Диссертация (1150628), страница 10
Текст из файла (страница 10)
Задача свелась к вычислению сходящейся диаграммы 2+c2 εq c9 εq 2+c7 ε q@2+c6 ε@2+c1 ε c @2+c3 εc8 ε10 ε@qq@q2+c5 ε2+c4 εдо линейного по ε вклада. Сначала рассмотрим случай, когда c9 = c10 = 0.Тогда диаграмма сводится к уже вычисленной диаграмме «петля с перекладиной», и мы получаем:qq2+c2 εq2+c7 ε2+c6 ε2+c1 εq+π2+c5 ε12h− c31q−c8 ε2+c3 ε2+c4 εqc23+c33+= π 12 − 13 + ζ3 +2c43+c53+209−4τ3−π460+ 4τ −203 iζ3 ε + O(ε2 ).Теперь рассмотрим в размерности d = 6 следующую диаграмму:q c9 δ2q2q22q22q2=qq2 HH6 qπ H 1 + c9HδqHHq 2= π 12 − 31 + ζ3 − π 12 c9 δ + O(δ 2 ).Осталось найти зависимость от коэффициента c10 . Рассмотрим в размерности d = 6 граф:q@2 @c10@δq2q2q22@@q22q=π3q 2 qAc10 δ A2 A A2qAqAq22Рассмотрим сначала граф с уникальным треугольником:80q 2 qAc10 δ A 22 A 1 −Ac δ10qAqAq2=21 + c10 δ q 2 − c10 δHHHq3q π H =H2 Hq 2π 9 − 13 + ζ3 −2π 9 c103 δ+ O(δ 2 ).Из линейного вклада этого графа нужно вычесть линейный вклад следующего графа:2qq2qA 21 −Ac10 δqAq2= π 9 − 31 + ζ3 + O(δ 2 ).2Получаем результат: 2 + c2 εq c9 εq 2 + c7 ε@2 + c6 ε@2 + c1 ε c @c8 ε10 εq 2 + c ε@@q 2 + c εq− c31 −+5c234+c33+2c432 + c3 ε=π12− 31+ ζ3 + π2c10312h209−4τ3−π460+ 4τ −203ζ3 −qc53− c9 −ε + O(ε2 ).После всех вычислений получаем следующее выражение для γ32a |ω=0 :γ32a |ω=0 = γ32b |ω=0 = γ32c |ω=0 =128(3ζ3 − 1)π 54−3(2 + 3η1 )7 ε716π 54−[(2 + 3η1 )(6π 4 − 2160τ (3ζ3 − 1) − 5(122 − 51η1 )+45(2 + 3η1 )8 ε6 1+ 15(706 − 63η1 )ζ3 ) + 2520(3ζ3 − 1)η2 ] + O 5 .εТеперь надо найти (∂γ32a /∂ω)|ω=0 , (∂γ32b /∂ω)|ω=0 и (∂γ32c /∂ω)|ω=0 .000Для этого потребуется вычислить γ32a, γ32bи γ32cв главном порядке по ε00до линейного по ω вклада.
Графы γ32aи γ32bполучаются одинаковые. Как0и при расчёте γ31, можно все сингулярные треугольники стянуть в точки,а от них взять только сингулярные части. При этом выносится множитель6π d H(a, a, α)H(α, a + α0 , a0 ) . А оставшийся граф будет следующий:81ωq2q2q22q22q2= π 12 − 13 + ζ3 − π 12 ω + O(ω 2 )q(он уже был вычислен).Получаем:00γ32a= γ32b64π 48=(2 + 3η1 )611− + ζ3 − ω + O(ω 2 ) 6 + ...3εи∂γ32b 512π 54 (3ζ3 − 1)∂γ32a ==−+∂ω ω=0∂ω ω=03(2 + 3η1 )8 ε8128π 54[(2 + 3η1 )(3π 4 − 1080τ (3ζ3 − 1) + 5(96η1 − 326)+9745(2 + 3η1 ) ε 1+ 15(356 − 27η1 )ζ3 ) + 1440(3ζ3 − 1)η2 ] + O 6εДля графа γ32c получается следующее выражение:0=γ32c62π(2+3η1 )ε6ωqq@@2@q@q@2 @22@q 2@q2+O1ε52Полученный граф нужно разложить до линейного по ω члена.q ωq2 @@2q@@q@22 @22@q@q2=q@2@ ω3q 2 q@qπ QQ A2Q A2QQAqСначала рассмотрим граф с уникальным треугольником:q@2 ω @q2 − ω q@qQQ A2Q A2QQAq= H(ω, 2 − ω)q 1+ω qA 23−ω A A AqAqAq2Образовалась диаграмма типа G4 , которая считается явно.
