Диссертация (1150628), страница 6

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 6)

Для этой модели сосчитаны 240члена β-функции и аномальной размерности поля [2]:20 21124 15π 2β(g) = g −+g 3 + O(g 4 ),315212γ(g) = g 2 − g 3 + O(g 4 ),9081где g =λ64π 2> 0.С помощью уравнения ренормгруппы мы извлекаем инфракраснуюасимптотику. Нам потребуется вычислить только одну диаграмму оператора собственной массы:Σ=1120qq +...Она считается явно:21qq = λ 2d Γ(ω − 1)5 Γ(5−2d) 2(5−2d).Γ(5ω−5) p(4π)Мы рассматриваем выражение в размерности d = 3−2ε. После примененияR-операции функция Ξ(1, g) принимает вид:Ξ(1, g) = −13 + 3τ 2g + O(g 3 ).270Используя формулы (1.12) и (1.25), мы получаем следующий результат для пропагатора:D(p, g) =e 2) = 1Ψ(ss221−1 2ρ(g)−2σ(g)−2A eeΨ(s2 ),µ2113(2248 + 225π 2 ) ln | ln s2 |++ ...

,2000 ln s28000000(ln s2 )2где17881 27π 2 τ|p|s2 = exp [ρ(g) − A] , A =++ ,µ1200032022120293πσ(g) =g++g 2 + O(g 3 ),600270000 3200 3843 27π 220ρ(g) = −++lng + O(g).20g5001603411.7.Обсуждение результатовРезультаты опубликованы в статье [45]. Используя уравнение ренорм-группы, мы провели расчёт асимптотики пропагатора для теорий φ3 , φ4 иφ6 . Уравнение включает в себя бета-функцию и аномальную размерностьполя. Но для получения результата нужно знать ещё оператор собственноймассы как функцию константы связи при фиксированном значением импульса. Чтобы найти его, потребовалось вычислить диаграммы Фейнманаоператора собственной массы в соответствующем порядке.Ведущее приближение пропагатора в теориях φ4 и φ6 — чистая степень, в то время как ведущее приближение в теории φ3 имеет дополнительную степень логарифма импульса.

Поправки во всех случаях выраженычерез логарифм и логарифм логарифма безразмерного импульса. Асимптотические разложения для всех этих теорий можно записать в виде:kD(p, g) = e−2σ(g)nXX(ln | ln s|)n−m|p|1ν|lns|V+...,s=.nmnp2(lns)µn=0 m=0Коэффициенты Vn0 универсальны — в них не входит функция ρ(g), другиекоэффициенты включают ρ(g).Можно представить D(p, g) в следующем виде:knXX1 −2σ(g)+2ρ(g) 1(ln | ln s1 |)n−m−νeD(p, g) = 2 e| ln s1 |Vnm+ ...,nµs21(lns)1n=0 m=0где s1 = eρ(g) s. В этом выражении все коэффициенты Venm выражаются явночерез коэффициенты функций β(g), γ(g) и Ξ(1, g) и не содержат ρ(g). Этоозначает, что пропагатор D(p, g) факторизуется:D(p, g) = Ω(µ, g)Ψ(s1 ), Ω(µ, g) =1 −2σ(g)+2ρ(g)e.µ242Функции σ(g) и ρ(g) в Ω(µ, g) определяются дифференциальными уравнениями с дополнительными условиями:γ(g)c10σ (g) =, lim σ(g) − ln |b2 g| = 0,β(g) g→0b211b3ρ0 (g) =, lim ρ(g) ++ 2 ln |b2 g| = 0.β(g) g→0b2 g b2Эти функции вычисляются в виде ряда теории возмущений по константесвязи g.

Общая форма асимптотики факторизованного пропагатора сохраняется при преобразовании s1 → s2 = eA s1 с постоянным A, не зависящемот g:knXX(ln | ln s2 |)n−m1−νeeD(p, g) = Ω(µ, g)Ψ(s2 ), Ψ(s2 ) = 2 | ln s2 |Wnm+ ...ns2(lns)2n=0 m=0Чем больше членов ряда теории возмущений для функции β(g) и γ(g)известно, тем больше поправок для пропагатора можно найти. Если мызнаем k + 1 член для этих функций, то после расчёта k членов функцииΞ(1, g) мы можем найти коэффициенты Wnm вплоть до n = k. Для теорииφ4 известно 5 членов для β(g) и γ(g), поэтому можно вычислить Wnm доn = 4.

Для теории φ3 только 3 члены было сосчитано, поэтому пропагаторможно вычислить до W2m . А для теории φ6 мы знаем 2 члена β(g) и γ(g),таким образом, мы можем найти пропагатор только до W1m .Все расчёты были выполнены в схеме ренормировок MS. Есть и другие схемы. Функции β(g), γ(g), Ξ(1, g) зависят от схемы, что имеет местои для коэффициентов Vnm в асимптотическом ряде пропагатора. Тем неменее, в каждой схеме есть единственное процедура факторизации, приводящая его асимптотику к формеD(p, g) = Ω(µ, g)Ψ(s1 ).43Различие между двумя схемами ренормировки сводится к различию в константах перенормировки полей и константы связи и параметрах нормировки.

Если D1 (, g1 , µ1 ), D2 (, g2 , µ2 ) — пропагаторы, полученные в двух разныхсхемы ренормировки с соответствующей константой перенормировки поляZ(g1 ), тоg2 = f (g1 ), µ2 = Cµ1 ,D1 (p, g1 , µ1 ) = Z(g1 )2 D2 (p, g2 , µ2 ) = Z(g1 )2 D2 (p, f (g1 ), Cµ1 ),и для факторизованной асимптотики получается(1)(2)D1 (p, g1 , µ1 ) = Ω1 (µ1 , g1 )Ψ1 (s1 ), D2 (p, g2 , µ2 ) = Ω2 (µ2 , g2 )Ψ2 (s1 ),(i)s1 =|p|.µiСравнивая эти соотношения, мы видим, чтоΩ1 (µ1 , g1 ) = Z(g1 )2 Ω2 (Cµ1 , f (g1 )), Ψ1 (s) = Ψ2 s e− ln Cпри больших | ln s|.

