Диссертация (1150628), страница 11

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 11)

Согласно полученным результатам, в четырехмерном пространствеO(N )-симметричная теория φ4 при конечном N не является гауссовой, иее пропагатор только в главном приближении — чистая степень, к которой имеются логарифмические поправки. В пределе N → ∞ все поправки исчезают и теория становится гауссовой. Мы определили общий видасимптотического разложения для пропагатора и вычислили поправки кизвестным приближениям.При использовании теории возмущения метод ренормгруппы позволяет исследовать только одну из двух асимптотических областей: ультрафиолетовую или инфракрасную. Для модели φ3 с мнимой константой связиλ, φ4 и φ6 полученные результаты справедливы для ИК-асимптотики, а дляφ3 с вещественным λ они относятся к ультрафиолетовой области.Для теории Янга-Миллса логарифмическая размерность равна d∗ =904, и уравнение ренормгруппы описывает ультрафиолетовое поведение.Применение использованных в данной работе методов в квантовой хромодинамике может быть полезно для разработки эффективных методоврасчета для описания процессов взаимодействия элементарных частиц привысоких энергиях.Представленные в диссертации результаты могут быть получены также с помощью точных уравнений ренормгруппы [56, 57] Однако, методытеории возмущений в таком подходе оказывается более сложным, чем обычная диаграммная техника квантовой теории поля, и приводят к альтернативным вычислениям β-функций и аномальных размерностей полей данными условиями нормировки [56].

С этой точки зрения, непертурбативныерешения точных уравнений ренормгруппы могут быть более интересными.Обычно они существенно зависят от выбранных приближений. Следовательно, сравнение наших результатов с соответствующими непертурбативными было бы полезно для развития техники расчёта в рамках методаточного уравнения ренормгруппы.Метод конформного бутстрапа использовался для расчёта критического индекса Фишера η теории φ3 .Сначала был воспроизведён уже известный 3-петлевой аналитический результат.

Тем самым показано, что по сравнению с ренормгрупповымподходом, метод конформного бутстрапа требует вычисления значительноменьшего количества диаграмм Фейнмана.С помощью того же метода получена 4-петлевая поправка к критическому индексу η аналитически. Результат хорошо согласуется с его численным значением, полученным другими авторами.91Аналитический 4-петлевой результат, полученный позднее третьимавтором [58], также совпадает с нашим.Очевидным достоинством метода конформного бутстрапа являетсязначительное сокращение количества фейнмановских диаграмм, которыетребуется учесть для получения результата. Однако, этот метод имеет ряднедостатков: непосредственно он применим только для моделей с тройнымизатравочными вершинами и конформной инвариантностью в критическомрежиме.Хотя этот метод удалось применить для расчёта критического индекса η в теории (φ2 )2 в рамках 1/n-разложения [35], для построения разложения в теории φ4 этого сделать не удалось.Было бы интересно модифицировать метод конформного бутстрапатеории φ3 так, чтобы его можно было применять непосредственно в логарифмической размерности (d = 6), где конформная инвариантность заведомо нарушается.Возможные физические приложения теории φ3 : фазовые переходыпервого рода [59], критическое поведение вблизи края Янга-Ли [60, 61].Некоторые интересные формальные аспекты кубических моделей: [62].Можно также надеяться, что подобные методы окажутся полезными для исследования инфракрасных асимптотик в теории калибровочныхполей Янга-Миллса.92БлагодарностиАвтор диссертации благодарит Письмака Юрия Михайловича за научное руководство, терпение и постановку задачи.Автор также выражает благодарность сотрудникам кафедры физикивысоких энергий и элементарных частиц Санкт-Петербургского Государственного Университета за интересные дискуссии и полезные советы.93A.

Приложения к Главе 1A.1.Выражения для инвариантного заряда и пропагатора втерминах коэффициентов разложения в ряд теории возмущений beta-функции, аномальной размерности поля и оператора собственной массы.Допустим, β-функция представима по теории возмущений: β(g) =∞Pbn g n . Тогда из уравнения (1.6) будет следовать, чтоn=2∞X1b3ρn g n ,− 2 ln |b2 g| +ρ(g) = −b2 g b2n=1ρ1 =b23 −b2 b4,b32ρ2 =−b33 +2b2 b3 b4 −b22 b5,2b42ρ3 =b43 −3b2 b23 b4 +b22 b24 +2b22 b3 b5 −b32 b63b52и т. д. Коэф-фициент ρn выражается через первые n + 2 члена β-функции b2 , b3 , ..., bn+3 .Обобщение формулы (1.16):g=vb3+ 2 vg ln |b2 g| + ρ(g)vg − ρ1 vg 2 − ρ2 vg 3 + ...b2 b2или∞Xvb3g = + 2 vg ln |b2 g| + ρ(g)vg −ρn vg n+1 .b2 b2n=1(A.1)Из (A.1) следует общий вид g: формула (1.19):∞nv XXg=Qnm v n lnn−m |v|b2 n=0 m=0Покажем, что коэффициенты Qn0 ∀n не содержат ρ(g).

