Диссертация (1150628), страница 12
Текст из файла (страница 12)
Таким образом, мыполучаем:"Φ(s1 , g) = e2ρ(g) e−2σ(g)∞X#1|b2 g(s1 )|2c1 /b2 1 +χn g(s1 )n .2s1n=199Подставляя сюда (1.20), мы получаем∞Φ(s1 , g) = enXX1(ln | ln s1 |)n−m2c1 /b2f|lns|W,1nmns21(lns)1n=0 m=02ρ(g) −2σ(g)e∞nn−mXX1fnm (ln | ln s1 |)Ψ(s1 ) = 2 | ln s1 |2c1 /b2W.ns1(lns)1n=0 m=0Если мы сделаем преобразование s1 = eA s2 , то в терминах s2 мы получим:∞nXX1(ln | ln s2 |)n−m2c1 /b2eΨ(s2 (s1 )), Ψ(s2 ) = 2 | ln s2 |Wnm.ns2(lns)2n=0 m=0−2A eΨ(s1 ) = eДокажем, что коэффициенты Wn0 универсальны (не зависят от A). Преобразование s1 = eA s2 аналогично преобразованию, связывающему s1 и s:s1 = eρ(g) s.∞nXXe−2ρ(g)(ln | ln s|)n−m2c1 /b2c| ln s|Wnm.Ψ(s1 (s)) =ns2(lns)n=0 m=0Запишем функцию χ в терминах v, где v = − ln1s :"#∞Xχe(v) ≡ χ(g(v)) = |b2 g(v)|2c1 /b2 1 +χn g(v)n .(A.2)n=1По формуле (1.19):∞nv XXg(v) =Qnm v n lnn−m |v|,b2 n=0 m=0откуда получаем2c1 /b2χe(v) = |v|∞ XnXVnm v n lnn−m |v|.n=0 m=0cnm и Vnm связаны: Wcnm = (−1)m Vnm .
Чтобы найти коэфКоэффициенты Wфициенты Vn0 , достаточно в формуле (A.2) в квадратных скобках оставитьтолько единицу, так как в членах g(v), g(v)2 , ... степень v будет как минимум на единицу больше степени ln |v|, и они не дадут вклад в Vn0 .χe(v) ≈ |b2 g(v)|2c1 /b2100Для нахождения Vn0 достаточно оставить g(v) в универсальном приближении по той же причине:2c1 /b2 2c1 /b2∞ v X1n n= vχe(v) ≈ b2Qn0 v ln |v|=b3 1 − b2 v ln |v| b2n=02−2c1 /b2b3= |v|2c1 /b2 1 − 2 v ln |v|b2Обозначим ν ≡2c1b2(показатель степени), x ≡b3v ln |v|b22(малая величина).ν(ν + 1) 2 ν(ν + 1)(ν + 2) 3x +x + ...
=26∞∞∞XXν(ν + 1)...(ν + n − 1) nΓ(ν + n) n X Γ(ν + n) n=1+x =1+x =x .n!Γ(ν)n!Γ(ν)n!n=1n=1n=0(1 − x)−ν = 1 + νx +Таким образом, в универсальном приближенииn∞XΓ( 2cb21 + n) b32c1 /b2,χe(v) ≈ |v|2c12 v ln |v|bΓ()n!2bn=02коэффициенты Vn0 соответственно равны: Vn0 =2c1b2 +n)2cΓ( b 1 )n!2Γ( nb3b22, они явля-ются универсальными и выражаются только через b2 , b3 и c1 .Докажем общее утверждение: Wnm , как и Vnm , — полиномы степени mпо A и зависят от b2 , ..., bm+2 , c1 , ..., cm+1 , a1 , ..., am . Чтобы найти Vn1 , нужнов формуле (A.2) в квадратных скобках оставить единицу и линейный поg член, а в формуле (1.19) оставить члены с коэффициентами Qn0 и Qn1 .А для нахождения Vnm потребуется формулы (A.2) и (1.19) в следующихприближениях:"2c1 /b2χe(v) = |b2 g(v)|mX#nmv XX1+χj g(v) + ...