От неё нужно82отобрать полюсной и конечный вклады по ω. Получаем:q@2 ω @@qq2 − ω qQAQ 2Q A2QQAq= H(ω, 2 − ω)π9−1+3ζ36ω+−7+3ζ312+ O(ω) == π 9 − 13 + ζ3 − π 9 ω + O(ω 2 ).Теперь рассмотрим такую диаграмму:q@@2q2 − ω q@qQAQ 2Q A2QQAq3= π H(2 + ω, 2 − ω)= π 9 − 13 + ζ3 −π93ωq 2HHHqqHHq 22 − ωH=+ O(ω 2 ).А для искомой диаграммы получаем:ωqq@@2@q@q2 @2@22@q@q2= π 12 − 31 + ζ3 −2π 123 ω+ O(ω 2 ).2В итоге:0γ32c64π 48=(2 + 3η1 )62ω11+ O(ω 2 ) 6 + ...− + ζ3 −33εи∂γ32c 512π 54 (3ζ3 − 1)=−+∂ω ω=03(2 + 3η1 )8 ε8128π 54+[(2 + 3η1 )(3π 4 − 1080τ (3ζ3 − 1) + 25(21η1 − 64)+9745(2 + 3η1 ) ε 1+ 15(356 − 27η1 )ζ3 ) + 1440(3ζ3 − 1)η2 ] + O 6 .εПерейдём к диаграммам 4-го порядка γ4i , i = 1, ..., 9.
От них потребуется только главный член разложения по ε. После выделения функции830Ψ оставшиеся диаграммы γ4iдостаточно сосчитать при ω = 0 в главномпорядке по ε. Сингулярности возникают от треугольников с индексами aна сторонах, то есть, от вершинных функций. Как уже говорилось ранее,сингулярная часть такой функции равна:0d0Sing π H(a, a, α)H(α, a + α , a ) =2π 6(2 + 3η1 )ε0В диаграммах γ4iсодержится 8 таких сингулярных функций, и после вы82π 6несения множителя (2+3η1 )ε и стягивания этих треугольников в точкиоставшиеся графы уже не имеют никаких особенностей, и их можно вычислять непосредственно при ε = 0 (d = 6). Обозначим эти графы через00, i = 1, ..., 9:γ4i82π 6(2 + 3η1 )ε=qHπ 12 H=q@2 2 @6q 2 q 2 q@qπ QQ A2Q AQQAq=q 2 qqA9 Aπ 2A A 2Aq 2 Aq= π 18 − 73 ζ3 +103 ζ50γ4i=00γ4i00.Приступим к вычислению γ4iq 2 qA@2q 2A 2 @qHH2 002AHγ41 = A H Hq A Hq@2@q 2 Aq 22200γ42q@22 @q2qH 2H= 2 H HHqHq@2@q2q22=q 2π3 q@2q22q2@q2=q@2q22 @q@q22@q 2 q 2=q2 q 22 @ 222 q SqS@q@Sq22@q 2 Sq 22q@22 @q2=qq 2 q2q @2@2 @@q200@γ43=@2 @@@qq@@2@q 2@@q 2q2=q2qq222q@2 2@q2q@22 @qq2q2=2qHHHq22qHq 2 qqA9Aπ 2A A 2Aq 2 Aq= π 18 − 13 + ζ3q@ 2 @qq 2 @qπ9 QQ AQ AQQAq= π 18 − 73 ζ3 +103 ζ5=84q 2 q 2 qHH 2 2 H 2H00γ44 = q2 q H2 Hq2q2q@2@q=22q2qq 2=2q22q2@@qq 2 q222 @q @@q@00γ46=@2 @ @ 2q@ @@qq22 q 2q@q 22q22 @q@22@q 2 q2=q@@2@q@q 2218= 103 π [ζ3 − ζ5 ]q 2 q 2 q@@22@@200q 2 @ q 2 @q=γ472qH 22H00γ48=qqHHHq 2 Hq22=q=@22qA2q2 A2@2@q 2 Aqq 2 qS2 @ 2q22qSq @q@S2@q2 2 Sq 2=qqQA Q2A QAq QQqπ9 q@2@@q=2qq2 2 qq2HH002Hγ49 = 2 H 2HHqHqHHH22 HqHq2=π9q 2 qAA2 A 2 AqAqAq103 ζ51= π 183+103 ζ3−103 ζ52=q@2 @92qq@qπ QQ A2Q AQQAqQQq@@2=2@q@q 2 q2 S2 @ 22qSq q@q@2S2@q 2 2 Sq 2=@2@==2@q10 183 