Первые три уже 2b23b3найдены — формула (1.17): Q00 = 1, Q10 = b2 , Q20 = b4 = bb32 . Гипотеза:22294Qn0 = nb3b22. Докажем её методом математической индукции. Для n = 0гипотеза верна. Покажем, что если она верна для n, то она верна и дляn + 1. Вернёмся к уравнению (A.1):∞Xvb3g = + 2 vg ln |b2 g| + ρ(g)vg −ρn vg n+1 .b2 b2n=1Перепишем его в виде:g=vb21+∞X!b3g ln |b2 g| + b2 ρ(g)g − b2ρn g n+1 .b2n=1Подставим сюда выражение: (1.19):g=v(1 + Q10 v ln |v| + Q11 v + ...+b2+ Qn0 v n lnn |v| + Qn1 v n lnn−1 |v| + ... + Qnn v n + ...Член v n+1 lnn+1 |v| будет содержаться только в g ln |b2 g|.

Если же мы рас∞Pпишем b2 ρ(g)g и −b2ρn g n+1 , то получим выражение вида: g(P0 + P1 g +n=12P2 g +...), в котором степень v будет как минимум на 1 больше, чем степеньln |v|. Поэтому для нахождения Qn+1,n+1 достаточно написатьvb3g=1 + g ln |b2 g| + ... .b2b2Введём обозначение R(v) :=∞ PnPQnm v n lnn−m |v|, тогдаn=1 m=0g(v) =vb2 (1+ R(v)).vb3g=1 + 2 g ln |b2 g| + ... =b2b2vb3=1 + 2 v (1 + R(v)) ln [v (1 + R(v))] + ... =b2b2vb3b3=1 + 2 v (1 + R(v)) ln v + 2 v (1 + R(v)) ln (1 + R(v)) + ...

,b2b2b295ln(1 + R(v)) = R(v) − 21 R(v)2 + 31 R(v)3 + .... Во всех членах R(v) степеньln |v| не выше степени v. R(v)2 , R(v)3 , ... будут обладать таким же свойством. Следовательно, в выражении для ln(1 + R(v)) будет то же самое.Так как в уравнении в члене при ln(1 + R(v)) стоит множитель v, то тамстепень ln v всегда будет меньше степени v, поэтому для нахождения Qn+1,0(коэффициента при v n+1 lnn+1 |v|) этот член не нужно учитывать.vb3g=1 + 2 v (1 + R(v)) ln |v| + ...b2b2Запишем это какvg=b2b31+ 2b2Отсюда видно, что Qn+1,0 =∞ XnX!!Qnm v n lnm v v ln |v| + ...n=0 m=0b3Qb22 n0=b3b22 nb3b22= n+1b3b22.

Для n + 1 гипо-теза справедлива, таким образом, мы доказали гипотезу. Значит, все Qn0действительно находятся явно. В универсальном приближении можно записать:∞∞ nXvv Xb31vQn0 v n lnn |v|+... =g=+...v n lnn |v|+... =2bb2 n=0b2 n=0 b2b2 1 − b32 v ln |v|2Коэффициенты Qn,1 уже будут содержать ρ(g), следовательно, они уже небудут универсальны.Общее утверждение: коэффициенты Qn1 выражаются через b2 , b3 иявляется линейной функцией от ρ(g); Qn2 выражаются через b2 , b3 и b4и является полиномом второй степени по ρ(g).

Коэффициенты Qnm выражается через b2 , b3 , ..., bm+2 и являются полиномом степени m по ρ(g).Доказательство. Посмотрим на формулу (A.1):g=vb21+b3g ln |b2 g| + b2 ρ(g)g − b2b2∞Xk=1!ρk g k+1 .96Для нахождения Qn1 достаточно записать:vb3g=1 + g ln |b2 g| + b2 ρ(g)g + ... ,b2b2так как в члене ρ1 g 2 и следующих членах степень v будет как минимумна 2 больше степени ln |v|. Аналогично, для нахождения Qn2 достаточнонаписать:vg=b2b31 + g ln |b2 g| + b2 ρ(g)g − b2 ρ1 g 2 + ... ,b2а для нахождения Qnm :g=vb21+b3g ln |b2 g| + b2 ρ(g)g − b2b2m−1X!ρk g k+1 + ...

.k=1Коэффициент ρk выражается через b2 , b3 , ..., bk+3 . Решаем уравнение (A.1)итерациями. Универсальное приближении для g уже найдено. Теперь подставим g в следующем приближении:∞v X nv (Qn0 lnn |v| + Qn1 lnn−1 |v|) + ...,g=b2 n=0где Qn0 уже известны, а Qn1 — неопределённые коэффициенты, которыепредстоит найти. Для них получится уравнение вида:C1 Qn1 + C2 ρ(g)Qn0 = 0,где C1 , C2 — известные величины. Из этого уравнения следуют, что зависятот b2 , b3 и содержат линейную функцию от ρ(g).

