Диссертация (1150628), страница 3

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 3)

Объём работы - 122страницы.Первая глава посвящена исследованию асимптотик пропагаторов скалярных безмассовых моделей φ3 , φ4 и φ6 в логарифмической размерностипространства методом уравнения ренормгруппы. Вычисляются поправки15к уже известным главным приближениям. Расчёты основываются на полученных ранее другими авторами выражениях для β-функции и аномальнойразмерности поля. Проводится вычисление оператора собственной массыс требуемой точностью. Особое внимание уделяется O(N )-симметричнойтеории φ4 , и, в частности, обсуждаются полученные для этой модели результаты с точки зрения гипотезы её тривиальности в критической точке.Во второй главе рассматривается применение метода конформногобутстрапа для расчёта критического индекса безмассовой модели φ3 .

Воспроизводится уже известное 3-петлевое приближение, полученное ренормгрупповым методом. Продемонстрировано преимущество метода конформного бутстрапа, в котором для получения того же результата требуетсявычисление меньшего количества диаграмм.В третьей главе в рамках ε-разложения проводится методом конформного бутстрапа аналитический расчет 4-петлевой поправки к критическому индексу Фишера η теории φ3 .

Результат для 4-петлевой поправкихорошо согласуется с её численным значением, полученным другими авторами, использовавшими метод ренормгруппы. В этой главе проводитсятакже расчеты ренорминвариантной комбинации амплитуды с четырехпетлевой точностью.В заключении проводится обсуждение представленных в диссертациирезультатов исследования.В приложениях представлены технические детали расчётов, не приведенные в основном тексте диссертации.161. Расчёт асимптотик пропагаторов влогарифмических размерностях с помощью уравненияренормгруппы1.1.ВведениеКак известно, в точках фазовых переходов второго рода возникаютобычно критические явления, характерной особенностью которых является масштабная инвариантность (скейлинг). Она проявляется в том, чтоасимптотики корреляционных функций на больших расстояниях описываются обобщенно однородными функциями.

В частности, парная корреляционная функция (пропагатор) для трансляционно-инвариантной системыпредставляет собой степенную функцию, и для нее задачей теории критических явлений является расчет показателя степени (критического индекса). Для этого разработаны различные методы [1, 2]. Из них наиболееэффективными являются метод ренормгруппы, позволяющий найти аппроксимации для критических индексов на основе использования начальных отрезков ряда теории возмущений, и метод уравнений самосогласования, в рамках которого удалось получить наиболее точные приближения для 1/n-разложения критических индексов в O(n)-симметричной φ4 теории [32, 33, 35].Интересной проблемой является возможность нарушения скейлингав критической точке в некоторых исключительных случаях.

Анализ этого17эффекта в логарифмической размерности пространства проводится в этойглаве в рамках метода уравнения ренормгруппы.1.2.Общее решение уравнения ренормгруппыУравнение ренормгруппы [1, 2] имеет вид:∂∂µ+ β(g) + 2γ(g) D(µ, p, g) = 0,∂µ∂g(1.1)где используются следующие обозначения: µ — масштабный параметр, имеющий размерность массы, β(g) — бета-функция, γ(g) — аномальная размерность поля, g — константа связи (или её функция), p — импульс, D —пропагатор.В уравнении (1.1) стоит производная по масштабному параметру. Нонас интересует зависимость пропагатора от импульса. Используя уравнение, связывающее производную по масштабному параметру µ с производной по импульсу p∂∂+ p + 2 D(µ, p, g) = 0µ∂µ∂p(1.2)∂и комбинируя уравнения (1.1) и (1.2), мы исключаем ∂µи получаем:∂∂−p + β(g) + 2γ(g) − 2 D(µ, p, g) = 0.(1.3)∂p∂gУдобно ввести безразмерные величины: s ≡pµ(безразмерный импульс),Φ ≡ µ2 D (безразмерный пропагатор).