, g(v) =Qkl v k lnk−l |v|.b2j=1jk=0 l=0Коэффициент χj выражается через b2 , b3 , ..., bj+2 , c1 , c2 , ..., cj+1 , a1 , a2 , ..., aj .А коэффициент Qkl выражается через b2 , b3 , ..., bl+2 . Отсюда следует,что Vnm , как и Wnm , выражается через b2 , ..., bm+2 , c1 , ..., cm+1 , a1 , ..., am .101Чтобы доказать, что они являются полиномом степени m по ρ(g), напишемуравнение (A.2) в виде:|v|2c1 /b2∞ XnX"Vnm v n lnn−m |v| = |b2 g(v)|2c1 /b2 1 +∞Xn=0 m=02c1 /b2|v|∞ XnX#χn g(v)n ,n=1Vnm v n lnn−m |v| =n=0 m=0|v|2c1 /b2∞ XnX!2c1 /b2 "Qnm v n lnn−m |v|1+n=0 m=0∞X#χn g(v)n .n=1Так как Q00 = 1, уравнение переписывается в виде:∞ XnXVnm v n lnn−m |v| =n=0 m=0= 1+∞ XkX! 2cb 1 "2Qkl v k lnk−l |v|1+k=1 l=0∞Xχnbnn=1 2v n 1+∞ XkX!n #Qkl v k lnk−l |v|k=1 l=0Коэффициент при v n lnn−m |v| будет иметь вид:PVnm = Ck1 k2 ...ks l1 l2 ...lp Qk1 l1 Qk2 l2 ...Qks lp , где k1 + k2 + ...
+ ks ≤ n,l1 + l2 + ... + lp ≤ m. Так как Qkl является полиномом степени l по ρ(g),то Vnm будет полиномом степени не выше m по ρ(g). Но так как коэффициент Qnm , который является полиномом степени m по ρ(g), учитываетсядля вычисления Vnm , то и Vnm будет также полиномом степени m по ρ(g),следовательно, Wnm будет также полиномом степени m по A. Что и требовалось доказать.В случае c1 = 0 выражение (A.2) упрощается:χe(v) = 1 +∞Xχn g(v)n ,n=1в этом случае V00 = 1, а коэффициенты, которые были универсальными,зануляются: Vn0 = 0, n ≥ 1, зато коэффициенты Vn1 становятся универ-.102сальными, Vn2 становятся линейными функциями A, Vn3 — квадратичными, а Vnm — полиномами степени m−1.
Для нахождения универсальныхчленов достаточно написать:χe(v) = 1 + χ1 g(v) + ...,потому что в остальных слагаемых степень v будет как минимум на 2 больше степени ln |v|. По формуле (1.19):∞nv XXQnm v n lnn−m |v|,g(v) =b2 n=0 m=0где Qn0 — универсальные коэффициенты, следовательно,Vn1 =Имеем: χ1 = a1 +Vn1 =(2c2 +a1 b2 )bn−13.b2n22(b2 c2 −b3 c1 )b22χ1 Qn−1,0.b2= a1 +2b2 c2b22=2c2 +a1 b2,b2Qn−1,0 = n−1b3b22, иВ универсальном приближении можно написать:χe(v) = 1 +2c2 + a1 b2v+ ...2bb21 − b32 v ln |v|2Выражение для пропагатора до n = 5.D(p, g) =1 2ρ(g)−2σ(g)−2A eρ(g)−A |p|eΨ(s),s=e.22µ2µЕсли мы знаем следующее приближение для функций β(g), γ(g) и Ξ(1, g):β(g) = b2 