Диссертация (1150683), страница 14
Текст из файла (страница 14)
Òàêèå êîíòð÷ëåíû íå âëèÿþò íà êðèòè÷åñêîåïîâåäåíèå, è ïîýòîìó íå èíòåðåñíû äëÿ íàøåãî ðàññìîòðåíèÿ. Ýòî çíà÷èò,÷òî äëÿ ýòîãî ñïåöèàëüíîãî ñëó÷àÿ d = 3 ðåíîðìãðóïïîâîé àíàëèç óïðîùàåòñÿ, à ðåçóëüòàòû [64, 88] íóæíî òðàêòîâàòü êàê ïðåäâàðèòåëüíûå. Áîëååïðàâèëüíûé ïóòü ðàññìàòðèâàòü íàøó ìîäåëü ïðè d = 2 èëè d = 4, ÷òîïîçâîëèò íàéòè íîâûå ñêåéëèíãîâûå ðåæèìû, à ïîòîì âåðíóòüñÿ ê ôèçè÷íîìó çíà÷åíèþ d = 3. íàñòîÿùåé ãëàâå ðàññìàòðèâàåòñÿ ìîäåëü (4.3) ïðè d = 4, ÷òî òðåáóåò ðàññìîòðåíèÿ òîëüêî îäíîé äîïîëíèòåëüíîé ðàñõîäÿùåéñÿ ôóíêöèèe ik (k) [ñì. (4.4)],hv 0 v 0 i. Ïî ýòîé ïðè÷èíå ðàññìàòðèâàëàñü äðóãàÿ ôóíêöèÿ D1Ïî ýòîé æå ïðè÷èíå ôóíêöèÿhv 0 v 0 viñδΓ = 3 − d,íà ñàìîì äåëå, íå ðàñõîäèòñÿ ïðèd = 3.106è áûëà ââåäåíà âòîðàÿ êîíñòàíòà ñâÿçè g20 è ïàðàìåòð ε = 4 − d, êîòîðûéâìåñòå ñ y èãðàåò ðîëü ïàðàìåòðà ðàçëîæåíèÿ.
Äëÿ èññëåäîâàíèÿ ýòîé ìîäåëè ïðè d = 2 íåîáõîäèìî ðàññìîòðåòü íîâûå ðàñõîäÿùèåñÿ ôóíêöèè, àèìåííî hv 0 v 0 i ñ δΓ = 2, ôóíêöèè hv 0 v 0 v 0 i è hv 0 v 0 vi ñ δΓ = 1, è, íàêîíåö,ôóíêöèÿ hv 0 v 0 v 0 v 0 i ñ δΓ = 0. Òàêàÿ çàäà÷à êàæåòñÿ ãîðàçäî áîëåå ñëîæíîé.Èñïîëüçóÿ âñå ýòè óñëîâèÿ, ëåãêî ïîíÿòü, ÷òî âñå ÓÔ ðàñõîäèìîñòèìîäåëèl (4.3) ïðè d = 4 óñòðàíÿþòñÿ ñëåäóþùèìè êîíòð÷ëåíàìè:vi0 ∂ 2 vi ,c20 φ0 ∂i vi ,vi0 ∂i ∂k vk ,φ0 ∂ 2 φ,vi0 ∂i φ,andv0v0,(4.10)êîòîðûå ïðåäñòàâëåíû â ðàñøèðåííîì ôóíêöèîíàëå äåéñòâèÿ (4.3) ïðèv0 > 0. Òåïåðü ïîëþñíûå ðàñõîäèìîñòè ìîãóò áûòü óñòðàíåíû ðåíîðìèðîâêîé ïàðàìåòðîâ g10 , g20 , ν0 , u0 , v0 , c0 è ïîëåé φ and φ0 :g10 = g1 µy Zg1 ,u0 = uZu ,ν0 = νZν ,g20 = g2 µε Zg2 ,v0 = vZv ,c0 = cZc .(4.11)Çäåñü µ ýòî ìàññà (äîáàâî÷íûå ñâîáîäíûé ïàðàìåòð ðåíîðìèðîâàííîéòåîðèè) â ñõåìå ìèíèìàëüíûõ âû÷èòàíèé.
