Диссертация (1150628)
Текст из файла
САНКТ–ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТНа правах рукописиПисьменский Артем ЛеонидовичРасчёт характеристик критического поведения и нарушенияскейлинга в скалярных моделях квантовой теории поля01.04.02 — теоретическая физикаДиссертация на соискание учёной степеникандидата физико–математических наукНаучный руководительдоктор физико–математических наукПисьмак Ю. М.Санкт–Петербург — 20162ОглавлениеВведение41 Расчёт асимптотик пропагаторов в логарифмических размерностях с помощью уравнения ренормгруппы161.1 Введение . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .161.2 Общее решение уравнения ренормгруппы . . . . . . . . . . .171.3 Вычисление асимптотик . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .201.3.1Асимптотика инвариантного заряда . . . . . . . . . .221.3.2Асимптотика пропагатора . . . . . . . . . . . . . . . .251.4 Теория φ3 . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .301.5 O(N )-симметричная теория φ4 . . . . . . . . . . . . . . . . .321.6 Теория φ6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .391.7 Обсуждение результатов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .412 Трехпетлевый расчёт критического индекса Фишера η теории φ3 методом конформного бутстрапа452.1 Введение . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . .452.2 Метод конформного бутстрапа для теории φ3 . . . . . . . . .452.3 3-петлевой расчёт критического индекса теории φ3 . . . . . .473 Расчёт 4-петлевой поправки к критическому индексу Фишера η теории φ3 методом конформного бутстрапа5733.1 Проведение расчёта . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . .573.2 Результат . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .87Основные результаты и выводы89A Приложения к Главе 193A.1 Выражения для инвариантного заряда и пропагатора в терминах коэффициентов разложения в ряд теории возмущений beta-функции, аномальной размерности поля и оператора собственной массы. . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . .93A.2 Рекуррентные соотношения для диаграмм γ1 и γ2 . . . . . . . 107B Приложения к Главе 3B.1 Метод расчёта диаграмм Gn110. . . . . . . . . . . . . . . . . . 110B.2 Диаграммы с конечными вкладами при d = 6 . . . . . . . . . 111Литература1144ВведениеАктуальность темы. В настоящее время квантово-полевые методыактивно используются в теории критического поведения как статических,так и динамических систем [1, 2]. Как показывает эксперимент, критические явления характерны для многих систем жидкость-пар и ферромагнетиков [2].
Для них существует критическая температура, при которойпропадает различие между жидкостью и газом, а ферромагнетик становится парамагнетиком. Впервые существование критической точки обнаружил Эндрюс в экспериментах с углекислым газом [3]. Чуть позже Ван-дерВаальсом [4] и Пьером Вейссом [5] были предложены уравнения состоянияреального газа и ферромагнетика, которые используются и в настоящеевремя для описания систем газов, жидкостей, жидкость-пар в окрестностифазового перехода.Наиболее важным достижением физики критических явлений явилось открытие универсальности, которая проявляется в том, что различные системы вблизи критической точки обладают одинаковыми количественными характеристиками.
Её первое теоретическое объяснение былопредложено в 1937 году Л. Д. Ландау [6].Исследования квантовополевых моделей показывают, что для большинства систем вблизи критической точки наблюдается масштабная инвариантность (скейлинг), которая проявляется, в частности, в том, чтопарная корреляционная функция Грина (пропагатор) является степенной5функцией координат. Одной из важнейших задач квантовой теории поляявляется расчёт показателя этой степени (критического индекса). В некоторых исключительных случаях скейлинг может нарушаться, что приводит к появлению дополнительных логарифмов у степенной асимптотикипропагатора.
Проблема нарушения скейлинга не может быть решена потеории возмущений, так как каждый следующий член ряда оказываетсяболее значимым, чем предыдущий. Хоть интерес к подобного рода проблемам возник давно [7], он не утратил актуальность и по настоящее время.Большое значение для создания современной теории критического поведения имели исследования модели Изинга [8], и, в частности, полученныев 1941-1942 годах для её двумерной версии точные аналитические результаты: найденное Крамерсом и Ванье значение критической температуры дляквадратной решетки [9] и результат расчёта Онзагера статсуммы в нулевомвнешнем поле [10].
Они показали, что теория Ландау не является точной итребуется её модификация. В качестве её современной версии можно рассматривать предложенный Вильсоном ренормгрупповой подход [1, 2], который позволил использовать для количественного описания критическихявлений мощный математический аппарат квантовой теории поля.На протяжении последних десятилетий наблюдается все возрастающий интерес к вычислениям ренормгрупповых характеристик квантовополевых моделей [11–13]. Он обусловлен не только увеличивающейся точностью экспериментальных данных в области физики критических явлений,но и необходимостью проверки новых теоретических подходов и разработки новых методов, касающихся нетеоретиковозмущенческих проблем.Ренормгрупповой анализ Стандартной модели оказался необходимым, в6частности, при исследовании свойств бозона Хиггса, открытого на Большом Адронном Коллайдере в 2012 году.