g 2 + b3 g 3 + b4 g 4 + b5 g 5 + b6 g 6 + b7 g 7 + O(g 8 ),γ(g) = c1 g + c2 g 2 + c3 g 3 + c4 g 4 + c5 g 5 + c6 g 6 + O(g 7 ),Ξ(1, g) = a1 g + a2 g 2 + a3 g 3 + a4 g 4 + a5 g 5 + O(g 6 ),103то мы можем написать следующее приближение для ρ(g) и σ(g) :1b3b23 − b2 b4−b33 + 2b2 b3 b4 − b22 b5 2ρ(g) = −− ln |b2 g| +g+g +b2 g b22b322b42b43 − 3b2 b23 b4 + b22 b24 + 2b22 b3 b5 − b32 b6 3+g +3b52−b5 + 4b2 b33 b4 − 3b22 b3 b24 − 3b22 b23 b5 + 2b32 b4 b5 + 2b32 b3 b6 − b42 b7 4g + O(g 5 ),+ 364b2c1b23 c1 − b2 b4 c1 − b2 b3 c2 + b22 c3 2b2 c2 − b3 c1g+g +ln |b2 g| +b2b222b32−b33 c1 + b2 b23 c2 + b2 b3 (2b4 c1 − b2 c3 ) + b22 (−b5 c1 − b4 c2 + b2 c4 ) 3g ++3b421+ 5 {b43 c1 − b2 b33 c2 + b2 b23 (−3b4 c1 + b2 c3 ) + b22 b3 (2b5 c1 + 2b4 c2 − b2 c4 )+4b2σ(g) =+ b22 (b24 c1 − b2 b4 c3 + b2 (−b6 c1 − b5 c2 + b2 c5 ))}g 4 ++1{−b53 c1 + b2 b43 c2 + b2 b33 (4b4 c1 − b2 c3 ) + b22 b23 (−3b5 c1 − 3b4 c2 + b2 c4 )+65b2+ b22 b3 (−3b24 c1 + 2b2 b4 c3 + b2 (2b6 c1 + 2b5 c2 − b2 c5 ))++ b32 (b24 c2 + b4 (2b5 c1 − b2 c4 ) + b2 (−b7 c1 − b6 c2 − b5 c3 + b2 c6 ))}g 5 + O(g 6 ),e 2 ) в формулеи найти 5 поправок с главному приближению функции Ψ(s(1.26):5nXX(ln | ln s2 |)n−me 2 ) = 1 | ln s2 |−2c1 /b2Ψ(sW+ ...nmms22(lns)2n=0 m=0(A1)Выражение для коэффициентов W5m в общем случае очень громоздкое,поэтому мы ограничимся 4-ым порядком.
Если c1 6= 0, то мы выбираемA=2b3 c1 −b2 (2c2 +b2 a1 )2b22 c1W00 = 1, W10 =W22 = −и получаем следующий результат для Wnm до n = 4:2b3 c1b23 c1 (b2 + 2c1 )2b23 c1,W=0,W=,W=−,112021b32b62b52a21 b22 (b2 − 2c1 ) + 4a1 b22 c2 − 4(a2 b22 c1 + b4 c21 − c2 (b3 c1 + b2 c2 ) + b2 c1 c3 ),4b42 c1104W302b33 c1 (b22 + 3b2 c1 + 2c21 )b33 c1 (3b2 + 4c1 )=, W31 = −,3b92b82b3[−a21 b22 (b2 − 2c1 )(b2 + c1 ) − 4a1 b22 (b2 + c1 )c2 +72b2 c1W32 =+ 4(b23 c21 + a2 b22 c1 (b2 + c1 ) − b3 c1 (b2 + c1 )c2 + (b2 + c1 )(b4 c21 − b2 c22 + b2 c1 c3 ))],W33 =1[3a21 b22 (b3 (3b2 − 4c1 )c1 + 4b2 (−b2 + c1 )c2 )−6212b2 c1− 2a31 b32 (b2 −2c1 )(b2 −c1 ) + 12a1 b22 (a2 b2 (b2 −c1 )c1 + 2b3 c1 c2 − 2b2 c22 + b2 c1 c3 )−− 4(3a3 b32 c21 + 4b3 b4 c31 + b2 b5 c31 − 4b23 c21 c2 )−− 4(−2b2 b4 c21 c2 − 3b2 b3 c1 c22 + 4b22 c32 + 6a2 b22 c1 (b3 c1 − b2 c2 )++ 4b2 b3 c21 c3 − 6b22 c1 c2 c3 + 2b22 c21 c4 )],W40 =b43 c1 (3b32 + 