Диссертация (1150628), страница 5
Текст из файла (страница 5)
Для их вычисления мы используем размерную регуляризацию: d = d∗ − 2ε, где d∗ — логарифмическая размерность. Всеособенности проявляются в виде полюсов по ε, для устранению которыхмы делаем R-операцию в схеме минимальных вычитаний (MS).301.4.Теория φ3Рассмотрим квантовополевую теорию в Евклидовом пространстве слагранжианом:1λL = (∂φ)2 + φ3 ,23!где φ — скалярное поле, λ — константа связи.Для этой модели логарифмическая размерность d∗ = 6. β-функция ианомальная размерность поля известны в 3-петлевом приближении: [48,49]:3 2 125 333085 5ζ(3) 4β(g) = − g −g −+g + O(g 5 ),272103684113 25195ζ(3) 3γ(g) = g +g +−g + O(g 4 ),124326220824где ζ(z) — ζ-функция Римана, g =λ264π 3 .Коэффициент b2 в (1.14) отрицательный: b2 = − 32 < 0.
Если константа связи λ вещественна, то мы получаем g > 0, b2 g < 0, и уравнениеренормгруппы описывает ультрафиолетовую асимптотику. Но рассматривают также случай мнимого λ, для которого g < 0, и инфракрасная асимптотика тоже может быть исследована методом ренормгруппы.Чтобы достичь нужной точности, нам потребуются вклады a1 g и a2 g 2в (1.14) функции Ξ(1, g). Чтобы их найти, нам нужно вычислить три диаграммы Фейнмана:q +1Σ = 12 q2qqqq + 12qqHHHq +...HqИспользуя основные формулы расчёта фейнмановских диаграмм, упомянутые выше, мы можем вычислить первые 2 диаграммы в произвольнойразмерности:31 21qq = λ ω H(1, 1, 2ω − 2) 2(2−ω),p (4π)qq41qq = λ 2ω H(1, 1, 2ω − 2)H(1, 4 − ω, 3ω − 5) 2(5−2ω).(4π)pТретья диаграмма считается путём применения формулы интегрированияпо частям:q z2 q z3 qz1q=1d−2z1 −z2 −z3z2zq 2 +1 qz3qz1 −1qzq 2 +1 q z3− −1@z1@qq+ z3qz2 zq 3 +1 qz1 −1q−q z2 zq 3 +1 q z1q−1Замечание: формула написана в координатном представлении, но для рассматриваемой диаграммы интегралы, соответствующие ей, в координатноми импульсном представлениях совпадают.
Поэтому можно рассмотреть третью диаграмму как записанную в координатном представлении. Для неёполучается следующий результат:qHλ4 H(1,1,2ω−2)1qHHq= (4π)[H(1, 2, 2ω − 3) − H(2, 3 − ω, 3ω − 5)] p2(5−2ω).2ωω−2HqВ размерности d = 6 все эти диаграммы расходятся, мы рассматриваемих в размерности d = 6 − 2ε, и после применения R-операции получаемследующий результат:8 + 3(ln 4π − γE − 2 ln s)Σ(p, g) = −g−361789 + 1116(ln 4π − γE − 2 ln s) + 180(ln 4π − γE − 2 ln s)2 2−g + O(g 3 ) p2 ,5184иΞ(1, g) = −где g =λ264π 3 ,8 + 3τ1789 + 1116τ + 180τ 2 2g−g + O(g 3 ),365184τ = ln 4π − γE , γE = −Γ0 (1) — постоянная Эйлера.32Используя формулы (1.12) и (1.24), мы получаем следующее выражение для асимптотики пропагатора при больших | ln s2 |:D(p, g) =1 2ρ(g)−2σ(g)−2A eeΨ(s2 ),µ2125 ln | ln s2 |15625 (ln | ln s2 |)211/9e1+−+Ψ(s2 ) = 2 | ln s2 |s21458 ln s2531441 (ln s2 )215625 ln | ln s2 | 11291 − 30132τ + 1296ζ(3) 1+−+ ...