Ïàðàìåòðû g1 , g2 , ν, u, v , è c ýòî ðåíîðìèðîâàííûå àíàëîãè èçíà÷àëüíûõ ïàðàìåòðîâ (áåç èíäåêñà 0),Zi ðåíîðìàëèçàöèîííûå êîíñòàíòû, çàâèñÿùèå òîëüêî îò àáñîëþòíî áåçðàçìåðíûõ ïàðàìåòðîâ g1 , g2 , u, v, α, d, y è ε. Ïîëÿ φ è φ0 ðåíîðìèðóþòñÿñëåäóþøèì îáðàçîì:φ → Zφ φ,φ0 → Zφ0 φ0 .(4.12)Íåëîêàëüíàÿ ÷àñòü ôóíêöèè Dik íå òðåáóåò ðåíîðìèðîâêè, òàê ÷òî âûðàæàåòñÿ â òåðìèíàõ ðåíîðìèðîâàííûõ ïàðàìåòðîâ ñ èñïîëüçîâàíèåì ñîîò-107íîøåíèÿ g10 ν03 = g1 ν 3 µy , ñì. (4.14).
Ïàðàìåòðû m è α â êîððåëÿöèîííîéôóíêöèè (4.1) íå ðåíîðìèðóþòñÿ: Zm = Zα = 1. Ïîñêîëüêó ÷ëåí v 0 ∇t v íåðåíîðìèðóåòñÿ, ðåíîðìèðîâêà ïîëåé v è v 0 íå òðåáóåòñÿ: Zv = Zv0 = 1.Òàêèì îáðàçîì, ðåíîðìèðîâàííûé ôóíêöèîíàë äåéñòâèÿ èìååò âèä:1 0 R 0vi Dik vk + φ0 −∇t φ + Z3 vν∂ 2 φ − Z5 c2 (∂i vi ) +2+ vi0 −∇t vi + Z1 ν[δik ∂ 2 − ∂i ∂k ]vk + Z2 uν∂i ∂k vk − Z4 ∂i φ (4.13),S R (Φ) =ãäåRDik= g1 µy ν 3 p4−d−y Pij (p) + αQij (p) +Z6 g2 µε ν 3 δij .(4.14) îòëè÷èå îò ñëó÷àÿ d = 3, ïðè d = 4 ïîÿâëÿåòñÿ åù¼ îäíà ðåíîðìàëèçàöèîííàÿ êîíñòàíòà Z6 .4.3.Ðåíîðìèðîâêà ìîäåëè4.3.1.Òåîðèÿ âîçìóùåíèé äëÿ 1-íåïðèâîäèìûõ ôóíêöèé ÃðèíàÐàññìîòðèì Γ(ϕ) ïðîèçâîäÿùèé ôóíêöèîíàë 1-íåïðèâîäèìûõ ôóíêöèé Ãðèíà. Ñîãëàñíîo [90], èñïîëüçóÿ ïðåîáðàçîâàíèå Ëåæàíäðà, ìîæíîïåðåïèñàòü Γ(ϕ) â âèäå:eΓ(ϕ) = S(ϕ) + Γ(ϕ),(4.15)ïîä àðãóìåíòàìè ïîíèìàþòñÿ òå æå ñëó÷àéíûå ïîëÿ ϕ = {v, v0 , φ, φ0 },êîòîðûå ïîÿâëÿëèñü â ðàáîòå ðàíåå.