11b22 c1 + 12b2 c21 + 4c31 )b43 c1 (11b22 + 24b2 c1 + 12c21 ),W=−,41116b123b22W42b23 (b2 + c1 ) 2 2=[a1 b2 (−3b22 + 4b2 c1 + 4c21 ) − 4a1 b22 (3b2 + 2c1 )c2 +104b2 c1+ 4(6b23 c21 + a2 b22 c1 (3b2 + 2c1 ) − b3 c1 (3b2 + 2c1 )c2 ++ (3b2 + 2c1 )(b4 c21 − b2 c22 + b2 c1 c3 ))],W43 = −b3[3a21 b22 (12b3 c31 + 8b2 c21 (b3 − c2 ) + 12b32 c2 − b22 c1 (11b3 + 4c2 ))+9212b2 c1+ 2a31 (3b62 − 7b52 c1 + 4b32 c31 ) − 12a1 b22 (a2 b2 c1 (3b22 − b2 c1 − 2c21 ) + 6b3 c21 c2 ++ 2b2 c1 (4b3 c2 − 2c22 + c1 c3 ) + b22 (−6c22 + 3c1 c3 )) + 4(6b33 c31 + 18b2 b3 b4 c31 ++ 3b22 b5 c31 + 14b3 b4 c41 + 2b2 b5 c41 + 3a3 b32 c21 (3b2 + 2c1 ) − 18b2 b23 c21 c2 )++ 4(−6b22 b4 c21 c2 − 14b23 c31 c2 − 4b2 b4 c31 c2 − 15b22 b3 c1 c22 − 12b2 b3 c21 c22 + 12b32 c32 ++ 8b22 c1 c32 ) + 4(−6a2 b22 c1 (−3b3 c21 + 3b22 c2 + 2b2 c1 (−2b3 + c2 )) + 18b22 b3 c21 c3 ++ 14b2 b3 c31 c3 − 18b32 c1 c2 c3 ) + 4(−12b22 c21 c2 c3 + 6b32 c21 c4 + 4b22 c31 c4 )],105W44 =1[a41 (−9b72 + 39b62 c1 − 60b52 c21 + 36b42 c31 ) − 8a31 b32 (−12b3 c31 + 9b32 c2 +8396b2 c1+ 6b2 c21 (4b3 + 3c2 ) − b22 c1 (11b3 + 21c2 )) + 24a21 b22 {a2 b22 c1 (3b22 − 7b2 c1 + 6c21 )++ 2c31 (3b23 + b4 c1 − b3 c2 ) + b22 c1 (−3b4 c1 + 19b3 c2 + 9c22 − c1 c3 )++ b2 c21 (−6b23 + 3b4 c1 − 15b3 c2 − 2c22 + 2c1 c3 ) + b32 (−9c22 + 3c1 c3 )}−− 48a1 b22 {a3 b22 (3b2 − 2c1 )c21 + 2(3b23 c21 c2 + 2b2 b4 c21 c2 + b4 c31 c2 + 3b22 c32 − b2 c1 c32 ++ a2 b2 c1 (−3b3 c21 − 3b22 c2 + 4b2 c1 (b3 + c2 ))) + 2(−3b22 c1 c2 c3 + b2 c21 c2 c3 ++ b3 c1 (−8b2 c22 − c1 c22 + 3b2 c1 c3 ) + b22 c21 c4 )} + 16{6a22 b42 c31 + 6a4 b42 c31 ++ 18a3 b32 b3 c31 + 9b23 b4 c41 + 5b2 b24 c41 + 4b2 b3 b5 c41 + b22 b6 c41 + 3b24 c51 − 18a3 b42 c21 c2 −− 9b33 c31 c2 − 18b2 b3 b4 c31 c2 − 3b22 b5 c31 c2 − 6b3 b4 c41 c2 − 6b22 b4 c21 c22 + 3b23 c31 c22 −− 6b2 b4 c31 c22 + 26b22 b3 c1 c32 + 6b2 b3 c21 c32 − 9b32 c42 + 3b22 c1 c42 + 9b2 b23 c31 c3 + 9b22 b4 c31 c3 ++ 6b2 b4 c41 c3 − 36b22 b3 c21 c2 c3 − 6b2 b3 c31 c2 c3 + 18b32 c1 c22 c3 − 6b22 c21 c22 c3 + 3b22 c31 c23 ++ 9b22 b3 c31 c4 − 12b32 c21 c2 c4 + 6a2 b22 c1 (3b23 c21 + b4 c31 − b3 c1 (8b2 + c1 )c2 + 3b22 c22 ++ b2 c1 (2b4 c1 − c22 + c1 c3 )) + 3b32 c31 c5 }].В частном случае, когда a1 = c1 = 0, мы напишем Wnm вплоть до 5-го22c2 +2c2 +b2 c3.порядка.