,236196 (ln s2 )2157464(ln s2 )2где43ζ(3) 2132375|g| +g++g + O(g 3 ),σ(g) = − ln18297241990427 2125336755 5ζ(3)ρ(g) =+ln|g| ++g + O(g 2 ),3g 1622699849|p|65 τs2 = eρ(g)−A , A =+ .µ81 21.5.O(N )-симметричная теория φ4Теперь рассмотрим теорию φ4 в евклидовом пространстве с лагран-жианом1λL = (∂φ)2 + (φ2 )2 ,24!где φ — N -компонентное скалярное поле, λ — константа связи, λ > 0.Для этой теории логарифмическая размерность d∗ = 4, β-функцияи аномальная размерность поля известны в 5-петлевом приближении [50],33см. также [2]:N + 8 2 3N + 14 3 33N 2 + 922N + 2960 + 96ζ(3)(5N + 22) 4β(g) =g −g +g −332161−[−5N 3 + 6320N 2 + 80456N + 196648+3888+ 96ζ(3)(63N 2 + 764N + 2332) − 288ζ(4)(5N 2 + 62N + 176)++ 1920ζ(5)(2N 2 + 55N + 186)]g 5 ++1[13N 4 + 12578N 3 + 808496N 2 + 6646336N + 13177344+62208+ 16ζ(3)(−9N 4 + 1248N 3 + 67640N 2 + 552280N + 1314336)−− 288ζ(4)(63N 3 + 1388N 2 + 9532N + 21120)++ 256ζ(5)(305N 3 + 7466N 2 + 66986N + 165084)−− 9600ζ(6)(N + 8)(2N 2 + 55N + 186) + 112896ζ(7)(14N 2 + 189N + 526)++ 768ζ(3)2 (−6N 3 − 59N 2 + 446N + 3264)]g 6 + O(g 7 ),N + 2 2 (N + 2)(N + 8) 3 5(N + 2)(−N 2 + 18N + 100) 4γ(g) =g −g +g −364325184(N + 2)−[39N 3 + 296N 2 + 22752N + 77056−186624− 48ζ(3)(N 3 − 6N 2 + 64N + 184) + 1152ζ(4)(5N + 22)]g 5 + O(g 6 ),где g =λ16π 2> 0.В этой модели коэффициент b2 в (1.14) и g положительные.
Следовательно, уравнение ренормгруппы описывает инфракрасную область. Чтобы получить асимптотику пропагатора с нужной точностью, потребуетсявычислить Σ(p, g) вплоть до 4 петель. Сначала вычислим Σ для однокомпонентного поля, затем включим дополнительные факторы, появляющиесядля N -компонентного случая. Для N = 1 имеем:34Σ=16qq +14qq 11qqqqq +qq +qq +812 qq HqHq +...q +1 + 14 q4 HHq q Рассмотрим эти диаграммы в размерности d = 4 − 2ε и обозначим ихΣ1 , Σ2 , Σ3 , Σ4 , Σ5 , Σ6 , соответственно.
Сингулярные вклады по ε для всехэтих графов уже вычислены [51]. Наша задача — найти их конечные вклады, появляющиеся после применения R-операции.Первые четыре диаграммы считаются явно:Σ1 =Σ2 =Σ3 =Σ4 =1λ2,H(1,1,1,3ω−3)(4π)2ωp2(3−d)λ312H(1,1,2ω−2)H(1,4−2ω,4ω−5),(4π)3ωp2(5−3ω)λ413H(1,1,2ω−2)H(1,6−3ω,5ω−7),(4π)4ωp2(7−4ω)1λ4H(1,1,1,3ω−3)H(1,1,5−2ω,5ω−7).(4π)4ωp2(7−4ω)Две последние диаграммы вычисляются с помощью рекуррентных соотношений. Удобно ввести вспомогательные графы:qHHqγ1 (d, α) ≡ qH α Hq,αqHHqγ2 (d, α) ≡ qHHq α.Диаграммы Σ5 и Σ6 выражаются через γ1 (d, 2−ω) и γ2 (d, 2−ω) следующимобразом:λ41H(1,1,2ω−2)H(1,6−3ω,5ω−7)γ(d,2−ω), (1.27)Σ5 =1(4π)2ωp2(7−4ω)λ412Σ6 =H(1,1,2ω−2)γ(d,2−ω).2(4π)2ωp2(7−4ω)Рекуррентные соотношения для γ1 и γ2 получены с помощью формул интегрирования по частям и формул дифференцирования (см.