Таким образом, функция Ψ(s1 ) в факторизованнойформе пропагатора D(p, g) определяется однозначно, если соответствующим образом зафиксировать один из неуниверсальных коэффициентовWnm . Например, может быть условие W11 = 0, использованное в нашихрасчётах.Модель φ4 детально исследована в рамках аксиоматической и конструктивной квантовой теории поля. Вопрос, является ли она тривиальнойв размерности d = 4, изучался в работах [52,53]. Квантовая теория поля называется тривиальной или теорией обобщённо свободного поля, если в координатном пространстве его n-точечные ампутированные функции Грина44обращается в нуль при несовпадающих аргументах для n > 2 [53].

Пропагатор в модели φ4 совпадает с пропагатором безмассового свободного скалярного поля только в главном асимптотическом приближении. Асимптотику4-точечной ампутированной функции Грина G4 можно также вычислитьс помощью уравнения ренормгруппы.

Нетрудно заметить, что простейшаяоднопетлевая диаграмма G4 даёт логарифмическую поправку к главномуасимптотическому приближению, и G4 оказывается не локальной, т.е. неисчезает при несовпадающих аргументах. Это может рассматриваться какаргумент, что 4-мерная безмассовая модель φ4 не является тривиальной.Согласно нашим результатам, для O(N )-симметричной безмассовойтеории φ4 с конечным N , пропагатор имеет вид 1/p2 только в главномасимптотическом приближении. Тем не менее, все поправки исчезают в пределе N → ∞, а теория становится гауссовой. Любопытно также, что нетпоправок к главному приближению пропагатора при N = −2. Это можноожидать, так как формальное расширение d-мерной O(N )-симметричноймодели в точку N = −2 описывается теорией двух фермионных полей сквадратичным локальным взаимодействием, которое не может быть негауссовым из-за антикоммутативности полей [54].

Полученные результаты показывают, что это свойство теории не нарушается в случае d = 4.452. Трехпетлевый расчёт критического индексаФишера η теории φ3 методом конформного бутстрапа2.1.ВведениеКроме метода ренормгруппы, существует другой удобный способ рас-чёта асимптотик функций Грина — метод уравнений самосогласования, которые получаются в результате отбрасывания затравок в скелетных уравнениях для функций Грина [2, 33]. Они применялись для построения 1/nразложения критических индексов в O(n)-симметричной модели (φ2 )2 сточностью до 1/n3 [35]. Основным преимуществом этого подхода по сравнению с ренормгрупповым является значительное уменьшение числа фейнмановских диаграмм, которые необходимо вычислить для получения результата.В этой главе используется метод конформного бутстрапа для построения -разложения в модели φ3 , где — отклонение размерности пространства от логарифмической, с точностью до 3 .

Показано, что результат совпадает с полученным ранее в рамках ренормгруппового подхода [48, 49].2.2.Метод конформного бутстрапа для теории φ3Мы исследуем модель безмассового скалярного поля φ(x) со взаимо-действием ϕ3 в критической точке в евклидовом пространстве размерности46d = 6 + 2ε.

Лагранжиан модели имеет вид:1λL = (∂φ)2 + φ3 .23!В критической точке при ε 6= 0 пропагатор и вершинная функция являютсястепенными функциями координат:D(x1 , x2 ) =AC,Γ(x,x,x)=,123(x1 − x2 )2α(x1 − x2 )2a (x1 − x3 )2a (x2 − x3 )2aα=dηd−α−1+ , a=,222где η — критический индекс. Наша задача — найти η в виде ε-разложения:η = η1 ε + η2 ε2 + η3 ε3 + O(ε4 ).Система уравнений конформного бутстрапа имеет вид [2]: V (α, u; ω)|ω=0 = 1 2p(α) = uS(α) ∂V (α,u;ω) ,∂ω(2.1)ω=0гдеp(α) = π −d H(α − d/2, d/2 − α), S(α) = π 2dH(z)=Γ(z 0 )Γ(z) ,H(α, α, α, a, a, a, d/2 + a − α),Γ(d/2)Γ(z) — гамма-функция Эйлера, z 0=d/2 − z,H(z1 , z2 , z3 , ...) = H(z1 )H(z2 )H(z3 )..., u = C 2 A3 (ренорм-инвариантнаякомбинация амплитуд).Функция V (α, u; ω) определяется условием:eωe@e+ 12 ωee@e+...

= V (α, u; ω)ω e@ e @@ e(2.2)47Кружок — вершинная функция, кружок со значком ω — регуляризованнаявершинная функция:αaqe = αqHa aαHqωαa −ωqe = α + 2ωqH aα + ωa −HqωВ первой диаграмме в левой части уравнения 3 вершины и 3 линии,то есть, она пропорциональна C 3 A3 . А в правой части функция V умножается на вершину, которая ведёт себя как C. Таким образом, в главном приближении V пропорционально C 2 A3 = u. Нетрудно убедиться, что вкладвторой диаграммы в функцию V будет пропорционален u2 , и так далее.3-петлевой расчёт критического индекса теории φ32.3.Для вычисления 3-петлевого приближения потребуются следующиедиаграммы:ωeee1 ωe @e+2+ ωe@@@@@e@e @eeee@ee +3 ω e@e@@ee@@ee@@ e +...

Характеристики

Список файлов диссертации