Çäåñü S(ϕ) ýòî ôóíêöèîíàë äåé-eñòâèÿ (4.3), à Γ(ϕ) ñóììà âñåõ 1-íåïðèâîäèìûõ äèàãðàìì. Òàê ÷òî â îäíîïåòëåâîì ïðèáëèæåíèè âûðàæåíèÿ äëÿ 1-íåïðèâîäèìûõ ôóíêöèé Ãðèíà,òðåáóþùèõ ÓÔ ðåíîðìèðîâêè, ìîæíî ïåðåïèñàòü â âèäå:108Γv0 v = iω − (δij p2 − pi pj )Z1 ν − pi pj Z2 uν +Γφφ0 = iω − p2 Z3 vν +Γv0 φ = −iZ4 pi +Γφ0 v = −iZ5 pi c2 +Γv0 v0 = g1 µy ν 3 p4−d−y(4.16),(4.17),(4.18),++1Pij (p) + αQij (p) +Z6 g2 µε ν 3 δij +2,(4.19),(4.20)ãäå p çäåñü è äàëåå èìååò ñìûñë ñîîòâåòñòâóþùåãî âíåøíåãî èìïóëüñà. Ìíîæèòåëü 1/2 ïåðåä äèàãðàììîé â (4.20) ýòî ñèììåòðèéíûé êîýôôèöèåíò ñîîòâåòñòâóþùåé äèàãðàììû.Èç ïðÿìîãî ñîïîñòàâëåíèÿ ñîîòíîøåíèé ìåæäó ïåðåíîðìèðîâàííûìèïàðàìåòðàìè ñëåäóåò, ÷òî êîíñòàíòû ïåðåíîðìèðîâêè â (4.11) è (4.16) (4.20) ñâÿçàíû:Zν = Z1 ,Zg1 = Z1−3 ,Zc = (Z4 Z5 )1/2 ,Zφ = Z4 ,Zφ0 = Z4−1 ,Zv = Z3 Z1−1 ,Zu = Z2 Z1−1 ,Zg2 = Z6 Z1−3 .(4.21)Êîíñòàíòû ðåíîðìèðîâêè ìîæíî íàéòè èç òðåáîâàíèÿ ÓÔ êîíå÷íîñòè ôóíêöèé Ãðèíà ðåíîðìèðîâàííîé ìîäåëè (4.13), âûðàæåííûõ â òåðìèíàõ ðåíîðìèðîâàííûõ ïàðàìåòðàõ.
Èñïîëüçóÿ ðàçìåðíóþ ðåãóëÿðèçàöèþ â ðàìêàõ ñõåìû ìèíèìàëüíûõ âû÷èòàíèé, ìîæíî âû÷èñëèòü êîíñòàíòû ïåðåíîðìèðîâêè, à ÓÔ-ðàñõîäèìîñòè ïðîÿâëÿþòñÿ êàê ïîëþñíûå ÷ëåíû ïî y èε = 4 − d.  áîëåå âûñîêèõ ïîðÿäêàõ ðàçëîæåíèÿ (ñ áîëüøèì êîëè÷åñòâîìïåòåëü) ìîãóò ïîÿâèòüñÿ è ëèíåéíûå êîìáèíàöèè ay + bε.1094.3.2.Ðåíîðìàëèçàöèîííûå ïîñòîÿííûåÏîñëå âû÷èñëåíèÿ äèàãðàìì ìîæíî ïåðåéòè ê íîâûì ïåðåìåííûì(g1,2 → g1,2 Cd , ãäå Cd ïëîùàäü ïîâåðõíîñòè åäèíè÷íîé ñôåðû â ïðîñòðàíñòâå ñ ðàçìåðíîñòüþ d, äåë¼ííàÿ íà (2Π)d ) è ïîëó÷èòü âûðàæåíèÿäëÿ ðåíîðìàëèçàöèîííûõ ïîñòîÿííûõ, âûðàæåííûõ ÷åðåç ðåíîðìèðîâàííûå ïàðàìåòðû:u2 d(1 − d) − u(2d2 + 2d − 8) − d(d + 3)Z1 = 1 +4d(d + 2)(1 + u)2(1 − u)g1 g2g1 g2×++α +;yε2du(1 + u)2yεu2 (d − 1) + u(d + 4) + 1 g1 g2;Z2 = 1 + (1 − d)+2d(d + 2)u(1 + u)2yε1 d − 1 g1 g2(u − v)g1 g2Z3 = 1 −++;α +2dv 1 + v yεu(u + v)2yε(d − 1)g1 g2Z4 = 1 ++;2d(1 + u)(1 + v) yε(d − 1)g12g1 g2Z6 = 1 −α+ (α + 1) +.2du(1 + u)g2 (2y − ε)yε(4.22)Êàê è â ìîäåëè, ðàññìîòðåííîé ðàíåå ïåðâîé ãëàâå, êîíñòàíòà Z5îêàçûâàåòñÿ ðàâíîé 1 â îäíîïåòëåâîì ïðèáëèæåíèè.