приложение35А.2.). Результат следующий:α+2−dγ1 (d, α − 1)+α+ 1 − ω1(3ω − 4 − α)(3 + α − d)+1−×ω−1−α(α − 1)(ω − α)γ1 (d, α) = −× H(2, α − 1, d − 1 − α)H(1, 2 + α − ω, 3ω − 3 − α),√(1 + α − ω)21πΓ(ω − 1)γ2 (d, α − 1) =γ2 (d, α) +×(2 + 2α − 3ω)(3 + 2α − 3ω)Γ(α)2 sin(π(α − ω))2(6α2 + α(8 − 6d) + (d − 2)(d + 1))π 3/2 Γ(ω − 1)+×(4 + 4α − 3d)(6 + 4α − 3d)Γ(d − α − 1)2 sin(π(α − ω))22α−d (3α − d)Γ(1/2 + α − ω)Γ(ω − α)+.(2 + α − d)Γ(3ω − 1 − 2α)С помощью этих соотношений мы выражаем γ1 (4 − 2ε, ε) и γ2 (4 − 2ε, ε), содержащиеся в (1.27), через γ1 (4−2ε, 1+ε) и γ2 (4−2ε, 1+ε), соответственно.Отметим, что γ1 (4, 1) и γ2 (4, 1) являются конечными, а именно:γ1 (4, 1) = γ2 (4, 1) =6ζ(3).(4π)4Следовательно,γ1 (4 − 2ε, 1 + ε) =6ζ(3)6ζ(3)+O(ε),γ(4−2ε,1+ε)=+ O(ε). (1.28)2(4π)4(4π)4Соотношения (1.28) позволяют найти результат применения R-операциидля Σ5 и Σ6 .В схеме MS мы получили следующий результат применения R-36операции для диаграмм из Σ:13 + 4τs 2 2λp,8(4π)4167 + 84τs + 12τs2 3 2λp,=−24(4π)61851 + 1296τs + 336τs2 + 32τs3 + 16ζ(3) 4 2=−λp,64(4π)8543 + 184τs + 16τs2 4 2=λp,128(4π)83333 + 2064τs + 432τs2 + 32τs3 + 352ζ(3) 4 2=−λp,192(4π)8783 + 444τs + 96τs2 + 8τs3 − 56ζ(3) 4 2λp,=−24(4π)8RΣ1 = −RΣ2RΣ3RΣ4RΣ5RΣ6где τs ≡ ln 4π − γE − 2 ln s.Для O(N )-симметричной теории с N > 1 у каждой диаграммыΣi , i = 1, ..., 6, появляется дополнительный фактор Ai (N ):1111Σ = A1 (N )Σ1 + A2 (N )Σ2 + A3 (N )Σ3 + A4 (N )Σ4 +6481211+ A5 (N )Σ5 + A6 (N )Σ6 + ...44Чтобы найти эти факторы, нужно свернуть тензорные структуры.
Вершина — это симметризованная комбинация символов Кронекера:abqdc= Vabcd = 31 (δab δcd + δac δbd + δad δbc ).Для любой диаграммы оператора собственной массы результат всех свёрток пропорционален символу Кронекера по двум внешним индексам. Числовое значение при символе Кронекера — это не что иное, как дополнительный фактор Ai (N ). Для Σ1 получается:Vaijk Vijkb =N +2N +2δab , A1 (N ) =.3337Результат для других факторов следующий:(N + 2)(N + 8)(N + 2)(N 2 + 6N + 20)A2 (N ) =, A3 (N ) =,2781(N + 2)2(N + 2)(5N + 22)A4 (N ) =, A5 (N ) =,981(N + 2)(5N + 22).A6 (N ) =81Окончательный результат для Ξ(1, g):Ξ(1, g) = −−N +2(N + 2)(N + 8)[13 + 4τ ]g 2 −[167 + 84τ + 12τ 2 ]g 3 −1442592N +2[1851N 2 + 41467N + 174518 + 16(N 2 − 14N − 68)ζ(3)+41472+ 24(54N 2 + 1081N + 4466)τ + 16(21N 2 + 373N + 1514)τ 2 ++ 32(N + 8)2 τ 3 ]g 4 + O(g 5 ),где τ = ln 4π − γE , g =λ16π 2 .Используя формулы (1.12) и (A1), мы получаем следующее выражение для пропагатора:D(p, g) ="1 2ρ(g)−2σ(g)−2A eeΨ(s2 ),µ24 XnXn−m(ln | ln s2 |)e 2) = 1 1 +WΨ(snms22(ln s2 )nn=1 m=1#+ ...