π [ζ3− ζ5 ]2qQA QA2 QAq 2 QQqπ6 q@q2 2@2@q= π9 qq@ 22 @@qq= π9 qq@ 22 @q@q= π9 qqQQ 22QQqQqπ 3 q@A2q2 A22@2@q 2 Aq== π 18 − 37 ζ3 +222qq2@ 2q @q=qq 2 qA9Aπ 2A A 2AqAqqq22q22 QQ 2q22Q222q2qQQq@2 22 2@q 2 q2qQ 2Qq@A2 A2@2@q 2 q 2Aqq222q=2q00γ45qQ2=qQA Q2A QAq QQqπ9 q@2@2@qq@ 22 @q@q2@@q=10 183 π [ζ3=− ζ5 ]2q 2 q2 S2 @ 2Sq @qπ3 q@2S@q 2 2 Sq 22= π9 qq@q@@@q@@q200000000Обозначим последний граф γ49, то есть, γ49= π 9 γ49.
Применим к этомуграфу формулу интегрирования по частям для центральной вершиныинтегрирования. Для четверной вершины формула интегрирования почастям выглядит следующим образом:85qq z2qz1q z3q1d−2z1 −z2 −z3 −z4=z4qq+z3q + q−qq@− q +@qqq−qz2−q + qq−−q +q q+ z4q+qq+q q−qqq−qq+q−qqЗнак «плюс» означает увеличение индекса на единицу, знак «минус»000— уменьшение на единицу. Для γ49эту формулу можно применитьнепосредственно в размерности d = 6 (никаких особенностей при этом невозникает).
В данном случае z1 = z2 = z3 = z4 = 1, и d−2z1 −z2 −z3 −z4 = 1.2q@q@@q@q@@q2+q 2@@=2q@@@qqq@ 2@@qq@@q@q22q 2 q@@@q−2@qq@@@qq2−q@q@ 2@@qq@2@@q+2q@qq2@2 @q−2@@qq@qq2+2@@q2Вторая диаграмма в правой части равенства в точности совпадает сдиаграммой в левой части, перенесем ее в левую часть. Остальные вседиаграммы перерисуем в более удобном виде:q@20002γ49=2@q@q 2 @q@2q@+q@@q 2 @q@@q@q−2q@ 2 @2 qq@qQQ AQ A2QQAq2+Вычислим каждую из диаграмм в правой части:2q@q@@q 2 @q@2@qq@2@qq 2 @q@@2@qq@@q@q2=q@@2@q2=2=1 qπ6 @q@@1 qq 2 @q3π @2 q 2@22@q=q@2 q2 @2q@q@2@q 2@2@q 2q@2@qq 2 @q@2@2@q=q@@q@@q 2 @qq@ 2@@qq@ 22 @q@q2@q2−q@q@@q2@@q=10 93 π [ζ32= π 9 − 73 ζ3 +q@103 ζ5− ζ5 ]286qqq@@@ 2222 @2 @ @@q = 13 q 2 q 2 q@q = q@q = 10 π 9 [ζ3 − ζ5 ]q 2 qqQπ @3@AQ222@2@2Q AQ@q@qQAqqqqqQQ@@@22222qQ2@@2 @211QQqqq 2 @q = qqqq@q = 9 q@q = 3 qππ2@A@@@@2 q222 A2@22@ 2@@ @q2@q 2@qAq@q@qqq 2 qAA= 2A A 2 = π 9 − 73 ζ3 + 10ζ53AqAq2qqq@ 2@@2 q222 @@@ 22@q = 10 π 9 [ζ3 − ζ5 ]qqqq@q = 13 q@q = qπ3@@ 2@@ 2 2@@ 222@q@q@q=Получаем:0002γ4910107= 2π 9 − ζ3 + ζ5 − π 9 [ζ3 − ζ5 ],333откуда000γ49= π 9 [−4ζ3 + 5ζ5 ]и00γ49= π 18 [−4ζ3 + 5ζ5 ] .Подробнее техника расчёта данных диаграмм изложена в приложении В.2.Введём обозначение: γ4s — сумма всех диаграмм 4-го порядка с соответствующими симметрийными коэффициентами:13γ4s ≡ 3γ41 + 3γ42 + 6γ43 + 6γ44 + 3γ45 + γ46 + 3γ47 + 3γ48 + γ49 .22Тогда00γ4s≡3 001 00000000000000003γ41+3γ42+6γ43+6γ44+3γ45+ γ46+3γ47+3γ48+ γ4922=πПосле всех вычислений получаем:γ4s |ω=0256π 72 (2ζ3 + 35ζ5 )=+O(2 + 3η1 )9 ε91ε8,1835ζ3 + ζ5 .287 1024π 72 (2ζ3 + 35ζ5 )∂γ4s 1=+O.