûõ ïîÿñíåíèé) ìû ðàññìîòðèì ïå-ðåíîñ ïàññèâíîãî âåêòîðíîãî (ìàãíèòíîãî) ïîëÿ ïîòîêîì ñæèìàåìîé æèäêîñòè.
Óðàâíåíèå äëÿ ïåðåíîñà ìàãíèòíîãî ïîëÿ ìîæíî íàéòè â 3.1.2. Äàëååïðèâåä¼ì òîëüêî îòâåòû â ãëàâíîì îäíîïåòëåâîì ïîðÿäêå.Êðèòè÷åñêèå ðàçìåðíîñòè ìàãíèòíûõ ïîëåé çàäàþòñÿ âûðàæåíèÿìè:∆θi = −1 + ε/4,∆θi0 = d + 1 − ε/4 äëÿ òî÷êè FPII;(4.121)∆θi = −1 + y/6,∆θi0 = d + 1 − y/6 äëÿ òî÷êè FPIII.(4.122)(n,l)Êðèòè÷åñêàÿ ðàçìåðíîñòü îïåðàòîðà Fi1 ...il = θi1 · · · θil (θj θj )s + . . . äëÿíåïîäâèæíîé òî÷êè FPII èìååò âèä:∆(n,l) =nQ1 + Q2ε+ε.472(4.123)À äëÿ íåïîäâèæíîé òî÷êè FPIII:∆(n,l) =ãäåny Q1 (αy + 2y − 3ε) + 3αQ2 (y − ε)y+,6129[y(2 + α) − 3ε](4.124)Q1 ≡ −3n(n + 4) − 5l(l + 2),(4.125)Q2 ≡ −3n(5n − 4) − l(l + 2).(4.126)Ñ ïîìîùüþ îïåðàòîðíîãî ðàçëîæåíèÿ áûëè èññëåäîâàíû âûðàæåíèÿäëÿ êîððåëÿöèîííûõ ôóíêöèé â èíåðöèîííîì èíòåðâàëå.  ãëàâíîì ïîðÿäêå îòâåò ñëåäóþùèé:hF (p,0) (t, x)F (k,0) (t, x0 )i ∼ r−∆(p,0) −∆(k,0) +∆(n,0) .(4.127)140Òàêæå èìååò ìåñòî íåðàâåíñòâî ∆(n,0) < ∆(p,0) + ∆(k,0) , êîòîðîå îïðåäåëÿåòíàëè÷èå ìóëüòèôðàêòàëüíîãî ïîâåäåíèÿ.Ñòîèò îòìåòèòü, ÷òî ïðè ïîäñòàíîâêå d = 4 â âûðàæåíèÿ äëÿ êðèòè÷åñêèõ ðàçìåðíîñòåé, ïîëó÷àåì íåðàâåíñòâî:∂∆n,l> 0,∂l(4.128)èñõîäÿ èç êîòîðîãî ìîæíî ñäåëàòü âûâîä î íàëè÷èè èåðàðõèè àíèçîòðîïíûõ âêëàäîâ (ãëàâíûé âêëàä â ðàçëîæåíèå çàäà¼òñÿ èçîòðîïíûì ñëàãàåìûì ñ l = 0).Äàííàÿ ãëàâà îñíîâàíà íà ïóáëèêàöèÿõ [99102].141Çàêëþ÷åíèå ïåðâûõ äâóõ ãëàâàõ äàííîé ðàáîòû ìû èçó÷èëè äâå ìîäåëè ñêàëÿðíîãî ïåðåíîñà: ñëó÷àé ïëîòíîñòè è ñëó÷àé òðåéñåðà.
Îíè îïèñûâàþòñÿ óðàâíåíèÿìè (2.1) è (2.2) ñîîòâåòñòâåííî, ñëó÷àéíàÿ ñèëà îïèñûâàåòñÿ ôîðìóëîé (2.3). Ïîëå ñêîðîñòè îïèñûâàåòñÿ óðàâíåíèÿìè Íàâüå-Ñòîêñàäëÿ ñæèìàåìîé æèäêîñòè (1.7), (1.8), ïðè ýòîì âíåøíÿÿ ïåðåìåøèâàþùàÿñèëà èìååò êîððåëÿöèîííóþ ôóíêöèþ ∝ k 4−d−y ; ñì. (1.10), (1.11).Ïîëíûå ñòîõàñòè÷åñêèå çàäà÷è ñôîðìóëèðîâàíû â ôîðìå ïîëåâûõ ìîäåëåé ñ ôóíêöèîíàëàìè äåéñòâèÿ, îïèñàííûìè â (1.12), (2.5) è (2.8). Ýòèìîäåëè îêàçûâàþòñÿ ìóëüòèïëèêàòèâíî ðåíîðìèðóåìûìè, ÷òî ïîçâîëÿåòïîëó÷èòü ñîîòâåòñòâóþùèå Ðà óðàâíåíèÿ. Ó íèõ åñòü òîëüêî îäíà ÈÊïðèòÿãèâàþùàÿ òî÷êà â ôèçè÷åñêîé îáëàñòè ïàðàìåòðîâ ìîäåëè, òàê ÷òîêîððåëÿöèîííûå ôóíêöèè äåìîíñòðèðóþò ñêåéëèíãîâîå ïîâåäåíèå â ÈÊîáëàñòè (èíåðöèîííàÿ è ýíåðãîñîäåðæàùàÿ îáëàñòè).Èõ ïîâåäåíèå â èíåðöèîííûì èíòåðâàëå áûëî èçó÷åíî ñ ïîìîùüþîïåðàòîðíîãî ðàçëîæåíèÿ; áûëî âûÿâëåíî íàëè÷èå àíîìàëüíîãî ñêåéëèíãà(ñèíãóëÿðíàÿ ñòåïåííàÿ çàâèñèìîñòü îò èíòåãðàëüíîãî ìàñøòàáà L).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