,гдеW11 = −W31W33 =N +23(N + 2)(3N + 14),W=, W22 = 0,212(N + 8)22(N + 8)49(N + 2)(3N + 14)29(N + 2)(3N + 14)2=−, W32 =,2(N + 8)62(N + 8)6(N + 2)[319N 4 + 9942N 3 + 116469N 2 + 607364N + 1204452+648(N + 8)+ 24(N + 8)4 (7τ + τ 2 ) − 384ζ(3)(N + 8)(5N + 22)],38W41W43 = −27(N + 2)(3N + 14)3135(N + 2)(3N + 14)3=, W42 = −,2(N + 8)84(N + 8)83(N + 2)(3N + 14)[319N 4 + 9942N 3 + 115173N 2 + 595268N +832(N + 8)+ 1176228 + 24(N + 8)4 (7τ + τ 2 ) − 384ζ(3)(N + 8)(5N + 22)],W44 = −N +2[7068N 6 + 322295N 5 + 6183232N 4 + 63882945N 3 +8384(N + 8)+ 374808430N 2 + 1182947372N + 1567304328++ 96ζ(3)(N + 8)(25N 3 + 1096N 2 + 9052N + 21984)++ 1920ζ(5)(N + 8)2 (2N 2 + 55N + 186)++ 12(N + 8)4 (461N 2 + 6606N + 25948)τ ++ 24(N + 8)4 (63N 2 + 953N + 3778)τ 2 + 144(N + 8)6 τ 3 ],s2 = e7N 2 + 93N + 362 τ, A=+ ,µ4(N + 8)22ρ(g)−A |p|N +2(N + 2)(−N 2 + 20N + 104) 2σ(g) =g −g+12(N + 8)288(N + 8)2(N + 2)−[5N 4 + 92N 3 + 200N 2 − 192N − 2112+35184(N + 8)+ 192(N + 8)(5N + 22)ζ(3)]g 3 ++(N + 2)[−(39N 6 + 1594N 5 + 21684N 4 + 143744N 3 +4248832(N + 8)+ 733952N 2 + 2227968N + 2822656) − 2304(N + 8)3 (5N + 22)ζ(4)++ 48(N + 8)(N 5 + 10N 4 + 596N 3 + 7872N 2 + 43488N + 89216)ζ(3)++ 7680(N + 8)2 (2N 2 + 55N + 186)ζ(5)]g 4 + O(g 5 ),3933(3N + 14)(N + 8)ρ(g) = −+lng −(N + 8)g(N + 8)2333N 3 + 538N 2 + 4288N + 9568 + 96(N + 8)(5N + 22)ζ(3)g+−24(N + 8)31+[−5N 5 + 2676N 4 + 71528N 3 + 664280N 2 + 2814912N +4864(N + 8)+ 4206976 + 96(N + 8)(63N 3 + 728N 2 + 3548N + 7568)ζ(3)−− 288(N + 8)3 (5N + 22)ζ(4) + 1920(N + 8)2 (2N 2 + 55N + 186)ζ(5)]g 2 ++1[−13N 7 − 9014N 6 − 459568N 5 − 9858416N 4 −520736(N + 8)− 108233088N 3 − 627561728N 2 − 1836453888N − 2079010816++ 16(N + 8)(9N 6 − 1104N 5 − 42824N 4 − 728472N 3 − 5678304N 2 −− 20994304N − 31317504)ζ(3) + 9600(N + 8)4 (2N 2 + 55N + 186)ζ(6)++ 288(N + 8)3 (63N 3 + 908N 2 + 5180N + 11264)ζ(4)−− 256(N + 8)2 (305N 4 + 8466N 3 + 80394N 2 + 382252N + 695712)ζ(5)−− 112896(N + 8)3 (14N 2 + 189N + 526)ζ(7)++ 768(N + 8)2 (6N 4 + 107N 3 + 1226N 2 + 3728N − 2880)ζ(3)2 ]g 3 + O(g 4 ).1.6.Теория φ6Лагранжиан теории φ6 в евклидовом пространстве имеет вид:1λL = (∂φ)2 + φ6 ,26!где φ — скалярное поле, λ — константа связи, λ > 0.Логарифмическая размерность d∗ = 3.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