∂ω ω=0(2 + 3η1 )10 ε10ε93.2.РезультатПосле подстановки найденных выражений в систему уравнений (2.1)мы приходим к результату:17216750 128ζ32; η3 =−;η1 = ; η2 = −9729590492433883409 11456ζ3 32π 4 1280ζ5η4 = −−+−.47829691968336452187Таким образом, критический индекс η в 4-петлевом приближении [47]:2172 216750 128ζ3 3η = ε−ε +−ε+9729590492433883409 11456ζ3 32π 4 1280ζ5 4−+−ε + O(ε5 ), d = 6 + 2ε.+ −47829691968336452187Сравним наш результат с уже известными численным [55]:η = −0.1111 − 0.05882 + 0.04363 − 0.0814 + O(5 ), d = 6 − .Если мы выберем d = 6 − , то наш результат будет:143 28375 16ζ3 3η =− − + − 2 10 + 5 +97292333883409 716ζ3 4ζ4 80ζ5 4+ − 4 14 − 9 + 4 − 7 + O(5 ),23333то есть, η4 = − 388340924 314 −716ζ339+4ζ434−80ζ537= −0.07895...
Числа −0.081 и−0.07895 очень близки, следовательно, в пределах погрешности результатысовпадают.Кроме критического индекса η, в рамках используемого подхода, на-88ходится также ренорм-инвариантная комбинация амплитуд u:64 3 64(217 − 162τ ) 4ε +ε+27π 18729π 1832(4814 + 36τ (−217 + 81τ ) + 81π 2 − 720ζ3 ) 5+ε+2187π 1832+[69182381 + 4271211π 2 − 42655248ζ3 − 12597120ζ5 −1814348907πu=− 39366(−3906τ 2 + 972τ 3 − 2π 4 + τ (4814 + 81π 2 − 720ζ3 ))]ε6 + O(ε7 ).Выражение для u связано с координатой нуля β-функции следующим образом:√4428160ζ430883ε2 +−ε3 +g∗ ≡ π d (H(a, a, α))2 3 u = ε −3243196838141280ζ5 45994238 11288ζ3 8π++−ε + O(ε5 ).+ −15943236561243243Это точка, где бета-функция обращается в нуль (β(g∗ ) = 0) в специальнойсхеме ренормировок. Первый член инвариантен: g∗ = 43 ε + ...
верно в любойсхеме. А последующие члены уже зависят от схемы.89Основные результаты и выводыВ диссертации метод уравнения ренормгруппы применялся для исследования критического поведения трёх квантовополевых моделей безмассового скалярного поля: теория φ3 , O(N )-симметричная теория φ4 и теорияφ6 , в логарифмической размерности. Получены логарифмические поправки к уже известному главному приближению асимптотик пропагаторов набольших и малых расстояниях. Показано, что в они выражаются через логарифм и логарифм логарифма импульса. Имеются универсальные члены,коэффициенты которых не зависят от константы связи, и неуниверсальные.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