Для Qn2 будет:C1 Qn2 + C2 ρ(g)Qn1 + C3 ρ1 Qn0 = 0,коэффициент Qn1 содержит линейную функцию от ρ(g), следовательно,Qn2 будет содержать квадратичную функцию от ρ(g). Продолжая итерации, мы придём к следующему уравнению для Qnm :C1 Qnm + C2 ρ(g)Qn,m−1 + C3 ρ1 Qn,m−2 + ... + Cm ρm−2 Qn1 + Cm+1 ρm−1 Qn0 = 0,97из которого следует, что Qnm выражается через b2 , b3 , ..., bm+2 и являютсяполиномом степени m по ρ(g).С помощью программы «Wolfram Mathematica» вычислены коэффициенты Qnm до 5-го порядка.b3b232b3b23,Q=ρ(g),Q=,Q=ρ(g)+,112021b22b42b22b42b2 b4 − b23b333b235b33b32, Q30 = 6 , Q31 = 4 ρ(g) + 6 ,= ρ(g) + 2 ρ(g) +b2b42b2b22b25b233b2 b3 b4 − 2b333b32,= 2 ρ(g) + 4 ρ(g) +b2b2b625b33b2 b4 − 2b23b22 b5 − b33= ρ(g)3 + 2 ρ(g)2 +ρ(g)+,b2b422b62Q00 = 1, Q10 =Q22Q32Q33b434b3313b436b2313b3312b2 b23 b4 − 3b432Q40 = 8 , Q41 = 6 ρ(g) + 6 , Q42 = 4 ρ(g) + 6 ρ(g) +,b2b23b2b2b22b8213b212b2 b3 b4 − 3b333b2 b23 b4 + 2b22 b3 b5 − 4b434b3ρ(g)+,Q43 = 2 ρ(g)3 + 4 3 ρ(g)2 +b2b2b62b8213b312b2 b4 − 3b233b2 b3 b4 + 2b22 b5 − 4b33432Q44 = ρ(g) + 2 ρ(g) +ρ(g) +ρ(g)+3b22b42b627b43 − 18b2 b23 b4 + 10b22 b24 − b22 b3 b5 + 2b32 b6,+6b82b535b4377b53Q50 = 10 , Q51 = 8 ρ(g) +,b2b212b10277b4311b53 + 60b2 b33 b410b332Q52 = 6 ρ(g) + 8 ρ(g) +,b23b26b10210b277b311b43 + 60b2 b23 b4Q53 = 4 3 ρ(g)3 + 63 ρ(g)2 +ρ(g)+b22b22b82−23b53 + 27b2 b33 b4 + 10b22 b23 b5,+2b1025b377b2311b33 + 60b2 b3 b443Q54 = 2 ρ(g) + 4 ρ(g) +ρ(g)2 +6b23b22b2−23b43 + 27b2 b23 b4 + 10b22 b3 b5+ρ(g)+b8211b53 − 72b2 b33 b4 + 50b22 b3 b24 + 7b22 b23 b5 + 10b32 b3 b6+,6b1029877b311b23 + 60b2 b44Q55 = ρ(g) +ρ(g) +ρ(g)3 +2412b26b22327b2 b3 b4 + 10b2 b5 − 23b3+ρ(g)2 +62b211b43 − 72b2 b23 b4 + 7b22 b3 b5 + 10b22 (5b24 + b2 b6 )+ρ(g)−6b82−17b53 + 18b2 b33 b4 + 23b22 b23 b5 + b22 b3 (b24 + 2b2 b6 ) − 3b32 (8b4 b5 + b2 b7 ).−12b1025Функция ρ(g) сосчитана в соответствующем приближении:b3b23 − b2 b4−b33 + 2b2 b3 b4 − b22 b5 21− ln |b2 g| +g+g +ρ(g) = −b2 g b22b322b42b43 − 3b2 b23 b4 + b22 b24 + 2b22 b3 b5 − b32 b6 3+g +3b52−b53 + 4b2 b33 b4 − 3b22 b3 b24 − 3b22 b23 b5 + 2b32 b4 b5 + 2b32 b3 b6 − b42 b7 4g + O(g 5 ).+64b2Пропагатор выражается через инвариантный заряд следующим образом:Φ(s1 , g) = e2ρ(g) −2σ(g)e1e2σ(g)χ(g(s1 )), χ(g) =s211 − Ξ(1, g)Если функции β(g), γ(g) и Ξ(1, g) представляются по теории возмущений,то для χ(g) получается следующее выражение:"#∞Xχ(g) = |b2 g|2c1 /b2 1 +χn g n ,n=1χ1 = a 1 +2(b2 c2 −b3 c1 ),b22χ2 = a21 + a2 +2a1 (b2 c2 −b3 c1 )b22+2b23 c21 +b2 b3 c1 (b3 −4c2 )−b22 (b4 c1 +(b3 −2c2 )c2 )+b32 c3,b42ко-эффициент χn выражается через b2 , b3 , ..., bn+2 (n+1 коэффициент βфункции), c1 , c2 , ..., cn+1 (n+1 коэффициент аномальной размерности поля) и a1 , a2 , ..., an (n коэффициентов функции Ξ(1, g)).

Характеристики

Список файлов диссертации