Èñïîëüçóÿ ñîîòíîøåíèÿ (4.21) è âûðàæåíèå (1 + x)−n = 1 − nx + o(x) äëÿ Zi−n , ïîëó÷èìðåíîðìàëèçàöèîííûå êîíñòàíòû äëÿ ïîëåé φ, φ0 è ôèçè÷åñêèõ ïàðàìåòðîâñèñòåìû:g1 g2g1 g2Zν = 1 + A ×++B × α +;yεyεg1 g2g1 g2Zu = 1 + (C − A) ×+−B × α +;yεyεg1 g2Zv = 1 − (A + D) ×+yεg1 g2− (B + E) × α +;yε1101g1 g2Zc = 1 + F ×+;2yεg1 g2+;Zφ = 1 + F ×yεg1 g2Zφ 0 = 1 − F ×+;yεg1 g2g1 g2Zg1 = 1 − 3A ×+−3B × α +;yεyεg1 g2g1 g2+Zg2 = 1 − 3A ×−3B × α +yεyε2g1g1 g2−G× α+ (1 + α) +,g2 (2y − ε)yε(4.23)ãäå A F ýòî êîýôôèöèåíòû èç êîíñòàíò Z1 Z6 :d(1 − d)u2 − 2u(d2 + d − 4) − d(d + 3)A=;4d(d + 2)(1 + u)21−uB=;2du(1 + u)2u2 (d − 1) + u(d + 4) + 1C = (1 − d);2d(d + 2)u(1 + u)21 d−1D=;2dv 1 + v1 (u − v);E=2dv u(u + v)2(d − 1)F =;2d(1 + u)(1 + v)(d − 1)G=.2du(1 + u)(4.24)Èòîãî, â âûðàæåíèÿõ (4.23), (4.24) íàéäåíû âñå ðåíîðìèðîâî÷íûå êîíñòàíòû ïîëåé è ïàðàìåòðîâ, íåîáõîäèìûå äëÿ ðåíîðìèðîâêè íàøåé ìîäåëèïðè d = 4.1114.4.Ðåíîðìãðóïïà è êðèòè÷åñêèé ñêåéëèíã4.4.1.Ðà óðàâíåíèÿ è Ðà ôóíêöèèÑâÿçü ìåæäó èçíà÷àëüíûì è ðåíîðìèðîâàííûì ôóíêöèîíàëàìè äåéñòâèÿ S(Φ, e0 ) = S R (ZΦ Φ, e, µ), ãäå e0 ýòî ïîëíûé íàáîð íà÷àëüíûõ ïàðàìåòðîâ, à e íàáîð èõ ðåíîðìèðîâàííûõ àíàëîãîâ, ïðèâîäèò íàñ ê ñëåäóþùåìó Ðà óðàâíåíèþ:{DRG + Nφ γφ + Nφ0 γφ0 } GR (e, µ, .