В последнее время также значительно возрос интерес к исследованию конформной теории поля, котораяиспользуется как при изучении критических явлений, так и в теории точно интегрируемых моделей [14–24]. Хотя для ренормгрупповых расчетовв настоящее время уже используются компьютерные программы [25, 26],тем не менее активно разрабатываются и аналитические методы, которыепо-прежнему не утратили своей актуальности. Приведённые в диссертациирезультаты могут внести существенный вклад в дальнейшее развитие эффективных аналитических подходов, как для исследования критическихявлений, так и для нетеоретиковозмущенческих расчётов в квантовой теории поля.Степень разработанности темы исследования. Для теоретических исследований критических явлений было разработано несколько методов. Большие успехи при расчетах критических индексов были достигнутыс помощью уравнений ренормгруппы [1], [2].
Преимущество этого подходав том, что он дает возможность проводить частичные суммирования бесконечного числа членов ряда теории возмущения.Группа ренормировочных преобразований в квантовой теории полявпервые была рассмотрена в 1953 году Штюкельбергом и Петерманом [27].В 1954 году Гелл-Манн и Лоу [28] провели расчёты ведущих вкладов ультрафиолетовой асимптотики функции Грина в квантовой электродинамике. Как показали Боголюбов и Ширков [29,30], эти расчёты были фактически основаны на использовании группы ренормировочных преобразований.В их работах была разработана существенная часть формализма метода ре-7нормгруппы, который в усовершенствованном в работах Вильсона виде [1]используется и в настоящее время.Уравнения ренормгруппы оказались очень эффективны для расчётовультрафиолетовых и инфракрасных асимптотик функций Грина.
Эта задача становится нетривиальной в том случае, когда вклады в асимптотикув члены ряда теории возмущения не компенсируются малостью константывзаимодействия и требуется учёт вкладов во всех её порядках, т.е. проведение частичного суммирования ряда теории возмущения. Использованиеметода ренормгруппы даёт возможность решить такие задачи.Кроме ренормгруппового подхода, для исследования асимптотик масштабно и конформно инвариантных теорий поля существуют альтернативные подходы — методы уравнения самосогласования и конформного бутстрапа [31].
Их преимущество заключается в сокращении количества диаграмм Фейнмана, которые необходимо учесть для получения результата.Для расчётов критических индексов уравнения конформного бутстрапавпервые были использованы в работе Г. Мака при вычислении главногоприближения аномальной размерности поля в теории взаимодействия φ3 ипоказано, что результат совпадает с ренормгрупповым [31]. Уравнения самосогласования были эффективно использованы в работах А. Н.
Васильева, Ю. М. Письмака, Ю. Р. Хонконена [32,33] для расчёта 1/n-разложениякритических индексов. Они были получены из скелетных уравнений Дайсона для пропогаторов отбрасыванием в них затравочных вкладов [34]. Такбыли найдены коэффициенты η2 и ν2 1/n-разложений индексов η и ν соответственно в O(N )-симметричной теории φ4 произвольной размерности.Расчёт коэффициента η3 для этой модели был проведён А. Н. Ва-8сильевым, Ю. М. Письмаком и Ю. Р. Хонконеном в работе [35] методомконформного бутстрапа.
Для этого введением вспомогательного скалярного поля ψ, модель φ4 -взаимодействия была представлена в виде теориидвух полей со взаимодействием Юкавы φ2 ψ. Используемые в работе [35]уравнение конформного бутстрапа были получены из скелетных уравнений для тройных вершин и пропагаторов в этой модели отбрасыванием затравочных вкладов. Метод уравнения самосогласования был использовандля расчёта индекса, определяющего инфракрасную асимптотику глюонного пропагатора поля Янга - Миллса [36].
Методы ренормгруппы успешноприменяются для расчёта не только статического, но и динамического критического поведения [2, 13].Для нахождения асимптотических характеристик квантовополевыхмоделей в рамках ренормгруппового подхода, метода уравнения самосогласования и конформного бутстрапа необходимо проведение расчётов Фейнмановских диаграмм с требуемой точностью.
Характеристики
Тип файла PDF
PDF-формат наиболее широко используется для просмотра любого типа файлов на любом устройстве. В него можно сохранить документ, таблицы, презентацию, текст, чертежи, вычисления, графики и всё остальное, что можно показать на экране любого устройства. Именно его лучше всего использовать для печати.
Например, если Вам нужно распечатать чертёж из автокада, Вы сохраните чертёж на флешку, но будет ли автокад в пункте печати? А если будет, то нужная версия с нужными библиотеками? Именно для этого и нужен формат PDF - в нём точно будет показано верно вне зависимости от того, в какой программе создали PDF-файл и есть ли нужная программа для его просмотра.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