Тогда уравнение (1.3) переписывается следующим образом:∂∂−s + β(g) + 2γ(g) − 2 Φ(s, g) = 0.∂s∂g(1.4)18Общее решение уравнения (1.4) имеет вид [2]:g(s,g)Zγ(x) −2Φ(s, g) = F (g(s, g))s exp 2dx ,β(x)(1.5)gгде g(s, g) — инвариантный заряд, который задаётся неявно уравнениями:g(s,g)Zg(1, g) = g, ln s =dx.β(x)(1.6)gС точки зрения математики в качестве F (g) годится любая дифференцируемая функция, но нас интересует не произвольное решение уравнения, атолько пропагаторное: подставляя s = 1 в (1.5) и учитывая, что g(1, g) = g,мы получаем: F (g) = Φ(1, g), и решение уравнения (1.4) записывается в виде:Φ(s, g) = Φ(1, g(s, g))s−2 exp 2g(s,g)Zγ(x) dx .β(x)(1.7)gПоэтому оказывается, что бета-функции и аномальной размерности не достаточно, чтобы найти асимптотику пропагатора, нужно знать ещё Φ(1, g)(пропагатор как функция константы связи при s = 1). Эту функцию можно найти из уравнения Дайсона-Швингера:D−1 (p, g) = ∆−1 (p) − Σ(p, g),(1.8)где ∆(p) — затравочный пропагатор, Σ(p, g) — оператор собственной массы (сумма 1-неприводимых диаграмм).

В схеме минимальных вычитаний(MS):∆(p) =1.p2Введём обозначение: Ξ ≡ µ−2 Σ. Уравнение (1.8) переписывается какΦ−1 (s, g) = s2 − Ξ(s, g),19и для функции Φ(1, g) получаем следующее выражение:Φ(1, g) =1.1 − Ξ(1, g)Формула (1.7) переписывается в виде:Φ(s, g) =11exp 22s 1 − Ξ(1, g(s, g))g(s,g)Zγ(x) dx .β(x)(1.9)gТаким образом, для нахождения асимптотики пропагатора нужно знатьβ(g), γ(g) и Ξ(1, g). Чтобы найти Ξ(1, g), потребуется вычислить диаграммы Фейнмана.Удобно ввести функции ρ(g) и σ(g), удовлетворяющие дифференциальным уравнениям:ρ0 (g) =1γ(g), σ 0 (g) =.β(g)β(g)(1.10)Из формул (1.6) и (1.10) следует, что gZγ(x) ln s = ρ(g) − ρ(g), exp 2dx = e−2σ(g) e2σ(g) .β(x)gИспользуя обозначение s1 ≡ eρ(g) s, можно записать:ρ(g) = ln s1 ,таким образом, инвариантный заряд g зависит не по отдельности от s и g,а только от комбинации eρ(g) s:g = ρ−1 (ln s1 ),где ρ−1 (x) — обратная функция к ρ(x): ρ−1 (ρ(x)) = x.

Выражение (1.9)принимает вид:Φ(s1 , g) = e2ρ(g) e−2σ(g)11e2σ(g(s1 )) .2s1 1 − Ξ(1, g(s1 ))(1.11)20А для пропагатора D получается:D(µ, p, g) =1 −2σ(g)+2ρ(g)ρ(g) |p|eΨ(s),s=e,11µ2µ(1.12)гдеΨ(s1 ) =112σ(ρ−1 (ln s1 ))e.2s1 1 − Ξ(1, ρ−1 (ln s1 ))(1.13)Мы видим, что пропагатор представляется в виде произведения амплитуды, зависящей от масштабного параметра µ и константы связи g, и функции Ψ, зависящей только от s1 . Наша цель — найти асимптотику пропагатора при больших значениях | ln s1 | и фиксированной константе связи g. Длянахождения ρ(g) и σ(g) мы используем уже известные приближения дляβ(g) и γ(g), а функцию Ξ(1, g) вычисляем, используя технику диаграммФейнмана и методы, описанные в [32, 33, 37–42].1.3.Вычисление асимптотикНаша задача — вычислить асимптотику пропагатора при малых илибольших импульсах.