В этом случае мы выбираем A = − a2 b2 −b32b2c22Имеем W00 = 1, и Wn0 = 0, n ≥ 1. Выражения для других коэффициентовследующие:W112b3 c22b23 c22b23 c22c2= − 2 , W21 = − 4 , W22 = 0, W31 = − 6 , W32 = 6 ,b2b2b2b2W33 =1[3a22 b42 − 6a3 b32 c2 + 5b23 c22 − 8b2 b4 c22 + 12b3 c32 + 4c42 + 6a2 b32 c3 +66b2 c2+ 4b2 b3 c2 c3 + 3b22 c23 − 4b22 c2 c4 ],W41 = −2b33 c25b33 c2,W=,42b82b82106W43 =b3[3a22 b42 − 6a3 b32 c2 + b23 c22 − 8b2 b4 c22 + 12b3 c32 + 4c42 + 6a2 b32 c3 +82b2 c2+ 4b2 b3 c2 c3 + 3b22 c23 − 4b22 c2 c4 ],W44 =1[6a32 b62 + 12a4 b42 c22 + 18a3 b32 b3 c22 − 12a3 b32 c32 − 9b33 c32 + 12b2 b3 b4 c32 +8212b2 c2+ 6b22 b5 c32 − 14b23 c42 − 16b2 b4 c42 + 12b3 c52 + 8c62 − 18a3 b42 c2 c3 − 6b2 b23 c22 c3 −− 6b22 b4 c22 c3 + 8b2 b3 c32 c3 − 3b22 b3 c2 c23 + 6b22 c22 c23 + 6b32 c33 ++ 3a22 b42 (−5b3 c2 + 4c22 + 6b2 c3 ) + 6b22 b3 c22 c4 − 8b22 c32 c4 − 12b32 c2 c3 c4 −− 6a2 b32 (3a3 b22 c2 + 3b3 c2 c3 − 2c22 c3 − 3b2 c23 + 2b2 c2 c4 ) + 6b32 c22 c5 ],W51W532b43 c226b43 c2= − 10 , W52 =,b23b102b23= 10 [3a22 b42 − 6a3 b32 c2 − 4b23 c22 − 8b2 b4 c22 + 12b3 c32 + 4c42 + 6a2 b32 c3 +b2 c2+ 4b2 b3 c2 c3 + 3b22 c23 − 4b22 c2 c4 ],W54 =b3[12a32 b62 + 24a4 b42 c22 + 54a3 b32 b3 c22 − 24a3 b32 c32 − 21b33 c32 +1026b2 c2+ 48b2 b3 b4 c32 + 12b22 b5 c32 − 64b23 c42 − 32b2 b4 c42 + 12b3 c52 + 16c62 − 36a3 b42 c2 c3 −− 24b2 b23 c22 c3 − 12b22 b4 c22 c3 + 16b2 b3 c32 c3 − 15b22 b3 c2 c23 + 12b22 c22 c23 + 12b32 c33 ++ 3a22 b42 (−13b3 c2 + 8c22 + 12b2 c3 ) + 24b22 b3 c22 c4 − 16b22 c32 c4 − 24b32 c2 c3 c4 −− 6a2 b32 (6a3 b22 c2 + 9b3 c2 c3 − 4c22 c3 − 6b2 c23 + 4b2 c2 c4 ) + 12b32 c22 c5 ],107W55 =1[45a42 b82 − 120a5 b52 c32 − 240a4 b42 b3 c32 − 360a3 b42 b4 c32 + 240a4 b42 c42 +103120b2 c2+ 720a3 b32 b3 c42 + 7b43 c42 + 144b2 b23 b4 c42 − 208b22 b24 c42 − 56b22 b3 b5 c42 − 32b32 b6 c42 −− 240b33 c52 + 720b2 b3 b4 c52 + 