. . ) = 0,(4.25)ãäå G = hΦ · · · Φi êîððåëÿöèîííàÿ ôóíêöèÿ ïîëåé Φ, Nφ è Nφ0 êîëè÷åñòâî ñîîòâåòñòâóþùèõ ïîëåé, âõîäÿùèõ â êîððåëÿöèîííóþ ôóíêöèþ G,ìíîãîòî÷èå â âûðàæåíèè (4.25) îçíà÷àåò äðóãèå àðãóìåíòû G (ïðîñòðàí-eµ , âûðàñòâåííûå è âðåìåííûå ïåðåìåííûå, è ò.ä.); DRG ýòî îïåðàöèÿ Deµ äèôôåðåíöèàëüíàÿ îïåæåííàÿ â ðåíîðìèðîâàííûõ ïåðåìåííûõ, à Dðàöèÿ µ∂µ äëÿ ôèêñèðîâàííûõ e0 :DRG = Dµ + βg1 ∂g1 + βg2 ∂g2 + βu ∂u + βv ∂v − γν Dν − γc Dc .(4.26)Çäåñü ìû îáîçíà÷èëè Dx ≡ x∂x äëÿ ëþáîé ïåðåìåííîé x. Àíîìàëüíàÿðàçìåðíîñòü γF íåêîòîðîé âåëè÷èíû F (ïîëå èëè ïàðàìåòð) îïðåäåëÿåòñÿñëåäóþùèì îáðàçîì:e µ ZF = Deµ ln ZF ,γF = ZF−1 D(4.27)à β -ôóíêöèè äëÿ ÷åòûð¼õ áåçðàçìåðíûõ êîíñòàíò ñâÿçè g1 , g2 , u è v , êî-eµ g .
Âìåñòåòîðûå îïèñûâàþò Ðà ïîòîêè ïàðàìåòðîâ çàäàþòñÿ òàê: βg = Dñ (4.11) ýòî ïðèâîäèò ê ñëåäóþùèì ðàâåíñòâàì:βg1 = g1 (−y − γg1 ),112βg2 = g2 (−ε − γg2 ),βu = −uγu ,βv = −vγv .(4.28)Èç îïðåäåëåíèé è òî÷íûõ âûðàæåíèé (4.23), (4.24) ìîæíî íàéòè îäíîïåòëåâîå ïðèáëèæåíèå (ò.å. ñ ïîïðàâêàìè ïîðÿäêà g12 , g22 , g1 g2 è âûøå)ïðè d = 4:(u − 1)(3u3 + 8u2 + 10u − 3)(3u2 + 8u + 7)+αg+g; (4.29)1224(1 + u)28u(1 + u)224u(1 + u)21−u22γu =g1 (6u + 13u + 3) + 6αg1 + g2 (6u + 13u + 9) ; (4.30)48u(1 + u)27 + 8u + 3u29g1−+γv =24(1 + u)2v(1 + v)(v − 1)− αg1u3 + 2u2 (1 + v) − v(1 + v) + u(1 − v + v 2 )228u(1 + u) v(u + v)7 + 8u + 3u23(u − v)9g2 3(1 − u)−++;(4.31)+24 u(1 + u)2(1 + u)2uv(u + v)2 v(1 + v)3γc = −(g1 + g2 );(4.32)16(1 + u)(1 + v)3(g1 + g2 );(4.33)γφ = −8(1 + u)(1 + v)3γφ0 =(g1 + g2 );(4.34)8(1 + u)(1 + v)3(u − 1)(3u3 + 8u2 + 10u − 3)(3u2 + 8u + 7)− αg1− g2;γg1 = −g18(1 + u)28u(1 + u)28u(1 + u)2γν = g1(4.35)1−g1 (3u3 + 8u2 + 4u − 3) − g2 (3u3 + 8u2 + 7u − 6)8u(1 + u)2αg1+3[(1 + u)g1 + 2g2 ] .(4.36)g2γg2 =Òàêèì îáðàçîì, èç âûðàæåíèé (4.28) è (4.29) (4.36) íàéäåíû âñåôóíêöèè, âõîäÿùèå â äèôôåðåíöèàëüíûé îïåðàòîð (4.26).