По уравнению ренормгруппы мы можем извлечь только одну из двух асимптотик — либо инфракрасную (ИК), либо ультрафиолетовую (УФ). Рассмотрим подробнее уравнение (1.6):g(s,g)Zg(1, g) = g, ln s =dx.β(x)gНижний предел интеграла фиксирован. Чтобы | ln s| стремился к бесконечности, нужно, чтобы интеграл расходился на верхнем пределе. Для этогонужно выбрать точку g, близкую к g∗ — нулю β-функции: β(g∗ ) = 0.

Имеем: g(s, g) → g∗ при ln s → ±∞. Во всех моделях, которые мы исследуем,ряд теории возмущений для β-функции в логарифмической размерности21начинается с квадратичного члена: β(g) = b2 g 2 + ... Одним из нулей бетафункции всегда будет точка g∗ = 0 (гауссов нуль). Вообще говоря, у βфункции могут быть и другие нули, но поскольку мы знаем её только потеории возмущений, то найти другие нули — задача очень трудная. Поэтому мы выберем g∗ = 0, то есть для нахождения асимптотики будемустремлять инвариантный заряд g к нулю.

Из уравнения (1.6) следует:Zgln s =111dx=−++...=−+ ...b2 x2 + ...b2 g b2 gb2 ggТип асимптотики определяется знаком b2 g. Так как g(1, g) = g, и g → 0только в пределе | ln s| → ∞, то инвариантный заряд g всегда остается тогоже знака, что и константа связи g. Поэтому тип асимптотики определяетсязнаками b2 и g: если (b2 g) > 0, то мы извлекаем ИК-асимптотику, если(b2 g) < 0, то УФ.Вычислим поправки к главному приближению пропагатора.

Чембольше членов разложения функций β(g), γ(g) и Ξ(1, g) известно, тем больше поправок мы можем найти. Допустим, мы знаем следующее приближение:β(g) = b2 g 2 + b3 g 3 + b4 g 4 + O(g 5 ),γ(g) = c1 g + c2 g 2 + c3 g 3 + O(g 4 ),(1.14)Ξ(1, g) = a1 g + a2 g 2 + O(g 3 ).Мы полагаем, что b2 6= 0, остальные коэффициенты могут быть равнынулю.221.3.1.Асимптотика инвариантного зарядаРассмотрим подробнее уравнение (1.6):Zgln s =dx1=β(x) b2g1=b2Zgg=−Zgg1x211dx =bx2 1 + b3 x + bb4 x2 + ...22b3b23 − b2 b4 21− x+x + ...

dx =b2b2211b3b3b2 − b2 b4b2 − b2 b4+− 2 ln |g| + 2 ln |g| + 3 3g− 3 3g + ... =b2 g b2 g b2b2b2b2= ρ(g) − ρ(g)Таким образом, для функции ρ(g) можно записать следующее выражение:ρ(g) = −1b3b2 − b2 b4− 2 ln |g| + Cρ + 3 3g + O(g 2 ),b2 g b2b2где Cρ — произвольная константа. Удобно выбрать Cρ = − bb32 ln |b2 |, тогда2b3b23 − b2 b41− ln |b2 g| +g + O(g 2 ),ρ(g) = −b2 g b22b32таким образом, функция ρ(g) однозначно задаётся условиями: ρ0 (g) = 1 ,β(g) ρ(g) = − 1 −b2 gb3b22ln |b2 g| + O(g).Из уравнения ln s = ρ(g) − ρ(g) нужно выразить g через s и g.1b3b23 − b2 b4ln s = −− ln |b2 g| − ρ(g) +g + ...b2 g b22b32(1.15)Обозначим: v ≡ − ln1s .

Характеристики

Список файлов диссертации