120b22 b5 c52 − 600b23 c62 − 160b3 c72 + 48c82 + 240a4 b52 c22 c3 ++ 540a3 b42 b3 c22 c3 − 360a3 b42 c32 c3 − 72b2 b33 c32 c3 + 264b22 b3 b4 c32 c3 + 48b32 b5 c32 c3 −− 360b2 b23 c42 c3 − 120b22 b4 c42 c3 − 180a3 b52 c2 c23 − 120b22 b23 c22 c23 + 120b32 b4 c22 c23 −− 240b22 b3 c32 c23 − 140b32 b3 c2 c33 + 120b32 c22 c33 + 45b42 c43 + 72b22 b23 c32 c4 − 192b32 b4 c32 c4 ++ 20a32 b62 (−13b3 c2 + 12c22 + 9b2 c3 ) + 360b22 b3 c42 c4 + 240b32 b3 c22 c3 c4 −− 240b32 c32 c3 c4 − 120b42 c2 c23 c4 − 72b32 b3 c32 c5 + 120b32 c42 c5 − 48b42 c32 c6 −− 30a22 b42 (6a3 b32 c2 − 4b23 c22 − 8b2 b4 c22 + 20b3 c32 − 4c42 + 22b2 b3 c2 c3 − 16b2 c22 c3 −− 9b22 c23 + 4b22 c2 c4 ) + 120b42 c22 c3 c5 + 60a2 b32 (4a4 b32 c22 + 6b2 b4 c22 c3 − 12b3 c32 c3 −− 9b2 b3 c2 c23 + 6b2 c22 c23 + 3b22 c33 + a3 b22 c2 (9b3 c2 − 8c22 − 6b2 c3 ) + 4b2 b3 c22 c4 −+ 4b2 c32 c4 − 4b22 c2 c3 c4 + 2b22 c22 c5 )].A.2.Рекуррентные соотношения для диаграмм γ1 и γ2 .Для вычисления безмассовых диаграмм типа «петля с перекладиной»используются формулы интегрирования по частям [2]:α1α2++ 1@@ + α2Hα5HHH = d−α1 −α2 −2α5 α1 @ − − @−α4α3α1Hα2− ++1α5HHH = d−2α1 −α2 −α5 α2 @@ − @@ + α5α4α3+@− −@+ @@−−@+ −@@+@−(P1)(P2)Формулы написаны в координатном представлении.
Знак «плюс» означаетувеличение индекса на единицу, знак «минус» — уменьшение на единицу.Используя (P1) можно легко вычислить диаграмму, в которой все индексыравны единице (такая диаграмма встречалась в теории φ3 ):108q1λ41qHHHq = (4π)2ω ω−2 [H(1, 2, d − 3)H(1, 1, d − 2) − H(1, 1, d − 2)H(2, 3 − ω, 3ω − 5)] p2(5−2ω) .HqПолучение рекуррентных соотношений для графом γ1 и γ2 .qH qγ1 (d, α) = qH α HHq,αqHHqγ2 (d, α) = qHHq α.Чтобы получить рекуррентное соотношение для γ1 (d, α), мы применилиформулу (P1) для γ1 (d, α) и (P2) для γ1 (d, α − 1).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