Ìîæíî ðàññìîò-113ðåòü, êàê îí äåéñòâóåò íà ðàçëè÷íûå ôóíêöèè Ãðèíà. Ìû íå âêëþ÷àëèáåçðàçìåðíûé ïàðàìåòð α â ñïèñîê êîíñòàíò ñâÿçè, ïîòîìó ÷òî îí íå ðåíîðìèðóåòñÿ (Zα = 1), à çíà÷èò, ñîîòâåòñòâóþùàÿ ôóíêöèÿ βα ðàâíà íóëþ.Íåò íèêàêèõ îãðàíè÷åíèé íà ïàðàìåòð α èç Ðà óðàâíåíèé, òàê ÷òî îí òàêè îñòà¼òñÿ ñâîáîäíûì.4.4.2.Ðà ôóíêöèè è ÈÊ ïðèòÿãèâàþùèå íåïîäâèæíûå òî÷êèÎäíî èç îñíîâíûõ óòâåðæäåíèé Ðà çàêëþ÷àåòñÿ â òîì, ÷òî ïîâåäåíèå íà áîëüøèì ìàñøòàáàõ ïî îòíîøåíèþ ê ïðîñòðàíñòâåííûì è âðåìåííûì øêàëàì îïðåäåëÿåòñÿ ÈÊ ïðèòÿãèâàþùèìè ôèêñèðîâàííûìè òî÷êàìè g ∗ ≡ {g1∗ , g2∗ , u∗ , v ∗ }, êîîðäèíàòû êîòîðûõ ìîæíî íàéòè èç ñëåäóþùåãîóñëîâèÿ [80, 90, 94]:βg1 (g ∗ ) = βg2 (g ∗ ) = βu (g ∗ ) = βv (g ∗ ) = 0.(4.37)Èäåÿ çàêëþ÷àåòñÿ â òîì, ÷òîáû ðàññìîòðåòü èíâàðèàíòíûå çàðÿäû g i =g i (s, g) ñ íà÷àëüíûìè óñëîâèÿìè g i |s=1 = gi .
Ïàðàìåòð s = k/µ ìàñøòàáíûé ïàðàìåòð, ÈÊ àñèìïòîòè÷åñêîå ïîâåäåíèå (ò.å. ïîâåäåíèå ïðè r → ∞)ñâÿçàíî ñ ïðåäåëîì s → 0. Ðàçâèòèå èíâàðèàíòíîãî çàðÿäà çàäà¼òñÿ ñëåäóþùèìè óðàâíåíèÿìè:Ds g i = βi (g j ),(4.38)ðåøåíèå êîòîðûõ ïðè s → 0 òàêîå:g i (s, g ∗ ) ∼= gi∗ ïëþñ ëèíåéíàÿ êîìáèíàöèÿ âêëàäîâ âèäà sωk ,(4.39)ãäå {ωk } ýòî íàáîð ñîáñòâåííûõ çíà÷åíèé ìàòðèöûΩij = ∂βi /∂gj |g=g∗ .(4.40)114Ñóùåñòâîâàíèå ÈÊ óñòîé÷èâîãî ðåøåíèÿ óðàâíåíèé Ðà ïðèâîäèò ê ñóùåñòâîâàíèþ ñêåéëèíãîâîãî ïîâåäåíèÿ ôóíêöèé Ãðèíà. Èç (4.39) ñëåäóåò, ÷òîòèï íåïîäâèæíîé òî÷êè îïðåäåëÿåòñÿ ìàòðèöåé (4.40): äëÿ ÈÊ óñòîé÷èâîéíåïîäâèæíîé òî÷êè ìàòðèöà Ω äîëæíà áûòü ïîëîæèòåëüíî îïðåäåëåíà, òîåñòü âåùåñòâåííûå ÷àñòè âñåõ ñîáñòâåííûõ ÷èñåë ìàòðèöû ïîëîæèòåëüíû. ñëó÷àå d = 3 àíàëèç âûðàæåíèé òèïà (4.28) è (4.29) (4.36) ïîêàçûâàåò, ÷òî â ôèçè÷åñêîé îáëàñòè ïàðàìåòðîâ g1 , g2 , u, v, α > 0 ñóùåñòâóåò òîëüêî îäíà íåòðèâèàëüíàÿ ÈÊ ïðèòÿãèâàþùàÿ íåïîäâèæíàÿ òî÷êà [64, 88].
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
